5.5.2 简单的三角恒等变换 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦简单的三角恒等变换，以和差角公式、二倍角公式为工具，强调通过分析角关系选择公式，运用换元法与化归思想转化式子。课堂导入从已学直角三角形边角关系及简单三角函数入手，引出复杂式转化需求，搭建旧知到新知的学习支架。 这份资料特色在于融入核心素养培养，通过辅助角公式推导（如asin x+bcos x化为Asin(x+φ)）提升逻辑推理与数学运算能力，结合例10几何最值问题渗透数学建模思想。师生互动提问讨论促进主动思考，例题设计层层递进，助力教师清晰呈现方法，帮助学生提升综合应用能力。

5.5.2 简单的三角恒等变换教学设计 教材分析 本节课介绍了利用和（差）角公式、二倍角公式进行三角恒等变换的基本方法，强调通过分析角之间的关系选择恰当公式，并运用换元法与化归思想将复杂式子转化为熟悉形式，如将化为。教学过程通常从复习公式入手，结合典型例题引导学生观察结构特征并尝试变形。本节内容承接此前学习的三角函数公式，是公式应用的深化与整合，也为后续研究三角函数的图像与性质、解三角方程等问题提供代数变换支持。通过对式子结构的分析与转化，提升学生逻辑推理与代数运算能力，强化化归思想的应用意识，为三角函数综合问题的解决奠定基础。 学情分析 学生在之前已经学习了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、诱导公式，以及和（差）角公式和二倍角公式，具备了一定的三角恒等变换基础，能够运用这些公式进行简单的化简与证明，为本节进一步综合运用公式进行三角恒等变换提供了知识支持。高中生正处于逻辑思维迅速发展的阶段，具备一定的抽象思维能力和归纳推理能力，但对复杂式子的结构分析和公式选择仍存在困难，容易在多公式并存的情境下混淆或误用。本节课要求学生能识别三角函数式中角与函数种类的差异，通过寻找角之间的关系合理选用公式，并借助换元、化归等思想将复杂问题转化为熟悉的形式，如将化为，从而提升运算能力、逻辑推理能力和对数学思想方法的理解与应用水平。 教学目标 1. 理解和掌握三角恒等变换的基本工具（和差角公式、二倍角公式），能够运用这些公式进行简单的三角变换，达到数学运算核心素养水平二的要求。 2. 能够分析三角函数式的结构特征，识别不同角之间的关系，并据此选择合适的变换公式，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。 3. 理解并运用换元法进行三角恒等变换，能够将复杂表达式转化为简单形式，体现化归思想，达到数学建模核心素养水平一的要求。 4. 能够将形如的表达式转化为的形式，理解变换过程中的数学思想，达到数学抽象核心素养水平二的要求。 重点难点 教学重点：运用和(差)角公式、二倍角公式进行三角恒等变换，理解化归思想在变换中的应用。 教学难点：根据角之间的关系选择恰当公式，通过换元法实现三角函数式的转化与化简。 课堂导入 同学们，在之前的学习中，我们已经掌握了诸如勾股定理等直角三角形中的边角关系。而三角函数，更是让我们能从新的角度刻画三角形中的边角联系。比如在直角三角形中，，等。 那大家想一想，当遇到更为复杂的三角函数式子，像，我们能不能将它转化为更简单的形式，来方便我们分析和计算呢？其实，学习了和（差）角公式、二倍角公式等之后，我们就有了强大的工具去实现这种转化，这就是今天要学习的简单的三角恒等变换。 简单的三角恒等变换 探究新知 （一）知识精讲 在学习了两角和与差的三角函数公式、二倍角公式之后，我们获得了进行三角恒等变换的新工具。这些公式不仅拓展了三角变换的方法体系，也使我们能够从更丰富的角度分析和处理三角函数式之间的关系。三角恒等变换的目标是将一个复杂的三角表达式转化为结构更清晰、形式更简洁或更便于研究的形式。 由于不同的三角函数式在结构、所含角以及三角函数种类上存在差异，因此在进行恒等变换时，首先要观察式子中各个角之间的联系。例如，若表达式中含有 与 ，可以考虑它们是否能通过和差化积或积化和差公式建立联系；若出现形如 的结构，则可尝试将其化为单一三角函数形式 。这种基于角之间关系选择合适公式的思维方式，是三角恒等变换的重要特征。 换元法在三角恒等变换中具有重要作用。例如，在某些恒等式的证明过程中，可以令 ，，从而将原式中的 、 转化为关于 、 的表达式，简化运算过程。类似地，也可以将 看作一个整体 ，将 看作另一个整体 ，把原问题转化为关于 、 的代数方程求解问题。这一过程体现了“化归思想”——即将复杂问题转化为已知或更易处理的问题。 特别地，对于形如 的函数，可以通过引入辅助角 ，将其化为 的形式。具体推导如下： 设 根据两角和的正弦公式展开右边得： 比较系数可得： 于是 且 因此，只要确定 和 ，就可以完成转化。这一变换过程不仅统一了表达形式，也为后续研究函数的振幅、周期、相位等性质提供了便利。 如图所示，函数 经过变换后成为标准正弦曲线的形式，其图像表现为振幅变化和相位平移，这直观反映了三角恒等变换对函数形态的影响。 （二）师生互动 教师提问1：刚才我们看到，通过引入辅助角可以把 化成 的形式。那么，请思考：为什么我们要做这样的变换？它在结构上带来了什么改变？ 学生回答：这样可以把两个不同类型的三角函数合并成一个单一的正弦函数，结构更简单，也更容易看出它的最大值、最小值和周期。 教师追问：很好。那如果 或 ，这个变换还适用吗？此时 怎么确定？ 学生讨论后回答：当 时，原式变为 ，这时可以看作 或 ，取决于符号；而 会无意义，说明需要分类讨论。 教师总结：这说明我们在使用公式时，不能机械套用，而要结合具体情况分析角的取值范围和函数定义域，这也是数学严谨性的体现。 （三）设计意图 通过引导学生回顾已有公式并结合新问题情境，帮助他们理解三角恒等变换不仅仅是公式的堆砌，更是基于角的关系和结构特征进行合理推理的过程。知识目标上，强调掌握换元法与辅助角公式的推导及其背后的逻辑依据；能力培养方面，注重提升学生观察代数结构、识别角间关系以及将复杂问题转化为熟悉模型的能力；学习方式上，借助具体例子和图像支持，促进学生从具象到抽象的思维过渡，增强数形结合意识；价值导向上，通过层层设问激发探究欲望，培养学生严谨的逻辑思维习惯和面对非常规问题时主动转化、寻求通法的数学思想，体现化归思想在解决问题中的核心作用。 新知应用 例7题目： 试以表示，，。 解答： 我们已知二倍角公式是三角恒等变换的重要工具。观察到是的二倍角，因此可以利用余弦的二倍角公式进行变形。 第一步：求 从余弦的二倍角公式出发： 将替换为，则，代入得： 移项整理： 第二步：求 使用另一个形式的余弦二倍角公式： 同样令，得： 移项整理： 第三步：求 根据正切的定义： 将前两步结果代入： 综上： 例8题目： 求证： (1) ； (2) 。 解答： (1) 我们从和角与差角的正弦公式出发： 将①和②左右两边分别相加： 两边同时除以2： (2) 由第(1)问可知： 现在设： 这是一个换元法的应用。解这个方程组求出和： 两式相加： 两式相减： 将、代入③式右边： 而左边变为： 所以： 得证。 例9题目： 求下列函数的周期、最大值和最小值： (1) ； (2) 。 解答： 这类问题的核心思想是：将形如的函数化为单一三角函数形式，即，从而便于研究其性质。 (1) 提取公因式使系数满足的形式： 观察系数：1 和 ，考虑将其写成： 注意到： 所以： 由此可得： 周期：（正弦函数标准周期） 最大值： 最小值： (2) 设其可表示为： 与原式对比： 两边平方相加： 于是： 所以： 因此： 周期： 最大值： 最小值： 例10题目： 如图5.5-2，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形。记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积。 解答： 本题是三角恒等变换在几何最值问题中的典型应用。 第一步：建立面积函数 由题意，（半径），，且，故，但由于图形对称性和后续计算范围扩展至也可接受。 在中： ,  在中： ？不对！注意：由于在上，且，而，所以，但关键是与构成直角三角形。 实际上，因为，且，所以，又因方向固定，，所以。 但更关键的是：在中，，所以： 所以： 矩形面积： 第二步：三角恒等变换化简 利用倍角公式： 代入： 继续提取振幅： 设： 先计算振幅： 所以： 其中满足： 所以最终： 第三步：求最大值 由于，则： 在此区间内，的最大值为1，当且仅当： 此时： 新知巩固 题目： 已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是（　　） 解答： 我们从函数表达式入手： 第一步：利用二倍角公式化简 回忆恒等式： 令，则： 代入原函数： 化简： 所以化简后： 第二步：令，求零点条件 当时，有： 解得： 要求这个落在区间内。 即： 两边同除以（正数，不等号方向不变）： 两边乘以： 即： 我们要找存在整数使得该不等式成立。 接下来分析可能的值。 由于，且，我们尝试枚举合理的。 观察： 即区间必须包含某个形如的数。 我们考虑哪些可能满足。 试：，要落在中，需且，即 试：，需且，即 但注意：此时，要落在，即： 再试：，需且 同时 但题目只要求至少一个零点在内。 因此，只要存在某个整数，使得： 即区间与集合有交集。 我们分别讨论： 当：需 当：需 当：需且，即 当：，需，且，即 但注意：随着增大，所需下限也增大，而题目没有限制上限。 但我们只需存在一个即可。 所以所有满足条件的为： 但注意：当较大时，比如，就可能满足；当，也可能满足。 实际上，当时，只要不太小，总能找到足够大的使得 更准确地说：对于任意，只要存在整数使得： 这等价于：区间长度为，当时，长度大于0.25，而相邻两个相差1，不一定保证覆盖，但我们可以具体看选项。 回到前面两种情况： ： ：？不对 重新计算： 要使，即： 但这是的情况。 ：，要落在，即： 但注意：当时，或更大也可能满足。 例如，则 当：，而，，所以，但，成立。 当很大时，比如，则，要落在，即： 显然存在整数，所以对充分大的，总存在零点。 因此，当时，只要足够大，就有解。 但注意：当很小时，比如，则，而最小的，所以，不包含0.25，且其他，所以无解。 当时，，，所以包含0.25吗？当，即，成立。所以可行。 当时，考虑：需要，即，且。但当时，不行，但：需要，成立。 更一般地，对任意，是否存在使得？ 即是否存在整数使得： 即区间长度为，而相邻点间距为1，所以只要区间长度大于0.6，就可能包含一个。 事实上，对于，区间长度大于0.5，而点列间距为1，不能保证一定包含，但我们可以证明：当时，总存在使得 特别地，取或，可验证。 但根据选项，正确答案为D： 我们验证： 当：满足 当：存在使得，即存在零点 而当时，检查是否可能无解。 例如，则， ：0.25, 1.25, 2.25,... —— 没有一个在(0.5,1)内，所以无解。 ，，包含1.25？1.25 > 1.2，不包含；0.25 < 0.6，也不在。所以无解。 直到，，且，才能包含1.25。 所以当时，可行。 综上，的取值范围是： 题目： 已知，，定义新运算，记，，满足，则（　　） 解答： 根据定义： 其中： ， ， 所以： 因此： 现在计算左边乘积。 使用积化和差公式： 令， 则： 所以： 已知等于，所以： 现在要求的是： 注意到： 利用公式： 所以： 代入： 答案：A 题目： 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（　　） 解答： 先化简函数： 使用公式： 令，则： 这是一个标准形式： 令： 所以： 其中满足： 因此： 分析性质： 最大值：当时，，最大值点； 零点： 但注意：，所以，零点即时。 题目说“只有一个零点”，即在内只有一个解。 又说“有两个最大值点”，即有两个解。 设 当， 最大值点： 要求在区间内有两个这样的点。 零点：，要求只有一个解。 设区间长度： 要恰好有两个最大值点，即在中有两个。 最小可能的第一个最大值点是（当） 第二个是 要求： 在区间内： → 显然成立 在区间内： 但不能有第三个最大值点： 即： 但这只是最大值点的范围。 还要考虑零点： 可能的值： 要求在中只有一个。 先看，，所以只要，即，就有第一个零点。 第二个零点，要求不能进入区间： 但题目要求只有一个零点，所以必须： 至少有一个： 第二个不出现： 但还需确保第一个零点在区间内，且仅一个。 同时最大值点要恰好两个。 前面得， 但零点要求 所以综合： 验证边界： ：，正好包含，所以有两个最大值点（），成立。 零点：，，包含；，不包含，所以只有一个零点。 ：，此时在边界，对应零点，所以有两个零点（），不符合“只有一个”，故取不到。 所以 答案：A 板书设计 简单的三角恒等变换 变换工具 和(差)角公式：如， 二倍角公式：如， 变换思路 找角的关系：如与 选合适公式：依据角和函数种类选择公式 化异为同：统一角或函数类型 核心思想 化归思想：将复杂式子转化为简单或已知形式 换元法：令， 方程思想：令， 典型应用 合一变换： （由符号定象限） 教学反思 本教学设计以和（差）角公式、二倍角公式为基础，引导学生认识三角恒等变换，通过例8、例9、例10让学生体会换元、化归等思想在三角恒等变换中的应用。通过教学，基本完成教学任务，多数学生能掌握三角恒等变换的特点与方法。成功之处在于借助具体例题清晰呈现思想方法，帮助学生理解。不足之处在于对学生个体差异关注不足，部分基础薄弱学生理解吃力；小组讨论时，少数学生参与度不高，且对三角恒等变换的综合应用训练不够充分。 学科网（北京）股份有限公司 $