3.3.2 勾股定理的应用举例（进阶与古代问题）教学设计 2024-2025学年鲁教版数学七年级上册(1)

该初中数学教学设计聚焦勾股定理进阶应用，系统整合折叠问题与古代问题，通过复习导入、任务探究构建知识网络，将折叠对应边相等与古代问题直角三角形转化结合，以画图标注、列方程串联核心内容，形成逻辑清晰的应用体系。 其亮点在于任务驱动式教学，如折叠问题让学生画图标注等量关系培养几何直观，古代问题转化模型发展推理意识与模型意识，分层检测（基础题、提升题）结合评价体系，助力学生巩固知识，教师精准把握学情，提升复习效率。

3.3.2 勾股定理的应用举例（进阶与古代问题）教学设计 项目 内容 学科 数学 年级 七年级 版本 鲁教版五四制 课时 第1课时 【课标要求】（2022版） 能运用勾股定理解决含折叠、古代数学问题、复杂测量等进阶情境的实际问题，进一步掌握“数学建模”思想，能结合图形清晰梳理解题思路，提升几何应用能力。 【学习目标】 1. 能运用勾股定理解决直角三角形折叠问题（如长方形、直角三角形折叠后求边长），学会利用“折叠前后对应边相等”构造方程，发展推理与方程思维。2. 能理解并解决《九章算术》中的勾股定理古代问题（如“竹折抵地”），掌握将古代文字情境转化为直角三角形模型的方法。3. 能结合课本具体图形（如折叠示意图、古代问题示意图），准确标注折叠前后的等量关系、古代问题中的直角边与斜边，规范书写解题步骤。 【首课育人点】 通过解决折叠、古代数学问题，培养学生“抓等量关系” “文字转图形”的能力，渗透“方程思想” “文化传承”的理念；在分析古代问题时，感受中国传统数学的智慧，增强文化自信与数学学习的趣味性。 【主问题设计】 1. 面对图形折叠问题（如长方形、直角三角形折叠），如何利用“折叠前后对应边相等”的性质，结合勾股定理列方程求解未知边？（结合课本折叠示意图）2. 如何将《九章算术》中“竹折抵地”等古代文字问题，转化为直角三角形模型，用勾股定理解决？（参考课本古代问题示意图）3. 解决进阶型勾股定理应用问题（折叠、古代问题）的关键是什么？如何结合课本图形梳理“已知-未知-等量关系”？ 【教学活动与学生活动】 ### 一、复习导入（教师引导+学生回顾）1. 教师提问：上节课我们用勾股定理解决了圆柱路径、瓷砖检测等问题，核心是“构造直角三角形”。那如果遇到图形折叠（比如一张长方形纸折出一个角），或者古代文字描述的问题，该怎么用勾股定理解决呢？2. 学生思考折叠问题中“哪些量不变”，古代问题中“如何找直角三角形”，教师引出主题：今天咱们学习勾股定理在折叠、古代问题中的进阶应用。### 二、探究新知（小组合作+个人实践+教师指导）#### 任务1：直角三角形折叠问题（结合课本图形）1. 典例分析（课本89页习题3.3.2第1题，课本89页第1题图）： - 情境：四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，AD=2cm，BC=CD，沿CE折叠，B、D重合，求△AED的面积； - 分析图形（折叠前后）： ① 折叠后B与D重合→CE是BD的垂直平分线，故BE=DE（折叠对应边相等），BC=CD（已知）； ② 设DE=x cm，则BE=x cm（等量关系），AE=AB-BE=4-x cm（AB=4cm）； ③ △AED是直角三角形（∠A=90°），直角边AD=2cm、AE=4-x cm，斜边DE=x cm； - 列方程求解： 由勾股定理得AD²+AE²=DE²→2²+(4-x)²=x²→4+16-8x+x²=x²→20-8x=0→x=2.5； 故AE=4-2.5=1.5 cm，△AED面积=×AD×AE=×2×1.5=1.5 cm²； - 学生实操：在练习本上画四边形ABCD，标注折叠前的边长（AB=4、AD=2），再画出折叠后的图形，标注DE=BE=x、AE=4-x，明确直角三角形△AED的三边。2. 随堂练习（课本88页随堂练习1）： - 情境：36cm长的绳子围直角三角形，一条边12cm，求另外两条边； - 分类讨论： ① 若12cm是直角边，设另一直角边x，斜边36-12-x=24-x，列方程12²+x²=(24-x)²→144+x²=576-48x+x²→48x=432→x=9，斜边=15； ② 若12cm是斜边，设直角边x、y，x+y=24，x²+y²=144，联立得x²+(24-x)²=144→x²-24x+216=0，无解（判别式＜0）； - 结论：另外两条边为9cm、15cm； - 结合图形：学生画两种假设的直角三角形，标注边长，验证哪种情况成立。#### 任务2：古代数学问题（《九章算术》案例，结合课本图形）1. 典例1：“竹折抵地”（课本89页习题3.3.2第3题，课本89页第3题图）： - 情境：竹高1丈（10尺），梢部折断，尖端落地，离竹根3尺，求折断处离地高度； - 文字转图形： ① 设折断处离地x尺，则折断部分（斜边）长10-x尺（竹原高10尺）； ② 直角三角形：直角边x（剩余竹高）、3（竹尖到根的距离），斜边10-x（折断部分）； - 列方程求解： x²+3²=(10-x)²→x²+9=100-20x+x²→20x=91→x=4.55尺； - 对照课本图：学生在练习本上画“折断的竹子”示意图，标注x、3、10-x，明确直角位置（竹根处为直角）。2. 典例2：“葭生池中”回顾（课本87页例1，课本87页图3-19）： - 情境：正方形水池边长1丈（10尺），芦苇长中央，高出水面1尺，拉芦苇到岸，顶端触水面，求水深、芦苇长； - 复习巩固：设水深x尺，芦苇x+1尺，水平距离5尺（水池中央到岸），列方程x²+5²=(x+1)²→x=12，芦苇13尺； - 小组讨论：这类古代问题的共同点是什么？（都隐含直角三角形，需设未知数，利用“边长关系”列方程）#### 任务3：复杂测量问题（结合课本图形）1. 情境分析（课本89页习题3.3.2第2题，课本89页第2题图）： - 情境：城墙高11.7m，护城河宽9m，云梯长15m，能否抵达墙顶端？ - 构造直角三角形：城墙高11.7m（直角边）、护城河宽9m（直角边），云梯长15m（斜边）； - 验证：计算11.7²+9²=136.89+81=217.89，15²=225，因为217.89＜225→云梯长度＞斜边长度，故能抵达； - 结合图形：学生画城墙、护城河、云梯的示意图，标注11.7m、9m、15m，判断云梯是否够长。2. 总结方法： - 小组梳理：解决古代问题和折叠问题的步骤： ① 转图形：将文字描述或折叠情境画成几何图形，标注已知量； ② 找等量：折叠问题找“对应边相等”，古代问题找“边长关系”（如竹高=剩余+折断部分）； ③ 设未知：设关键未知量为x，用x表示其他边； ④ 列方程：用勾股定理列方程，求解并验证。### 三、课堂小结（师生共同梳理）1. 学生自主回想：今天学的勾股定理进阶应用有哪两类？（折叠问题、古代问题）解决它们的关键分别是什么？（折叠找对应边、古代问题转直角三角形）2. 教师补充：折叠问题的核心是“折叠前后边相等”，古代问题的核心是“文字转图形+设未知数列方程”；遇到复杂问题，一定要结合课本或自己画的图形分析，避免思路混乱。### 四、当堂检测1. 基础题：长方形纸长10cm、宽6cm，沿对角线折叠，求重叠部分三角形的面积（课本类似折叠图）： - 设重叠部分直角边为x，另一直角边=10-x，列方程6²+(10-x)²=x²→36+100-20x+x²=x²→x=6.8，面积=×6×(10-6.8)=9.6 cm²；2. 提升题：改编古代问题“木长三丈，折后抵地，离本八尺，求折处高”（1丈=10尺，3丈=30尺）： - 设折处高x尺，折断部分30-x尺，列方程x²+8²=(30-x)²→x²+64=900-60x+x²→60x=836→x≈13.93尺。 【成果与评价】 1. 达成一：学生能解决直角三角形折叠问题，准确找出折叠前后的对应边，结合勾股定理列方程求解，能结合课本89页第1题图标注等量关系，解题步骤规范。2. 达成二：学生能将“竹折抵地” “葭生池中”等古代问题转化为直角三角形模型，设未知数列方程，能对照课本图3-19、89页第3题图梳理边长关系，计算正确率不低于80%。3. 达成三：学生能总结“转图形-找等量-设未知-列方程”的解题步骤，结合课本图形分析时，能清晰对应文字描述与几何元素，理解进阶应用中“方程思想”的重要性。 【布置作业】 1. 基础作业：完成课本89页习题3.3.2第1题（折叠求面积）、第3题（竹折抵地）；2. 实践作业：查阅《九章算术》中另一个勾股定理问题（如“户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈”），将其转化为直角三角形模型，用勾股定理求解，写下解题过程并画示意图；3. 拓展作业（选做）：长方形纸长12cm、宽5cm，沿不同方式折叠（如沿长边中点折叠、沿对角线折叠），分别求折叠后形成的直角三角形的未知边长度，画出每种折叠的示意图。 【板书设计】 3.3.2 勾股定理的应用举例（进阶与古代问题）一、折叠问题（核心：对应边相等）1. 例：四边形ABCD折叠（课本89页第1题） - 设DE=x→BE=x，AE=4-x； - 勾股定理：2²+(4-x)²=x²→x=2.5； - 面积=1.5 cm²2. 步骤：转图形→找对应边→设x→列方程二、古代问题（核心：文字转直角三角形）1. 竹折抵地（课本89页第3题） - 设x（折处高）→斜边10-x； - 方程：x²+3²=(10-x)²→x=4.55尺2. 葭生池中（课本87页例1） - 设x（水深）→芦苇x+1； - 方程：x²+5²=(x+1)²→x=12尺三、课本图形对应折叠示意图（89页第1题）、竹折图（89页第3题）、葭生池图（87页图3-19）（右侧空白：贴学生画的折叠示意图、古代问题示意图） 【我感、我思、我成长】 这节课的难点是“折叠问题中找等量关系”和“古代问题文字转图形”。大部分学生在折叠问题中能理解“DE=BE”，但列方程时容易混淆直角边和斜边，下次需在图形中标注直角符号，明确哪条边是斜边。古代问题环节，学生对“丈、尺”等单位转换没问题，但对“葭生池中”的“中央”理解不到位，需结合课本图3-19强调“水平距离是5尺”。整体来看，通过“图形+方程”的结合，学生能更好地突破进阶应用的难点，后续可多设计跨情境的练习，提升综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $