3.3 勾股定理的应用举例 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖实际问题解决与立体图形最短距离探究。通过“两点之间线段最短”的情境导入，衔接圆柱侧面蚂蚁爬行问题，引导学生将立体图形展开为平面，搭建从平面几何到立体几何的学习支架。 其亮点在于以情境化探究（如蚂蚁爬行、《九章算术》古题）结合动手操作，培养空间观念与几何直观，通过问题链设计（不同圆柱尺寸路径比较）提升推理能力，总结“构造直角三角形列方程”步骤强化模型意识。学生能发展应用能力，教师可获得丰富实例与结构化教学资源。

勾股定理的应用举例 第三章 勾股定理 鲁教版（五四制）七年级数学上册 1.能够运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题； 2.通过探究，理解立体图形上两点之间的最短距离的问题，并能够应用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题； 3.培养学生的空间想象力，增强数学知识的应用意识. 学习目标 从A点走到B点，走哪条线最近？ 在同一平面内，两点之间，线段最短. A B ① ② ③ ④ ⑤ 情境导入 如图所示，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm. 在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ B A 探究新知 (1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ B A B A B A 路线最短 探究新知 (2)如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？ B A C A B 探究新知 (3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ B A C A B 12 18÷2 AB2＝122+(18÷2)2，所以AB＝15. 答：它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. C 探究新知 (4)若蚂蚁先从点A直接向上爬到点C，然后再从点C沿底面直径爬到点B，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？ B A C B 12 18÷2 答：从点A直接爬到点B的路程更短. 不一定 C A 思考：是否不论圆柱形状大小，始终都是从侧面的路线更短一些呢？ 探究新知 B A C A B 6 探究新知 尝试·交流 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD与边BC是否分别垂直于底边AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ 解：连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2＝AC2 △ABC为直角三角形 A B C D 探究新知 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50 cm. 边AD垂直于边AB吗？ 解：AD2+AB2＝302+402＝502＝BD2， 得∠DAB＝90° 所以AD边垂直于AB边. A B C D 探究新知 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 解：在AD上取点M，使AM＝9cm ， 在AB上取点N使AN＝12cm ， 测量MN是否是15cm， 如果是，就是垂直； 如果不是，就不垂直. A B C D M N 探究新知 思考 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺. 探究新知 A B C O 分析：根据题意，可构造Rt△OAC. 若设OA为x尺，则由题中信息， 可得：OB=OC=(x+1)尺， 再由芦苇位于水池正中央，可得AC=5尺， 在Rt△OAC中，根据勾股定理列方程即可. 探究新知 A B C O 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺； 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺； 在Rt△OAC中，由勾股定理，得 AC²+OA²=OC²， 即 5²+x²=(x+1)². 解得 x=12. 12+1=13. 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 探究新知 总结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 探究新知 如图，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长100m，BC长80m. A，B两点间的距离是多少？ 解：在直角三角形中，根据勾股定理有：AB2+BC2＝AC2，因为AC=100，BC=80， 所以AB2＝1002-802＝602，即AB=60. 所以A，B两点间的距离是60m. 应用新知 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8:00甲先出发，他以6km/h的速度向正东方向行走，1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北方向行走. 上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解：如图，已知A是甲、乙的出发点， 10:00甲到达B 点，乙到达C点. AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km). 在Rt△ABC 中，BC2＝AC2+AB2 ＝52+122＝169＝132， 所以BC＝13(km). 答：甲乙两人相距13km. 应用新知 如图，某单向隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m，宽3m的卡车能通过这个隧道吗？ 4.2m A O B C D 应用新知 4.2m A O B C D 如图，某单向隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m，宽3m的卡车能通过这个隧道吗？ 应用新知 1.将一个边长为4的正方形截去一个角，剩下的四边形如图.求这个四边形的周长. 解：DE＝4-1＝3， 根据勾股定理得：DE2+DC2＝CE2， 所以CE2＝32+42＝52，即CE＝5. 这个四边形的周长是1+4+4+5=14. 课堂练习 2.如图，阴影部分的长方形的面积是多少？ 解：设阴影部分长方形的长为xcm. 根据勾股定理得：82+152=x2. 解得x=17，17×3＝51(cm2). 所以阴影部分长方形的面积是51cm2.. 课堂练习 3.如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，试求滑道AC的长. A E B C D 课堂练习 4.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 尺. 课堂练习 勾股定理的应用举例 最短路径问题： 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形；(3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 总结归纳 $