3.3.1 勾股定理的应用举例 教学设计 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

3.3.1 勾股定理的应用举例 教学设计 项目 内容 学科 数学 年级 七年级 版本 鲁教版五四制 课时 第1课时 【课标要求】（2022版） 能运用勾股定理解决与直角三角形相关的实际问题，包括立体图形侧面路径最短、测量距离、折叠计算等情境，学会将实际问题转化为数学模型。 【学习目标】 1. 能将立体图形（如圆柱、长方体）侧面路径问题转化为平面直角三角形问题，用勾股定理求最短路径（如蚂蚁爬圆柱侧面），发展空间观念。2. 能运用勾股定理解决生活中的测量问题（如检测瓷砖边角是否垂直、求湖两岸距离），掌握“建模-计算-验证”的解题流程。3. 能结合课本具体图形（如圆柱侧面展开图、瓷砖检测示意图），准确标注已知条件，清晰书写解题步骤，提升几何应用能力。 【首课育人点】 通过解决立体图形路径、实际测量等问题，培养学生“空间转化为平面” “实际问题转化为数学模型”的思维能力，渗透“数形结合” “转化”的数学思想；在应用过程中，让学生感受数学与生活的紧密联系，增强用数学解决实际问题的意识。 【主问题设计】 1. 面对圆柱、长方体等立体图形，如何将“侧面最短路径”问题转化为平面直角三角形问题，用勾股定理求解？（结合课本圆柱展开图）2. 生活中测量无法直接到达的距离（如湖宽、瓷砖垂直检测）时，如何构造直角三角形，运用勾股定理解决？（参考课本瓷砖检测、湖宽测量示意图）3. 运用勾股定理解决实际问题的核心步骤是什么？如何结合课本图形标注条件、梳理思路？ 【教学活动与学生活动】 1、 情境导入（教师引导+学生思考）1. 教师展示课本85页情境图（课本85页图3-16）： 圆柱高12cm，底面周长18cm，下底面A处有蚂蚁，想吃到上底面与A相对的B处食物，问沿侧面爬行的最短路程是多少？2. 学生观察图形，思考：蚂蚁不能直接穿过圆柱内部，只能沿侧面爬，怎么找最短路径？教师引出主题：今天咱们就用勾股定理解决这类立体图形路径、实际测量等问题。 二、探究新知（小组合作+个人实践+教师指导） 任务1：立体图形侧面最短路径（圆柱为例，结合课本图形）1. 动手操作（结合课本85页图3-17）： - 学生分组，每人拿一个圆柱模型（或用硬纸板做圆柱），按图3-17将圆柱侧面沿母线展开，得到一个长方形； - 观察展开图：长方形的长=圆柱底面周长=18cm，长方形的宽=圆柱的高=12cm；蚂蚁从A到B的最短路径，就是展开图中长方形对角线上的线段AB（两点之间线段最短）；2. 计算求解： - 展开图中，△ABC是直角三角形（∠C=90°），直角边AC=圆柱高=12cm，BC=底面周长的一半=9cm（因为A、B在圆柱上相对，展开后B对应长方形长的中点）； - 用勾股定理算AB：AB²=AC²+BC²=12²+9²=144+81=225，故AB=15cm，即最短路程为15cm；3. 对比验证： - 学生思考：若蚂蚁先从A向上爬到上底面C，再沿底面直径到B，路程是多少？（AC=12cm，底面直径=18÷π≈5.73cm，总路程≈17.73cm＞15cm，故沿侧面爬更短）； - 小组总结：圆柱侧面最短路径=将侧面展开为长方形，求长方形对角线长度（构造直角三角形，直角边为圆柱高和底面周长的一半）。 任务2：实际测量与验证（瓷砖检测，结合课本图形）1. 情境分析（结合课本85页图3-18）： - 装修工人检测瓷砖AD、BC是否垂直于AB，随身只带卷尺，如何检测？（课本85页“尝试·交流”）； - 学生讨论：要判断AD⊥AB，需验证△ABD是否为直角三角形，即AD²+AB²是否等于BD²；2. 实例计算： - 若测得AD=30cm，AB=40cm，BD=50cm，计算30²+40²=900+1600=2500=50²→AD⊥AB（符合要求）； - 若只有20cm刻度尺，怎么办？（可测量AD、AB、BD的一部分，如AD=15cm，AB=20cm，看BD是否为25cm，原理相同，因为勾股数的倍数仍是勾股数）；3. 随堂练习（课本86页随堂练习1）： - 情境：边长为4的正方形截去一个角，求剩下四边形的周长（课本86页随堂练习1图）； - 学生分析：截去的角是直角三角形，直角边为1（假设截去1×1的角），斜边=√(1²+1²)=√2，周长=4×3 + √2=12+√2； - 结合图形标注：在练习本上画正方形，标注截去的角和边长，计算后小组互相检查。 任务3：不可直接测量距离（湖两岸距离，结合课本图形）1. 情境设计（结合课本33页图1-42， 此图虽在第一章，但方法通用）： - 要测湖两岸A、B距离，无法直接测，怎么办？教师引导：找能直接到达A、B的点C，延长AC到D，使CD=AC；延长BC到E，使CE=BC，测DE长度，DE=AB（△ABC≌△DEC，SAS）； - 学生验证：用勾股定理辅助理解，若∠ACB=90°，AC=30m，BC=40m，则AB=50m；CD=30m，CE=40m，DE=50m，符合DE=AB；2. 典例练习（课本87页例2，课本87页图3-20、3-21）： - 情境：单向隧道截面是半径4.2m的半圆形，卡车高3.6m、宽3m，能否通过隧道？ - 分析图形（图3-21）：卡车从中间过，截面示意图中，长方形ABCD表示卡车，AB=3m（车宽），BC=3.6m（车高），AB中点O是半圆的圆心； - 关键验证：算OC的长度（O到卡车顶部C的距离），若OC≤半圆半径4.2m，则能通过； - 计算：OB=AB÷2=1.5m，△OBC是直角三角形，OC²=OB²+BC²=1.5²+3.6²=2.25+12.96=15.21，OC=3.9m＜4.2m，故能通过； - 学生实操：在练习本上画隧道截面图和卡车截面图，标注半径、车宽、车高，写出计算步骤。 任务4：总结解题步骤1. 小组讨论：结合以上实例，运用勾股定理解决实际问题的步骤是什么？2. 师生共同梳理： ① 建模：将实际问题转化为直角三角形问题（如立体图形展开为平面、构造直角三角形）； ② 标注：结合课本图形，标注直角三角形的直角边、斜边（已知量和未知量）； ③ 计算：用勾股定理列算式（或方程）求解； ④ 验证：检查结果是否符合实际情境（如长度为正、是否最短）。 三、课堂小结（师生共同梳理）1. 学生自主回想：今天用勾股定理解决了哪几类实际问题？（立体图形路径、瓷砖检测、隧道通行）核心步骤是什么？（建模-标注-计算-验证）2. 教师补充：解决立体图形路径问题，关键是“展平为平面”；解决测量问题，关键是“构造直角三角形”；遇到复杂问题，要多结合课本图形分析，理清已知条件。 四、当堂检测1. 基础题：课本86页习题3.3.1第1题（课本86页第1题图）： 阴影部分是长方形，已知20、24、15、8，求长方形面积（提示：先算直角三角形斜边=√(15²+8²)=17，另一直角三角形斜边=√(20²+21²)=29，长方形的长=29-17=12，宽=15-8=7，面积=84）；2. 提升题：课本86页习题3.3.1第4题（课本86页第4题图）： 无盖长方体盒长8cm、宽8cm、高12cm，从盒底A沿外表面爬到盒顶B，求最短路程（展开后有两种可能：①长=8+8=16cm，宽=12cm，路程=√(16²+12²)=20cm；②长=8cm，宽=8+12=20cm，路程=√(8²+20²)=√464≈21.54cm，故最短为20cm）。 【成果与评价】 1. 达成一：学生能将圆柱侧面展开为长方形，找到最短路径对应的直角三角形，准确计算路程；能结合课本图3-16、3-17标注展开图的长、宽，理解“展平”的意义。2. 达成二：学生能运用勾股定理解决瓷砖垂直检测、隧道通行问题，能构造直角三角形解决不可直接测量的距离；结合课本图3-18、3-21标注已知条件，解题步骤完整。3. 达成三：学生能总结“建模-标注-计算-验证”的解题步骤，结合课本图形分析时，能准确对应实际问题与直角三角形的边，准确率不低于85%。 【布置作业】 1. 基础作业：完成课本86页习题3.3.1第2题（判断哪两个直角三角形正确）、第3题（求湖两岸AB距离）；2. 实践作业：回家后找一个长方体物体（如书本、文具盒），测量长、宽、高，计算从一个顶点沿外表面爬到对角顶点的最短路程，画出展开图并标注；3. 拓展作业（选做）：课本88页随堂练习2（课本88页第2题图）： 梯子靠墙直立比窗户下沿高1m，斜靠时下端离墙4m，上端对齐窗户下沿，求梯子长度（设梯子长x，窗户下沿高x-1，列方程x²=(x-1)²+4²，解得x=8.5m）。 【板书设计】 3.3.1 勾股定理的应用举例一、常见应用类型及方法1. 立体图形路径（圆柱）： - 展平侧面为长方形（长=底面周长，宽=高）； - 求长方形对角线（直角边：高、底面周长一半） （例：高12，周长18→AB=√(12²+9²)=15cm）2. 实际测量（瓷砖检测）： - 构造直角三角形，验证a²+b²=c²（例：30,40,50→垂直）3. 隧道通行： - 算“车顶到圆心距离”≤半径（例：OC=3.9＜4.2→能通过）二、核心步骤建模（转直角三角形）→标注（结合图形）→计算（勾股定理）→验证三、课本图形对应圆柱展开图（图3-17）、瓷砖检测图（图3-18）、隧道截面图（图3-21）（右侧空白：贴学生画的圆柱展开图、长方体路径展开图） 【我感、我思、我成长】 这节课的重点是“将实际问题转化为直角三角形模型”，大部分学生在圆柱展开图环节能理解“展平找最短路径”，但在长方体路径问题中，容易忽略“不同展开方式”（如长+宽、长+高、宽+高），下次需多展示几种展开图，对比计算。另外，学生在结合课本图形标注条件时，容易漏标关键量（如圆柱展开图中底面周长的一半），需通过板书示范，强调“图形与数据对应”。整体来看，学生对实际问题的兴趣较高，通过动手操作和图形分析，能更好地理解勾股定理的应用价值，后续可多设计生活化的案例，增强应用意识。 学科网（北京）股份有限公司 $