4.1.1对顶角讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

4.1.1对顶角 学习目标 1. 理解对顶角的概念，能准确识别图中的对顶角（本讲义无图形，重点理解定义内涵）。 2. 掌握对顶角的性质：对顶角相等。 3. 能够运用对顶角的性质解决简单的角度计算问题。 4. 初步体会运用代数方法（列方程）解决几何问题的思想。 知识点讲解 一、对顶角的定义 当两条直线相交时，会形成四个角。在这些角中，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 关键点解析： · 两条直线相交是形成对顶角的前提条件。 · 两个角必须有公共的顶点。 · 一个角的两边分别是另一个角两边的“反向延长线”。 例如：假设两条直线AB和CD相交于点O，形成了∠1、∠2、∠3、∠4。那么∠1与∠3互为对顶角，∠2与∠4互为对顶角。 二、对顶角的性质 对顶角的性质：对顶角相等。 这是一个非常重要的性质，其依据是平角的定义。因为互为对顶角的两个角，它们与同一个邻补角的和都是180°（平角），所以这两个对顶角相等。 例题解析 例题1：若两条直线相交，其中一个角的度数为50°，求它的对顶角的度数。 分析：根据对顶角的性质，对顶角相等。 解答：因为对顶角相等，已知其中一个角为50°，所以它的对顶角的度数也是50°。 例题2：两条直线相交形成四个角，其中一个角是120°，求其余三个角的度数。 分析：两条直线相交，形成的四个角中，两两互为对顶角，且相邻的两个角互为邻补角（和为180°）。已知一个角是120°，它的对顶角与之相等，为120°。它的两个邻补角相等，均为180° - 120°。 解答： 已知一个角为120°， 则它的对顶角为120°。 它的邻补角的度数为 180° - 120° = 60° 因此，这两个邻补角互为对顶角，度数均为60°。 所以其余三个角的度数分别为120°、60°、60°。 例题3：若两个对顶角的度数分别为(3x + 20)°和(5x - 10)°，求x的值及这两个对顶角的度数。 分析：根据对顶角相等的性质，可以列出关于x的方程，求解方程即可得到x的值，进而求出对顶角的度数。 解答： 因为对顶角相等，所以 3x + 20 = 5x - 10 移项，得 20 + 10 = 5x - 3x 30 = 2x x = 15 将x = 15代入3x + 20，得 3×15 + 20 = 45 + 20 = 65 所以这两个对顶角的度数均为65°。 例题4：两条直线相交，已知其中一个角的度数比它的邻补角的度数小30°，求这个角的度数及其对顶角的度数。 分析：设这个角的度数为x°，则它的邻补角的度数为(180 - x)°。根据题意“一个角的度数比它的邻补角的度数小30°”，可列出方程求解。其对顶角的度数与它本身相等。 解答： 设这个角的度数为x°，则它的邻补角的度数为(180 - x)°。 根据题意，得 (180 - x) - x = 30 180 - x - x = 30 180 - 2x = 30 -2x = 30 - 180 -2x = -150 x = 75 所以这个角的度数为75°，它的对顶角的度数也为75°。 巩固练习 一、选择题 1. 下列关于对顶角的说法中，正确的是（ ） A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 相等的两个角是对顶角 C. 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 D. 两条直线相交，有公共边的两个角是对顶角 2. 若∠α与∠β是对顶角，且∠α = 35°，则∠β的度数为（ ） A. 35° B. 55° C. 145° D. 135° 3. 两条直线相交形成的四个角中，若其中一个角的度数是(2x - 10)°，则它的对顶角的度数是（ ） A. (2x - 10)° B. (180 - 2x)° C. (90 - 2x)° D. (10 - 2x)° 4. 若两个对顶角的度数之和为120°，则其中一个角的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 80° D. 120° 5. 两条直线相交，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这两个角不可能是（ ） A. 对顶角 B. 邻补角 C. 一个锐角和一个钝角 D. 两个锐角 二、填空题 1. 对顶角的性质是________。 2. 若一个角的对顶角是70°，则这个角的度数是________。 3. 两条直线相交，如果其中一个角是直角，那么其余三个角的度数都是________。 4. 已知∠1与∠2是对顶角，∠1 = (4x + 5)°，∠2 = (x + 20)°，则x = ________，∠1 = ________°。 5. 两条直线相交于一点，形成________对对顶角。 三、解答题 1. 若两个对顶角的度数分别为(5x - 25)°和(3x + 15)°，求x的值以及这两个对顶角的度数。 2. 两条直线相交，其中一个角的度数是68°，求与这个角相邻的两个角的度数以及它们的对顶角的度数。 3. 已知两条直线相交，形成的四个角中，有一个角的度数是(3x)°，另一个与它不相邻的角的度数是(5x - 60)°，求x的值，并求出这四个角的度数。 4. 一个角的对顶角比它的邻补角的一半还少10°，求这个角的度数。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：C 解析：对顶角的定义是：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角互为对顶角。选项C描述“有公共顶点且没有公共边”符合对顶角的位置特点（因为有公共边的是邻补角）。A选项忽略了边的关系；B选项相等的角不一定是对顶角；D选项有公共边的是邻补角。 2. 答案：A 解析：根据对顶角相等的性质，∠α与∠β是对顶角，所以∠β = ∠α = 35°。 3. 答案：A 解析：对顶角相等，所以它的对顶角的度数也是(2x - 10)°。 4. 答案：B 解析：设其中一个角的度数为x°，因为对顶角相等，所以另一个对顶角也为x°。由题意得x + x = 120，2x = 120，x = 60。 5. 答案：D 解析：设较小角的度数为x°，则较大角的度数为3x°。 A选项，若为对顶角，则x = 3x，解得x = 0，不符合实际，但若理解为其中一个角是另一个角的3倍，且它们是对顶角，则x = 3x，x=0，无意义，所以两条直线相交形成的四个角中，对顶角相等，若一个是另一个的3倍，则它们自身也相等，只能是0°，不可能。但更直接的，若两个角是对顶角，则它们相等，不可能一个是另一个的3倍（除非0°），所以A选项描述的“这两个角”不可能是对顶角。 B选项，邻补角之和为180°，则x + 3x = 180，4x = 180，x = 45，3x = 135，可能。 C选项，45°和135°就是一个锐角一个钝角，可能。 D选项，两个锐角都小于90°，3x < 90，则x < 30，比如x=20，3x=60，都是锐角，可能。所以题目问“不可能是”，选A。 二、填空题 1. 答案：对顶角相等 2. 答案：70° 解析：根据对顶角相等，这个角等于它的对顶角70°。 3. 答案：90° 解析：两条直线相交形成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补。若其中一个角是直角（90°），则它的对顶角也是90°，它的两个邻补角均为180° - 90° = 90°，所以其余三个角都是90°。 4. 答案：5；25 解析：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1 = ∠2。即4x + 5 = x + 20。 4x + 5 = x + 20 4x - x = 20 - 5 3x = 15 x = 5 ∠1 = 4×5 + 5 = 20 + 5 = 25°。 5. 答案：2 解析：两条直线相交于一点，形成4个角，两两互为对顶角，所以有2对对顶角。 三、解答题 1. 解：因为对顶角相等，所以 5x - 25 = 3x + 15 5x - 3x = 15 + 25 2x = 40 x = 20 将x = 20代入5x - 25，得 5×20 - 25 = 100 - 25 = 75 所以这两个对顶角的度数均为75°。 2. 解：两条直线相交，一个角是68°， 它的对顶角也是68°。 与它相邻的两个角是它的邻补角，度数为 180° - 68° = 112° 这两个相邻的角互为对顶角，所以它们的对顶角都是112°。 综上，与68°角相邻的两个角的度数都是112°，它们的对顶角的度数也都是112°。 3. 解：两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角或邻补角的对顶角（即对顶角）。所以(3x)°与(5x - 60)°是对顶角。 根据对顶角相等，有 3x = 5x - 60 3x - 5x = -60 -2x = -60 x = 30 则3x = 3×30 = 90° 5x - 60 = 5×30 - 60 = 150 - 60 = 90° 所以这个角是90°，它的对顶角也是90°。 它的邻补角为180° - 90° = 90°，其对顶角也是90°。 因此，这四个角的度数都是90°。 4. 解：设这个角的度数为x°，则它的对顶角为x°，它的邻补角为(180 - x)°。 根据题意，可列方程： (180 - x) - 10 方程两边同时乘以2，得 所以这个角的度数是。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.1对顶角 学习目标 1. 理解对顶角的概念，能准确识别图中的对顶角（本讲义无图形，重点理解定义内涵）。 2. 掌握对顶角的性质：对顶角相等。 3. 能够运用对顶角的性质解决简单的角度计算问题。 4. 初步体会运用代数方法（列方程）解决几何问题的思想。 知识点讲解 一、对顶角的定义 当两条直线相交时，会形成四个角。在这些角中，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 关键点解析： · 两条直线相交是形成对顶角的前提条件。 · 两个角必须有公共的顶点。 · 一个角的两边分别是另一个角两边的“反向延长线”。 例如：假设两条直线AB和CD相交于点O，形成了∠1、∠2、∠3、∠4。那么∠1与∠3互为对顶角，∠2与∠4互为对顶角。 二、对顶角的性质 对顶角的性质：对顶角相等。 这是一个非常重要的性质，其依据是平角的定义。因为互为对顶角的两个角，它们与同一个邻补角的和都是180°（平角），所以这两个对顶角相等。 例题解析 例题1：若两条直线相交，其中一个角的度数为50°，求它的对顶角的度数。 例题2：两条直线相交形成四个角，其中一个角是120°，求其余三个角的度数。 例题3：若两个对顶角的度数分别为(3x + 20)°和(5x - 10)°，求x的值及这两个对顶角的度数。 例题4：两条直线相交，已知其中一个角的度数比它的邻补角的度数小30°，求这个角的度数及其对顶角的度数。 巩固练习 一、选择题 1. 下列关于对顶角的说法中，正确的是（ ） A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 相等的两个角是对顶角 C. 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 D. 两条直线相交，有公共边的两个角是对顶角 2. 若∠α与∠β是对顶角，且∠α = 35°，则∠β的度数为（ ） A. 35° B. 55° C. 145° D. 135° 3. 两条直线相交形成的四个角中，若其中一个角的度数是(2x - 10)°，则它的对顶角的度数是（ ） A. (2x - 10)° B. (180 - 2x)° C. (90 - 2x)° D. (10 - 2x)° 4. 若两个对顶角的度数之和为120°，则其中一个角的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 80° D. 120° 5. 两条直线相交，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这两个角不可能是（ ） A. 对顶角 B. 邻补角 C. 一个锐角和一个钝角 D. 两个锐角 二、填空题 1. 对顶角的性质是________。 2. 若一个角的对顶角是70°，则这个角的度数是________。 3. 两条直线相交，如果其中一个角是直角，那么其余三个角的度数都是________。 4. 已知∠1与∠2是对顶角，∠1 = (4x + 5)°，∠2 = (x + 20)°，则x = ________，∠1 = ________°。 5. 两条直线相交于一点，形成________对对顶角。 三、解答题 1. 若两个对顶角的度数分别为(5x - 25)°和(3x + 15)°，求x的值以及这两个对顶角的度数。 2. 两条直线相交，其中一个角的度数是68°，求与这个角相邻的两个角的度数以及它们的对顶角的度数。 3. 已知两条直线相交，形成的四个角中，有一个角的度数是(3x)°，另一个与它不相邻的角的度数是(5x - 60)°，求x的值，并求出这四个角的度数。 4. 一个角的对顶角比它的邻补角的一半还少10°，求这个角的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $