精品解析：湖南省永州市冷水滩区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年下期义务教育期末质量检测 八年级数学（试题卷） 满分：120分 考试时量：120分钟 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．本试题卷共6页，如有缺页，请申明． 4．本试题卷共三道大题，26个小题． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 25的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为米的碳纳米管．其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、为任意实数，，则下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集如图所示，则的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一个非负数都有两个平方根 B. 任意两个正方形一定是全等图形 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 9. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF，设AD交EF于点O，连结BE、OC．下列结论中，不一定成立的是（　　） A. AE⊥BE B. EF平分∠AEB C. OA＝OC D. AB＝BE+EC 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 13. 不等式组的解集是_______． 14. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 15. 一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为_______ 16. 关于的方程有增根，则增根是______． 17. 若最简二次根式与能进行合并，则a＝________． 18. 小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是_____米． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 23. 年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． （1）甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 24. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 25. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 26. 【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期义务教育期末质量检测 八年级数学（试题卷） 满分：120分 考试时量：120分钟 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．本试题卷共6页，如有缺页，请申明． 4．本试题卷共三道大题，26个小题． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 25的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】算术平方根的结果一定为非负数． 【详解】 解：的算术平方根是． 2. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为米的碳纳米管．其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定. 【详解】米=米， 故选C. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 4. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数；根据定义逐项判断即可，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是无理数，故该选项符合题意； C、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知、为任意实数，，则下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：∵， ∴，故A项正确． ∵， ∴，故B项错误． 当，时，，但，，，故C项错误． 当时，；当时，，故D项错误． 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，利用二次根式的运算法则，同底数幂乘法法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则，负整数指数幂计算各式后进行判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：Ａ． 7. 关于的不等式的解集如图所示，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把a当做常数，然后求出不等式的解集，然后根据数轴上表示的不等式解集求出a的值即可. 【详解】解：解不等式得：， 由图象可得不等式的解集为 ， 解得a=1 故选B 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一个非负数都有两个平方根 B. 任意两个正方形一定是全等图形 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义、全等图形的判定、三角形内角和定理、无理数的性质，需要依次分析每个选项的正误，从而确定正确选项． 【详解】解：A、根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而0属于非负数，但它的平方根是0，不符合题意； B、∵正方形的边长不一定相同，则任意两个正方形不一定是全等图形，不符合题意； C、根据三角形的内角和为，则三角形的内角中最多有一个钝角，符合题意； D、由题意，取两个无理数为，，则它们的和是4，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 9. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由外角的性质得出，再由邻补角求出即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ 又 ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质和邻补角，能准确识图是解答此题的关键． 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF，设AD交EF于点O，连结BE、OC．下列结论中，不一定成立的是（　　） A. AE⊥BE B. EF平分∠AEB C. OA＝OC D. AB＝BE+EC 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD垂直平分BC， ∴OB＝OC， ∵EF垂直平分AB， ∴OA＝OB，BE＝AE， ∴OA＝OC，故选项C结论成立； ∵BE＝AE，EF垂直平分AB， ∴EF平分∠AEB，故选项B结论成立； ∵BE＝AE，AB＝AC， ∴AB＝AC＝AE+EC＝BE+EC，故选项D结论成立； 当∠BAC＝45°时，AE⊥BE，故选项A不一定成立． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角， 此逆命题为假命题． 故答案为：假． 13. 不等式组的解集是_______． 【答案】﹣5＜x＜4 【解析】 【分析】求两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：因为x＞-5，且x＜4， 所以不等式组的解集为-5＜x＜4． 故答案为：-5＜x＜4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法．解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法，是基础知识． 14. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6， 解得： 这个正数是 故答案为： 【点睛】本题考查正数的平方根互为相反数的特点，考查正数的平方根与它本身的关系，掌握以上知识点是解题关键． 16. 关于的方程有增根，则增根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 17. 若最简二次根式与能进行合并，则a＝________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据最简二次根式与能进行合并，可得，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟知化简后根号下的式子相同，则为同类二次根式是解本题的关键． 18. 小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是_____米． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用；由题意可得，从而得出对应边，最后得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 故答案为：26． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、零次幂和绝对值的性质化简，再计算加减即可； （2）利用算术平方根和立方根的性质以及二次根式的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程以及解一元一次不等式． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：（1）方程两边都乘以得 ， ； 经检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 整理得， 合并同类项得， 解得． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代入计算． 根据分式的运算，先对括号里面的分式运用通分和平方差公式，按照同分母的分式的加减计算，再算除法，约分化简后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】略 23. 年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． （1）甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】（1）每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； （2）商家最多可以购买副甲种春联． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价． （2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； 【小问2详解】 解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 24. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）不存在，理由如下 【解析】 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 25. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 26. 【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】 （1）①证明：是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②；理由如下： 是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴； （2）（1）中与间的数量关系成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据证明即可．②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）解：在和中， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $