专题10 圆周运动-【精讲】高考母题一题三练

专题10 圆周运动 核心考点 考点梳理1 圆周运动中的运动学问题 1 母题考点一 圆周运动中的运动学问题 2 考点梳理2 圆周运动的动力学问题 4 母题考点二 圆周运动的动力学问题 5 考点梳理3 水平面内圆周运动的临界问题 10 母题考点三 水平面内圆周运动的临界问题 10 考点梳理4 竖直面内圆周运动的临界问题 14 母题考点四 竖直面内圆周运动的临界问题 15 考点梳理1 圆周运动中的运动学问题 1．匀速圆周运动的关系式 (1)线速度与角速度：v＝ωr。 (2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。 (3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。 (4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。 (5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。 2．理解两个公式 (1)对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。 (2)对an＝＝ω2r的理解：当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。 3．掌握三种传动方式 类型 模型 模型解读 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 摩擦(或齿轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 同轴传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 母题考点一 圆周运动中的运动学问题 【母题1】（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【详解】根据题意可知跳绳的转动角速度为 故每分钟跳绳的圈数为 故选C。 举一反三 【练1】（2025·河南·模拟预测）自行车是常见的代步工具。主要构成部件有前后轮、飞轮、链条、链轮等，其部分示意图如图所示，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为、和，假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【练2】（2025·河南·模拟预测）2025年蛇年春晚的舞台上，一群穿着花棉袄的机器人在舞台上扭起了秧歌。某时刻机器人转手绢使得手绢上各点绕竖直转轴O在水平面内做匀速圆周运动，手绢可简化成如图所示，则手绢上质点A、B的物理量一定相同的是（　　） A．线速度 B．周期 C．向心加速度 D．向心力大小 【练3】（2024·云南临沧·模拟预测）汕头海湾隧道工程采取的是隧道盾构挖掘技术。盾构机刀盘直径为15米，相当于五层楼高。其基本工作原理是：沿隧洞轴线向前推进，同时通过旋转前端盾形结构，利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土碴被输送到后方。如图所示为某盾构机前端，以下说法中正确的是（　　） A．盾构机前端转动时，各个刀片转动的角速度相同 B．盾构机前端转动时，各个刀片的线速度随半径的增大而减小 C．当盾构机前端转速为3r/min时，其转动频率为3Hz D．当盾构机前端转速为3r/min时，前端外边缘的线速度约为2.4m/s 考点梳理2 圆周运动的动力学问题 1．水平匀速圆周运动模型向心力分析 运动模型 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 向心力的来源图示 运动模型 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 物体在光滑水平支撑面转动 向心力的来源图示 2．非匀速圆周运动 非匀速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心(特例：竖直面内水流星最高点和最低点的合外力方向指向圆心)，可以分解为如图所示的两个分力。 (1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。 (2)法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。 母题考点二 圆周运动的动力学问题 【母题2】（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 举一反三 【练1】（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图所示，一内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上。碗内有A、B两个小球（可视为质点）在水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．A球的线速度大于B球的线速度 B．A球的角速度小于B球的角速度 C．A球的加速度小于B球的加速度 D．A球的周期大于B球的周期 【练2】（2024·宁夏·模拟预测）如图所示，质量相同的1、2两个摆球用长度不等的细线拴在同一悬点，组成具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，若两个摆球在水平面内均做匀速圆周运动，不计空气阻力。则（　　） A．两个摆球向心加速度大小一定相等 B．两个摆球周期一定相等 C．两个摆球线速度大小一定相等 D．两个摆球向心力大小可能相等 【练3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）图（a）是某小河的航拍照片，河道弯曲形成的主要原因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分，如图（b）所示，假设河床水平，河水密度为，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求在一极短时间内：（均为已知量） (1)通过观测截面的流水质量； (2)流水速度改变量的大小； (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 考点梳理3 水平面内圆周运动的临界问题 1．题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 3．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 母题考点三 水平面内圆周运动的临界问题 【母题3】（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 【答案】D 【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定，故为定值，即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过，即陶屑只能分布在半径为的圆内。故ABC错误，故D正确。 故选D。 举一反三 【练1】（23-24高一下·北京·期末）如图所示，圆盘在水平面内以角速度绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘减速越转越慢直至停止，小物体始终与圆盘相对静止。下列说法正确的是（　　） A．圆盘匀速转动时，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向 B．圆盘匀速转动时，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为 C．圆盘减速至停止的过程中，摩擦力对小物体不做功 D．圆盘减速至停止的过程中，小物体所受摩擦力的冲量大小为 【练2】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块（可视为质点）， A和B距轴心O的距离分别为rA=R，rB=2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是fm，两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相对静止。则圆盘转动的角速度从0逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．B所受合外力大于A所受合外力 B．A受到的摩擦力一直指向圆心 C．B受到的摩擦力一直指向圆心 D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 【练3】（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上，现在小球绕AB杆匀速转动，轻绳伸直，OC垂直于AB，此时，。已知轻绳AC长为1.0m，足够结实，轻绳BC能承受的最大拉力为1.44N，小球C可视为质点，g取，，。那么小球做圆周运动的角速度（　　） A． B． C． D． 考点梳理4 竖直面内圆周运动的临界问题 1．运动特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。 (4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形。 2．竖直面内圆周运动的两种模型 轻绳模型 轻杆模型 模型图示 有支撑的小球 弹力特征 小球受到的弹力可能向下，也可能等于零 小球受到的弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力 示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，mg＝m，v＝ F向＝0，FN＝mg，v＝0 v＝ 的意义 v＝，球恰过最高点； v>，球所受弹力向下； v<，球不能达到最高点 v＝，球所受弹力为零； v>，球所受弹力向下； v<，球所受弹力向上 母题考点四 竖直面内圆周运动的临界问题 【母题4】（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 举一反三 【练1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若，则小物块做平抛运动直至落地 B．若，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地 C．无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等 D．无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态 【练2】（2025·河北·三模）如图，弹簧左端固定，将圆管弯成圆弧轨道分别与水平轨道相切于M、N点，质量为M=4kg的小球B静止在水平轨道上，将质量为m=2kg的小球A压缩弹簧后由静止释放，小球能从M点进入圆弧轨道，通过轨道的最高点P时恰好与圆管无弹力作用，之后从N点返回水平轨道，水平轨道足够长，两球间的碰撞为弹性碰撞，已知两球的大小相同且半径很小，圆弧轨道半径R=0.1m，不计一切摩擦和空气阻力，g取10m/s²。则（　　） A．释放小球 A 时弹簧内储存的弹性势能为10J B．两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2 C．A小球再次返回轨道运动时与内轨道无弹力 D．两小球至多能发生2次碰撞 【练3】（2025·江苏徐州·二模）如图所示，一个铁架台静止放置在粗糙的水平桌面上，在其支架上端的一固定横杆上通过一根不可伸长的轻绳悬挂一个小钢球。现将小钢球拉至水平位置A处由静止释放，使其在竖直平面内摆动，铁架台始终保持静止。不计空气阻力，小钢球的半径可忽略不计，关于小钢球从被释放到运动到最低点处的过程，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力一直增大 B．小钢球重力的功率一直增大 C．铁架台对桌面的压力先增大后减小 D．桌面对铁架台的摩擦力先减小后增大 模拟演练 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）图（a）为古代战争中使用的一种投石机。图（b）为投石机的简化模型，长臂末端的弹袋与转轴相距，短臂末端处有质量很大的重物，其重心与点相距。在一次投石过程中，将一块可视为质点的石块放在弹袋中，短臂端重物在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。取。在转动过程中，石块与重物线速度大小之比为，角速度大小之比为，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）图中滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为。开始时，轻绳处于水平拉直状态，滑块右侧有一表面涂有黏性物质的固定挡板。初始时小球和滑块均静止，现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好向右运动到与固定挡板碰撞，在极短的时间内速度减为零并在之后始终与固定挡板粘在一起。小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角时小球达到最高点。已知小球质量为，重力加速度为。求： (1)小球在最低点的速度大小； (2)滑块与固定挡板碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力大小； (3)滑块的质量。 3．（2025·宁夏吴忠·二模）如甲图所示为某商场的旋转玻璃门，乙图为它的俯视示意图，旋转门逆时针旋转，左右两侧弧形玻璃完全对称，三扇旋转门连在一起且两两之间夹角相等。旋转门宽度为，左侧两扇旋转门和弧形玻璃恰好围成一个封闭空间。已知商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为，玻璃门处于如图位置时一位顾客（可视为质点）在下边缘虚线某处进入旋转玻璃门，则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示在竖直面内有一直角支架，支架的水平杆和竖直杆上分别穿着质量相同的两小球1、2，两小球之间用不可伸长的轻质细绳连接，细绳与竖直杆间的夹角为θ，小球1与水平杆之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球2与竖直杆之间无摩擦。现让支架以竖直杆为轴转动，下列说法正确的是（　　） A．若转动过程中夹角θ不变，则转动的角速度也一定不变 B．若转动过程中转动的角速度变化，则夹角θ也一定变化 C．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1缓慢向外侧滑动，则小球2与竖直杆之间的弹力不变 D．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1缓慢向外侧滑动，则小球1与水平杆之间的摩擦力不变 5．（2024·宁夏·模拟预测）如图所示，在水平地面上有一固定的挡板，挡板右端固定一个轻弹簧。有一质量的滑块（可视为质点）紧压弹簧但不相连，初始时弹簧的弹性势能两点的距离。距离点右侧竖直高度差处有一半径均为的光滑圆弧管道等高，为管道的最高点，各部分管道及轨道在连接处均平滑相切，已知滑块与水平地面间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度大小。现把滑块从点由静止释放，经过点飞出后，恰能从点沿切线方向进入圆弧管道，滑块略小于管道内径。。则（　　） A．滑块离开点时的速度大小为 B．滑块到达点时的速度大小为 C．滑块到达点时的速度大小为 D．滑块在点时对管道的作用力大小为 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）当做圆周运动的物体角速度变化时，我们可以引用角加速度来描述角速度的变化快慢，即。图甲中某转盘自时由静止开始转动，其前4s内角加速度随时间变化如图乙所示。则（　　） A．时刻， B．时刻， C．0~1s过程中，圆盘转过的角度 D．0~1s过程中，圆盘边缘的某质点所需向心力随时间正比例增加 7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上点。质量为的小球和轻弹簧套在轻杆上，弹簧的劲度系数为，弹簧原长为，左端固定在点，右端与小球相连。长为的不可伸长且质量不计的细绳一端系住小球，另一端系在转轴上点，、间距离为。装置静止时将小球向左缓慢推到距点处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，不计转轴所受摩擦和空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．小球与轻杆间的动摩擦因数为 B．小球与轻杆间恰无弹力时装置转动的角速度为 C．从开始转动到细绳伸直的过程中，小球克服摩擦力做的功为 D．若从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，小球克服摩擦力做的功为，则该过程外界提供给装置的能量为 8．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动 B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大 C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大 D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率 9．（2025·江苏徐州·一模）如图所示，一条长为的不可伸长细线，上端固定在转轴的O点，下端拴一质量为的小球，使小球在水平面内随转轴做匀速圆周运动，细线沿圆锥面旋转，这样就形成了一个圆锥摆。忽略空气阻力，重力加速度g取（，）。 (1)当细线与竖直方向成角时，求小球的角速度； (2)若保持小球轨迹圆的圆心到O点的竖直距离h不变，改变线长L，小球做匀速圆周运动的动能是否会随之改变？如何改变？写出分析过程。 10．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，做匀速圆周运动的质点在时间t=1s内由A点运动到B点，AB弧长L=1m，其对应的圆心角。设质点线速度和角速度大小分别为v、ω，向心加速度大小为a1，该段时间内平均加速度大小，则（　　） A．ω=1rad/s B．v=1m/s C． D． 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）一质点从A点开始做自由落体运动，下落到B点时受其他力作用改做匀速圆周运动，质点在圆周运动过程中和自由落体过程中的加速度大小相等。已知A、B之间的距离为h，重力加速度为g，则质点做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 12．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一异形漏斗的母线OA与竖直方向的夹角为30°，母线AB与竖直方向的夹角为45°。小朋友将质量为m的光滑小球放在漏斗中，他先让小球在半径为r的1轨道上做匀速圆周运动，后来通过晃动漏斗让小球在半径为3r的2轨道上做匀速圆周运动，晃动漏斗前后O点位置没有发生变化。已知OA=4r，重力加速度为g。在他晃动漏斗的过程中漏斗对小球做功为（　　） A． B． C． D． 13．（2025·辽宁大连·三模）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时小球的速度为（忽略空气阻力）。求： (1)小球到达B点时对轨道的压力； (2)小球从B点运动到C点所用的时间t； (3)小球离开B后，距离斜面的最远距离d。 14．（2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，该一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小珂设计了如图2所示的过山车模型，质量为的小球在A点由静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道BC进入半径的圆形轨道，恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道进入“水滴形”曲线轨道，点的曲率半径，“水滴形”轨道最高点与圆形轨道最高点等高。忽略所有轨道摩擦力，各轨道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，取。 (1)求小球释放点A距离水平面的高度； (2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点与最高点的向心加速度大小的差值； (3)在“水滴形”轨道上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨道上任意一点的曲率半径随距地面高度变化的函数表达式（即：用和表示）。 15．（2025·北京西城·三模）如图所示，长为的细绳上端悬于点，下端拴一个质量为的小球（可看作质点）。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。若细绳的长度增大为，仍使小球在同一水平面内做匀速圆周运动（小球距悬点的高度差不变），下列说法正确的是（　　） A．小球的角速度增大为原来的倍 B．小球的线速度增大为原来的倍 C．小球的加速度增大为原来的倍 D．小球对细绳的拉力变为原来的倍 16．（2025·河南·模拟预测）如图所示，两可视为质点的小球、分别套在光滑直角型轻杆的水平杆和竖直杆上，球与轻弹簧拴接，弹簧的另一端固定在点，球、间用一根不可伸长的细线相连，装置可绕在水平面内转动。水平杆转动的角速度时，细线与杆的夹角为。现缓慢增大转速至，使细线与杆的夹角增大为，此时弹簧的形变量与转速为时的形变量相同。已知细线的长度，球、的质量分别为，，重力加速度取10m/s2，，。求： (1)角速度为时，杆对球的弹力大小； (2)角速度； (3)装置从角速度增大到的过程中，外力对装置做的功。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆周运动 核心考点 考点梳理1 圆周运动中的运动学问题 1 母题考点一 圆周运动中的运动学问题 2 考点梳理2 圆周运动的动力学问题 4 母题考点二 圆周运动的动力学问题 5 考点梳理3 水平面内圆周运动的临界问题 10 母题考点三 水平面内圆周运动的临界问题 10 考点梳理4 竖直面内圆周运动的临界问题 14 母题考点四 竖直面内圆周运动的临界问题 15 考点梳理1 圆周运动中的运动学问题 1．匀速圆周运动的关系式 (1)线速度与角速度：v＝ωr。 (2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。 (3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。 (4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。 (5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。 2．理解两个公式 (1)对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。 (2)对an＝＝ω2r的理解：当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。 3．掌握三种传动方式 类型 模型 模型解读 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 摩擦(或齿轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB 同轴传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 母题考点一 圆周运动中的运动学问题 【母题1】（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【详解】根据题意可知跳绳的转动角速度为 故每分钟跳绳的圈数为 故选C。 举一反三 【练1】（2025·河南·模拟预测）自行车是常见的代步工具。主要构成部件有前后轮、飞轮、链条、链轮等，其部分示意图如图所示，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为、和，假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】大齿轮转动的角速度为 大齿轮边缘点转动的线速度为 小齿轮边缘点转动的线速度与大齿轮边缘点转动的线速度相等，即 小齿轮和车轮的角速度相等，则 所以自行车前进的速度大小。 故选D。 【练2】（2025·河南·模拟预测）2025年蛇年春晚的舞台上，一群穿着花棉袄的机器人在舞台上扭起了秧歌。某时刻机器人转手绢使得手绢上各点绕竖直转轴O在水平面内做匀速圆周运动，手绢可简化成如图所示，则手绢上质点A、B的物理量一定相同的是（　　） A．线速度 B．周期 C．向心加速度 D．向心力大小 【答案】B 【详解】B．质点A、B同轴转动，周期、角速度相同，故B正确； A．根据v=ωr可知半径不同，线速度不同，故A错误； C．根据a=ω2r可知半径不同，向心加速度不同，故C错误； D．根据F=mω2r可知半径不同，向心力大小不同，故D错误。 故选B。 【练3】（2024·云南临沧·模拟预测）汕头海湾隧道工程采取的是隧道盾构挖掘技术。盾构机刀盘直径为15米，相当于五层楼高。其基本工作原理是：沿隧洞轴线向前推进，同时通过旋转前端盾形结构，利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土碴被输送到后方。如图所示为某盾构机前端，以下说法中正确的是（　　） A．盾构机前端转动时，各个刀片转动的角速度相同 B．盾构机前端转动时，各个刀片的线速度随半径的增大而减小 C．当盾构机前端转速为3r/min时，其转动频率为3Hz D．当盾构机前端转速为3r/min时，前端外边缘的线速度约为2.4m/s 【答案】AD 【详解】A．因为各刀片转动是同轴转动，所以各刀片的角速度相等，故A正确； B．根据v=r⋅ω，角速度相等，刀片的线速度随半径的增大而增大，故B错误； C．因为转速n=3r/min=0.05r/s，所以转动频率为0.05Hz，故C错误； D．根据v=2πrn知，盾构机边缘的速度为，故D正确。 故选AD。 考点梳理2 圆周运动的动力学问题 1．水平匀速圆周运动模型向心力分析 运动模型 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 向心力的来源图示 运动模型 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 物体在光滑水平支撑面转动 向心力的来源图示 2．非匀速圆周运动 非匀速圆周运动的合外力方向一般不指向圆心(特例：竖直面内水流星最高点和最低点的合外力方向指向圆心)，可以分解为如图所示的两个分力。 (1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小。当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动；反向时则速度减小，做减速圆周运动。 (2)法向分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。 母题考点二 圆周运动的动力学问题 【母题2】（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 举一反三 【练1】（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图所示，一内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上。碗内有A、B两个小球（可视为质点）在水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．A球的线速度大于B球的线速度 B．A球的角速度小于B球的角速度 C．A球的加速度小于B球的加速度 D．A球的周期大于B球的周期 【答案】A 【详解】设小球与O点连线与竖直方向的夹角为θ，碗的半径为R，根据牛顿第二定律则 解得，， 因小球A与O点连线与竖直方向的夹角较大，可知A球的线速度大于B球的线速度；A球的角速度大于B球的角速度；A球的加速度大于B球的加速度；根据可知A球的周期小于B球的周期。 故选A。 【练2】（2024·宁夏·模拟预测）如图所示，质量相同的1、2两个摆球用长度不等的细线拴在同一悬点，组成具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，若两个摆球在水平面内均做匀速圆周运动，不计空气阻力。则（　　） A．两个摆球向心加速度大小一定相等 B．两个摆球周期一定相等 C．两个摆球线速度大小一定相等 D．两个摆球向心力大小可能相等 【答案】B 【详解】A．设细线与竖直方向的夹角为，小球受到的重力、细线的拉力提供小球圆周运动的向心力，有 可得向心加速度为，故向心加速度大小不同，故A错误； B．设细线悬挂点到圆心的高度为，小球受到的重力、细线的拉力提供小球圆周运动的向心力，由 可得周期为，故B正确； C．小球受到的重力、细线的拉力提供向心力，有 可得线速度大小为，故线速度大小不同，故C错误； D．向心力大小为，故向心力大小不同，故D错误。 故选B。 【练3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）图（a）是某小河的航拍照片，河道弯曲形成的主要原因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分，如图（b）所示，假设河床水平，河水密度为，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求在一极短时间内：（均为已知量） (1)通过观测截面的流水质量； (2)流水速度改变量的大小； (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，极短时间水流的距离 由于横截面积为 根据 可得水的质量 （2）由于极短，可以把水的运动简化为圆周匀速运动，根据匀速圆周运动的规律可知，其加速度为 又因为 联立解得 （3）根据牛顿第二定律可得 联立上述结论，解得 水流与河堤作用的面积 故外侧河堤受到的流水冲击产生的压强 考点梳理3 水平面内圆周运动的临界问题 1．题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 3．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 母题考点三 水平面内圆周运动的临界问题 【母题3】（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 【答案】D 【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定，故为定值，即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过，即陶屑只能分布在半径为的圆内。故ABC错误，故D正确。 故选D。 举一反三 【练1】（23-24高一下·北京·期末）如图所示，圆盘在水平面内以角速度绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘减速越转越慢直至停止，小物体始终与圆盘相对静止。下列说法正确的是（　　） A．圆盘匀速转动时，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向 B．圆盘匀速转动时，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为 C．圆盘减速至停止的过程中，摩擦力对小物体不做功 D．圆盘减速至停止的过程中，小物体所受摩擦力的冲量大小为 【答案】D 【详解】A．圆盘匀速转动时，小物体做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，摩擦力方向指向圆心，并非沿运动轨迹切线方向，A错误； B．小物体做匀速圆周运动，线速度，运动一圈，初末速度相同，动量变化，根据动量定理，合外力（摩擦力）的冲量，B错误； C．圆盘减速至停止过程中，小物体的速度减小，摩擦力有沿轨迹切线方向的分力（因减速，摩擦力阻碍相对运动趋势，有切向分力），该分力对小物体做功，使小物体动能减小，C错误； D．圆盘减速至停止过程中，小物体的初动量 根据动量定理，摩擦力的冲量 则小物体所受摩擦力的冲量大小为，D正确。 故选D。 【练2】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块（可视为质点）， A和B距轴心O的距离分别为rA=R，rB=2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是fm，两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相对静止。则圆盘转动的角速度从0逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．B所受合外力大于A所受合外力 B．A受到的摩擦力一直指向圆心 C．B受到的摩擦力一直指向圆心 D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 【答案】AC 【详解】A．由于A、B都做匀速圆周运动，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得，角速度相等，B的半径较大，所需向心力较大，故所受合力较大，故A正确； BC．由于最初圆盘转动角速度较小，A、B随圆盘做圆周运动所需向心力较小，可由A、B与盘面间静摩擦力提供，静摩擦力均指向圆心，由于B所需向心力较大，当B与盘面间静摩擦力达到最大值时（此时A与盘面间静摩擦力还没有达到最大），若继续增大转速，则B将做离心运动，而拉紧细线，使细线上出现张力，转速越大，细线上张力越大，当B与盘面间静摩擦力也达到最大时，B将开始滑动，A由于拉力作用，A将靠近圆心，所以A受到的摩擦力先指向圆心，后离开圆心，而B受到的摩擦力一直指向圆心，故B错误C正确； D．根据牛顿第二定律，对A物块 对B物块 联立得A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为，故D错误。 故选 AC。 【练3】（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上，现在小球绕AB杆匀速转动，轻绳伸直，OC垂直于AB，此时，。已知轻绳AC长为1.0m，足够结实，轻绳BC能承受的最大拉力为1.44N，小球C可视为质点，g取，，。那么小球做圆周运动的角速度（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当轻绳AC和BC的拉力达到最大时，小球C的角速度最大，在竖直方向，有 在水平方向，根据牛顿第二定律，有 解得 当轻绳BC的拉力为零时，小球C的角速度最小，在竖直方向，有 在水平方向，根据牛顿第二定律，有 解得 所以小球做圆周运动的角速度满足 故选A。 考点梳理4 竖直面内圆周运动的临界问题 1．运动特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。 (4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形。 2．竖直面内圆周运动的两种模型 轻绳模型 轻杆模型 模型图示 有支撑的小球 弹力特征 小球受到的弹力可能向下，也可能等于零 小球受到的弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力 示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，mg＝m，v＝ F向＝0，FN＝mg，v＝0 v＝ 的意义 v＝，球恰过最高点； v>，球所受弹力向下； v<，球不能达到最高点 v＝，球所受弹力为零； v>，球所受弹力向下； v<，球所受弹力向上 母题考点四 竖直面内圆周运动的临界问题 【母题4】（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 举一反三 【练1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若，则小物块做平抛运动直至落地 B．若，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地 C．无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等 D．无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态 【答案】A 【详解】A．在最高点，若物块只受重力，根据牛顿第二定律得 解得 若，则小物块只受重力，做平抛运动直至落地，故A正确； B．若，则小物块在最高点受到向下的重力和竖直向上的支持力，小物块紧贴着圆面下滑，在下滑过程中，根据牛顿第二定律可得 随着物块下滑，θ不断增大，cosθ不断减小，v增大，则FN减小，当FN减小到零时，物块做斜下抛运动，不会一直沿着圆面下滑，故B错误； C．若物块做平抛运动，落地时重力的瞬时功率为 若物块先沿圆面下滑，再做斜下抛运动落到地面，由于竖直方向平均加速度小于重力加速度，所以落地时重力的瞬时功率减小，故C错误； D．无论按照什么轨迹，小物块加速度向下或者加速度有向下的分量，所以小物块始终处于失重状态，故D错误。 故选A。 【练2】（2025·河北·三模）如图，弹簧左端固定，将圆管弯成圆弧轨道分别与水平轨道相切于M、N点，质量为M=4kg的小球B静止在水平轨道上，将质量为m=2kg的小球A压缩弹簧后由静止释放，小球能从M点进入圆弧轨道，通过轨道的最高点P时恰好与圆管无弹力作用，之后从N点返回水平轨道，水平轨道足够长，两球间的碰撞为弹性碰撞，已知两球的大小相同且半径很小，圆弧轨道半径R=0.1m，不计一切摩擦和空气阻力，g取10m/s²。则（　　） A．释放小球 A 时弹簧内储存的弹性势能为10J B．两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2 C．A小球再次返回轨道运动时与内轨道无弹力 D．两小球至多能发生2次碰撞 【答案】BC 【详解】A．小球在最高点P时恰好与圆管无弹力作用，有 代入数据解得 释放小球A时弹簧内储存的弹性势能为 A错误； B．小球A与B碰前的速度 以水平向右为正方向，则AB碰撞过程根据动量守恒有mv0=mv1+Mv2 机械能守恒有 代入数据联立解得 即两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2，B正确； C．A小球再次返回轨道运动时能上升的高度为h，则 解得，可知小球不能越过与圆心等高的位置，则与内轨道无弹力，C正确； D．小球A返回到水平面时的速度大小仍为，因小于小球B的速度，则两球不可能再发生第二次碰撞，D错误。 故选BC。 【练3】（2025·江苏徐州·二模）如图所示，一个铁架台静止放置在粗糙的水平桌面上，在其支架上端的一固定横杆上通过一根不可伸长的轻绳悬挂一个小钢球。现将小钢球拉至水平位置A处由静止释放，使其在竖直平面内摆动，铁架台始终保持静止。不计空气阻力，小钢球的半径可忽略不计，关于小钢球从被释放到运动到最低点处的过程，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的拉力一直增大 B．小钢球重力的功率一直增大 C．铁架台对桌面的压力先增大后减小 D．桌面对铁架台的摩擦力先减小后增大 【答案】A 【详解】A．设小钢球质量为，铁架台质量为，轻绳长为，轻绳拉力为，小钢球向下摆动到某一位置时，轻绳与水平方向的夹角为，如图所示 对小钢球进行受力分析，由牛顿第二定律有 小钢球由处静止释放运动到此位置的过程，由动能定理有 联立解得 小钢球从点运动到最低点的过程中，一直增大，增大，则轻绳拉力一直增大，故A正确； B．由重力的功率可知，小钢球刚被释放时速度为零，重力的功率为零，小钢球运动到最低点时，瞬时速度方向与重力方向垂直，夹角，则重力的功率又变为零，因此小钢球重力的功率先增大后减小，故B错误； C．铁架台一直处于静止状态，在竖直方向上受力平衡，支持力 小钢球从A点运动到最低点的过程中，一直增大，故铁架台对桌面的压力一直增大，故C错误； D．铁架台在水平方向受力平衡，摩擦力 小钢球从A点运动到最低点的过程中，由0增大至，当时， 铁架台受到的摩擦力最大，因此桌面对铁架台的摩擦力先增大后减小，故D错误。 故选A。 模拟演练 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）图（a）为古代战争中使用的一种投石机。图（b）为投石机的简化模型，长臂末端的弹袋与转轴相距，短臂末端处有质量很大的重物，其重心与点相距。在一次投石过程中，将一块可视为质点的石块放在弹袋中，短臂端重物在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。取。在转动过程中，石块与重物线速度大小之比为，角速度大小之比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．石块与重物属于同轴转动，角速度相同，故石块与重物线速度大小之比，故A错误，B正确； CD．由以上分析可知石块与重物的角速度相同，故二者角速度大小之比，故CD错误。 故选B。 2．（2025·天津·二模）图中滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为。开始时，轻绳处于水平拉直状态，滑块右侧有一表面涂有黏性物质的固定挡板。初始时小球和滑块均静止，现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好向右运动到与固定挡板碰撞，在极短的时间内速度减为零并在之后始终与固定挡板粘在一起。小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角时小球达到最高点。已知小球质量为，重力加速度为。求： (1)小球在最低点的速度大小； (2)滑块与固定挡板碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力大小； (3)滑块的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以最低点为零势能面，根据机械能守恒定律 解得 （2）根据牛顿第二定律 解得 （3）对滑块与小球组成系统，根据机械能守恒定律 水平方向根据动量守恒定律 联立解得 3．（2025·宁夏吴忠·二模）如甲图所示为某商场的旋转玻璃门，乙图为它的俯视示意图，旋转门逆时针旋转，左右两侧弧形玻璃完全对称，三扇旋转门连在一起且两两之间夹角相等。旋转门宽度为，左侧两扇旋转门和弧形玻璃恰好围成一个封闭空间。已知商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为，玻璃门处于如图位置时一位顾客（可视为质点）在下边缘虚线某处进入旋转玻璃门，则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若想顾客穿过旋转玻璃门平均速度最大，则需要顾客穿过旋转玻璃门的过程中位移最大且用时最短。则顾客的最大位移为圆的直径，顾客进入旋转门若要用时最短，需要在旋转门逆时针旋转时出去。商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为。玻璃门安全旋转的最大角速度为 此时旋转门转过所用时间最短，其大小为 则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为 故选A。 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示在竖直面内有一直角支架，支架的水平杆和竖直杆上分别穿着质量相同的两小球1、2，两小球之间用不可伸长的轻质细绳连接，细绳与竖直杆间的夹角为θ，小球1与水平杆之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球2与竖直杆之间无摩擦。现让支架以竖直杆为轴转动，下列说法正确的是（　　） A．若转动过程中夹角θ不变，则转动的角速度也一定不变 B．若转动过程中转动的角速度变化，则夹角θ也一定变化 C．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1缓慢向外侧滑动，则小球2与竖直杆之间的弹力不变 D．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1缓慢向外侧滑动，则小球1与水平杆之间的摩擦力不变 【答案】D 【详解】A．对小球受力分析如图所示 对小球2分析有 解得 对小球1，根据牛顿第二定律，有 若转动过程中夹角θ不变，T也不变，摩擦力f可以在最大静摩擦力与0之间改变，所以角速度也可以改变，故A错误； B．同理，由上分析可知若转动过程中转动的角速度变化，拉力T可以不变，而摩擦力改变，则夹角θ不一定变化，故B错误； CD．若转动过程中转动的角速度缓慢增大，且小球1缓慢向外侧滑动，受到向里的摩擦力，把小球1、2两球看成一个整体，有 在竖直方向，有 其中 联立可知若转动过程中转动的角速度缓慢增大，摩擦力不变，小球2与竖直杆之间的弹力变大，故C错误，D正确。 故选D。 5．（2024·宁夏·模拟预测）如图所示，在水平地面上有一固定的挡板，挡板右端固定一个轻弹簧。有一质量的滑块（可视为质点）紧压弹簧但不相连，初始时弹簧的弹性势能两点的距离。距离点右侧竖直高度差处有一半径均为的光滑圆弧管道等高，为管道的最高点，各部分管道及轨道在连接处均平滑相切，已知滑块与水平地面间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度大小。现把滑块从点由静止释放，经过点飞出后，恰能从点沿切线方向进入圆弧管道，滑块略小于管道内径。。则（　　） A．滑块离开点时的速度大小为 B．滑块到达点时的速度大小为 C．滑块到达点时的速度大小为 D．滑块在点时对管道的作用力大小为 【答案】AD 【详解】A．当滑块滑到点时，根据能量守恒，有 解得 故正确； B．由平抛运动规律得滑块到达C点时竖直分速度为 所以滑块到达C点时速度大小 故B错误； C．滑块到达C点时速度方向与水平方向夹角为，则有 可得 由于CD等高，则滑块处于D点时，速度方向与水平方向夹角也为，由动能定理可知滑块在D点的速度与其在C点时的速度大小相等，即 从D点到E点，根据动能定理有 解得 故C错误； D．在E点，对滑块，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律得滑块在E点时对管道的作用力大小为 故D正确。 故选AD。 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）当做圆周运动的物体角速度变化时，我们可以引用角加速度来描述角速度的变化快慢，即。图甲中某转盘自时由静止开始转动，其前4s内角加速度随时间变化如图乙所示。则（　　） A．时刻， B．时刻， C．0~1s过程中，圆盘转过的角度 D．0~1s过程中，圆盘边缘的某质点所需向心力随时间正比例增加 【答案】B 【详解】A．由角加速度定义可知，β-t图像面积大小为角速度ω的增加量，得t=1s时刻的角速度ω1=2.5rad/s，故A错误； B．t=3s时刻，ω3=17.5rad/s，故B正确； C．0~1s过程中，平均角速度，转过的角度，故C错误； D．由牛顿第二定律可知 设0~1s过程中图线斜率为k，有 即有Fn∝t4，故D错误。 故选B。 7．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上点。质量为的小球和轻弹簧套在轻杆上，弹簧的劲度系数为，弹簧原长为，左端固定在点，右端与小球相连。长为的不可伸长且质量不计的细绳一端系住小球，另一端系在转轴上点，、间距离为。装置静止时将小球向左缓慢推到距点处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，不计转轴所受摩擦和空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A．小球与轻杆间的动摩擦因数为 B．小球与轻杆间恰无弹力时装置转动的角速度为 C．从开始转动到细绳伸直的过程中，小球克服摩擦力做的功为 D．若从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，小球克服摩擦力做的功为，则该过程外界提供给装置的能量为 【答案】D 【详解】A．小球恰好静止，则 解得小球与轻杆间的动摩擦因数为，错误； B．设小球与轻杆间恰好无弹力时绳与竖直方向的夹角为，， 由牛顿第二定律得， 联立解得装置转动的角速度，B错误； C．从开始转动到细绳伸直的过程中，小球克服摩擦力做的功为，C错误； D．题设过程中弹簧初始时的压缩量与最终状态的伸长量相等，故弹性势能改变量，由能量守恒定律得，该过程外界提供给装置的能量， 联立解得该过程外界提供给装置的能量，D正确。 故选D。 8．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动 B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大 C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大 D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率 【答案】C 【详解】A．转动时细胞做圆周运动需要向心力为 由于a、b两种细胞的ω、r均相同，而ρa<ρ0，细胞a所需的向心力比相同体积的血浆所需的向心力小，则细胞a做向心运动，细胞a相对试管向内侧运动，而ρb>ρ0，细胞b所需的向心力比相同体积的血浆所需的向心力大，则细胞b做离心运动，细胞b相对试管向外侧运动，故A错误； B．“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，细胞b相对试管向外侧运动，“模拟重力”做正功，“模拟重力势能”变小，细胞a相对试管向内侧运动，“模拟重力”做负功，“模拟重力势能”变大，故B错误； C．“模拟重力”大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比，根据 可知，“重力加速度”与其到转轴距离成正比，所以沿转动半径方向向外侧逐渐变大，故C正确； D．根据P=Fvcosθ，若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，由于无法确定a、b细胞的“模拟重力”大小关系，则“模拟重力”对a、b细胞做功的功率大小无法确定，故D错误。 故选C。 9．（2025·江苏徐州·一模）如图所示，一条长为的不可伸长细线，上端固定在转轴的O点，下端拴一质量为的小球，使小球在水平面内随转轴做匀速圆周运动，细线沿圆锥面旋转，这样就形成了一个圆锥摆。忽略空气阻力，重力加速度g取（，）。 (1)当细线与竖直方向成角时，求小球的角速度； (2)若保持小球轨迹圆的圆心到O点的竖直距离h不变，改变线长L，小球做匀速圆周运动的动能是否会随之改变？如何改变？写出分析过程。 【答案】(1) (2)小球做匀速圆周运动的动能随线长的增加而增大。 【详解】（1）对小球进行受力分析，如图所示 根据牛顿第二定律，有 代入数据解得 （2）对小球，根据牛顿第二定律有 根据几何关系有 且 整理可得 可知当保持小球轨迹圆的圆心到O点的竖直距离h不变，改变线长L，小球做匀速圆周运动的动能随之改变，且线长越长，动能越大。 10．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，做匀速圆周运动的质点在时间t=1s内由A点运动到B点，AB弧长L=1m，其对应的圆心角。设质点线速度和角速度大小分别为v、ω，向心加速度大小为a1，该段时间内平均加速度大小，则（　　） A．ω=1rad/s B．v=1m/s C． D． 【答案】BC 【详解】A．质点的角速度大小，故A错误； B．质点的线速度大小，故B正确； C．轨迹圆的半径 质点的向心加速度大小，故C正确； D．根据几何关系，质点从A点运动到B点的速度变化量大小 则该段时间内质点的平均加速度大小，故D错误。 故选BC。 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）一质点从A点开始做自由落体运动，下落到B点时受其他力作用改做匀速圆周运动，质点在圆周运动过程中和自由落体过程中的加速度大小相等。已知A、B之间的距离为h，重力加速度为g，则质点做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质点从A到B下落距离为，由自由落体公式 得B点速度 题目指出圆周运动的加速度大小等于自由下落的加速度，即向心加速度 根据向心加速度公式 解得 故选A。 12．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一异形漏斗的母线OA与竖直方向的夹角为30°，母线AB与竖直方向的夹角为45°。小朋友将质量为m的光滑小球放在漏斗中，他先让小球在半径为r的1轨道上做匀速圆周运动，后来通过晃动漏斗让小球在半径为3r的2轨道上做匀速圆周运动，晃动漏斗前后O点位置没有发生变化。已知OA=4r，重力加速度为g。在他晃动漏斗的过程中漏斗对小球做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球在1轨道上做匀速圆周运动时，对小球受力分析有 由牛顿第二定律有 解得 小球离O点竖直方向的距离 小球在2轨道上做匀速圆周运动时，对小球受力分析有 由牛顿第二定律有 解得 小球离O点竖直方向的距离 在晃动漏斗过程中由动能定理有 解得 故选A。 13．（2025·辽宁大连·三模）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时小球的速度为（忽略空气阻力）。求： (1)小球到达B点时对轨道的压力； (2)小球从B点运动到C点所用的时间t； (3)小球离开B后，距离斜面的最远距离d。 【答案】(1)3mg (2) (3) 【详解】（1）小球到达B点时，根据牛顿第二定律有 求得轨道对小球的弹力 由牛顿第三定律，可知小球此时对轨道的压力为 （2）小球从B点运动到C点做平抛运动，有，， 联立求得所用的时间 （3）将小球在B点的速度和重力加速度分别沿斜面和垂直斜面方向分解，则有， 当减为零时，此时小球距离斜面的距离最远，有 14．（2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，该一小段圆周的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小珂设计了如图2所示的过山车模型，质量为的小球在A点由静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道BC进入半径的圆形轨道，恰能做完整的圆周运动；再经水平轨道进入“水滴形”曲线轨道，点的曲率半径，“水滴形”轨道最高点与圆形轨道最高点等高。忽略所有轨道摩擦力，各轨道都平滑连接，“水滴形”轨道左右对称，取。 (1)求小球释放点A距离水平面的高度； (2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点与最高点的向心加速度大小的差值； (3)在“水滴形”轨道上运动时，小球的向心加速度大小为一个定值，求“水滴形”轨道上任意一点的曲率半径随距地面高度变化的函数表达式（即：用和表示）。 【答案】(1)2m (2)40 m/s2 (3)或 【详解】（1）小球恰能做完整的圆周运动，则在D点，由牛顿第二定律有 由A到D，由机械能守恒定律有   解得H =2m （2）由A到C，由机械能守恒定律有   在圆轨道上C点，向心加速度 结合上述有 （3）小球在E点，向心加速度 根据机械能守恒定律有 解得 由题意可知，小球在轨道EFG上任意一点的向心加速度均为2g。设小球运动到距地面高为h处，速度大小为v，由机械能守恒定律有 由于 解得r=2.5R1-h或r=2-h 15．（2025·北京西城·三模）如图所示，长为的细绳上端悬于点，下端拴一个质量为的小球（可看作质点）。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。若细绳的长度增大为，仍使小球在同一水平面内做匀速圆周运动（小球距悬点的高度差不变），下列说法正确的是（　　） A．小球的角速度增大为原来的倍 B．小球的线速度增大为原来的倍 C．小球的加速度增大为原来的倍 D．小球对细绳的拉力变为原来的倍 【答案】D 【详解】A．当绳长为l时，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有 当绳长为1.5l时，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有 令小球距悬点的高度差为h，则有 解得，，故A错误； B．小球的线速度， 解得，故B错误； C．小球的线速度， 解得，故C错误； D．对小球，竖直方向有， 结合上述解得，故D正确。 故选D。 16．（2025·河南·模拟预测）如图所示，两可视为质点的小球、分别套在光滑直角型轻杆的水平杆和竖直杆上，球与轻弹簧拴接，弹簧的另一端固定在点，球、间用一根不可伸长的细线相连，装置可绕在水平面内转动。水平杆转动的角速度时，细线与杆的夹角为。现缓慢增大转速至，使细线与杆的夹角增大为，此时弹簧的形变量与转速为时的形变量相同。已知细线的长度，球、的质量分别为，，重力加速度取10m/s2，，。求： (1)角速度为时，杆对球的弹力大小； (2)角速度； (3)装置从角速度增大到的过程中，外力对装置做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）角速度为时，设线中拉力为，对B球受力分析，有， 解得 （2）角速度为时，设弹簧中弹力为，对A球受力分析，有 角速度为时，设线中拉力为，对B球受力分析，有 对A球受力分析，有 解得 （3）装置从角速度增大到的过程中，B球重力势能的增量为 A球动能的增量为 外力对装置做的功 解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $