3.3.2 勾股定理的应用举例（进阶与古代问题）教学设计 2024-2025学年鲁教版数学七年级上册(1)

学科

数学

年级

七年级

版本

鲁教版五四制

课时

第1课时

【课标要求】（2022版）

能运用勾股定理解决含折叠、古代数学问题、复杂测量等进阶情境的实际问题，进一步掌握“数学建模”思想，能结合图形清晰梳理解题思路，提升几何应用能力。

【学习目标】

1. 能运用勾股定理解决直角三角形折叠问题（如长方形、直角三角形折叠后求边长），学会利用“折叠前后对应边相等”构造方程，发展推理与方程思维。2. 能理解并解决《九章算术》中的勾股定理古代问题（如“竹折抵地”），掌握将古代文字情境转化为直角三角形模型的方法。3. 能结合课本具体图形（如折叠示意图、古代问题示意图），准确标注折叠前后的等量关系、古代问题中的直角边与斜边，规范书写解题步骤。

【首课育人点】

通过解决折叠、古代数学问题，培养学生“抓等量关系” “文字转图形”的能力，渗透“方程思想” “文化传承”的理念；在分析古代问题时，感受中国传统数学的智慧，增强文化自信与数学学习的趣味性。

【主问题设计】

1. 面对图形折叠问题（如长方形、直角三角形折叠），如何利用“折叠前后对应边相等”的性质，结合勾股定理列方程求解未知边？（结合课本折叠示意图）2. 如何将《九章算术》中“竹折抵地”等古代文字问题，转化为直角三角形模型，用勾股定理解决？（参考课本古代问题示意图）3. 解决进阶型勾股定理应用问题（折叠、古代问题）的关键是什么？如何结合课本图形梳理“已知-未知-等量关系”？

【教学活动与学生活动】

### 一、复习导入（教师引导+学生回顾）1. 教师提问：上节课我们用勾股定理解决了圆柱路径、瓷砖检测等问题，核心是“构造直角三角形”。那如果遇到图形折叠（比如一张长方形纸折出一个角），或者古代文字描述的问题，该怎么用勾股定理解决呢？2. 学生思考折叠问题中“哪些量不变”，古代问题中“如何找直角三角形”，教师引出主题：今天咱们学习勾股定理在折叠、古代问题中的进阶应用。### 二、探究新知（小组合作+个人实践+教师指导）#### 任务1：直角三角形折叠问题（结合课本图形）1. 典例分析（课本89页习题3.3.2第1题，课本89页第1题图）：

 - 情境：四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，AD=2cm，BC=CD，沿CE折叠，B、D重合，求△AED的面积； - 分析图形（折叠前后）： ① 折叠后B与D重合→CE是BD的垂直平分线，故BE=DE（折叠对应边相等），BC=CD（已知）； ② 设DE=x cm，则BE=x cm（等量关系），AE=AB-BE=4-x cm（AB=4cm）； ③ △AED是直角三角形（∠A=90°），直角边AD=2cm、AE=4-x cm，斜边DE=x cm； - 列方程求解： 由勾股定理得AD²+AE²=DE²→2²+(4-x)²=x²→4+16-8x+x²=x²→20-8x=0→x=2.5； 故AE=4-2.5=1.5 cm，△AED面积=×AD×AE=×2×1.5=1.5 cm²； - 学生实操：在练习本上画四边形ABCD，标注折叠前的边长（AB=4、AD=2），再画出折叠后的图形，标注DE=BE=x、AE=4-x，明确直角三角形△AED的三边。2. 随堂练习（课本88页随堂练习1）： - 情境：36cm长的绳子围直角三角形，一条边12cm，求另外两条边； - 分类讨论： ① 若12cm是直角边，设另一直角边x，斜边36-12-x=24-x，列方程12²+x²=(24-x)²→144+x²=576-48x+x²→48x=432→x=9，斜边=15； ② 若12cm是斜边，设直角边x、y，x+y=24，x²+y²=144，联立得x²+(24-x)²=144→x²-24x+216=0，无解（判别式＜0）； - 结论：另外两条边为9cm、15cm； - 结合图形：学生画两种假设的直角三角形，标注边长，验证哪种情况成立。#### 任务2：古代数学问题（《九章算术》案例，结合课本图形）1. 典例1：“竹折抵地”（课本89页习题3.3.2第3题，课本89页第3题图）：