单元检测卷（五）平面向量与复数-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

单元检测卷（五） 平面向量与复数 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．（23-24高三下·北京西城·开学考试）平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（    ） A． B． C．3 D．6 5．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 7．（24-25·河南·二模）已知，，，设与的夹角为，则（   ） A．240° B．225° C．135° D．90° 8．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 10．（24-25·湖北黄石·模拟预测）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．若，则 C．已知，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大 11．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）在直角三角形中，⊥，为线段上一点，则下列说法正确的有（   ） A．不存在直角三角形，使得是，的等差中项 B．若，，，则 C．若，，是的内切圆在上的切点，则 D．若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知在方向上的投影向量为，则 . 13．（24-25·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则 ． 14．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 16．（24-25·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 17．（24-25·广西·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值． 18．（24-25·北京·模拟预测）在中，角所对边分别为，已知： (1)求； (2)已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 19．（24-25·广东广州·二模）设，集合（为向量），若，定义. (1)若，且，写出所有的； (2)若，且，设满足的的个数为，求的值； (3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（五） 平面向量与复数 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部是. 故选：B 2．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出即可得对应点的位置. 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】由题意可得，，又，可得，可求. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 4．（23-24高三下·北京西城·开学考试）平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量的混合运算、已知数量积求模 【分析】利用向量模的计算公式可求. 【详解】因为是线段的中点，故， 故， 故选：A. 5．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、解析法在向量中的应用 【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得，，设并结合数量积的坐标表示列方程求向量坐标，进而求模长. 【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故． 故选：B 6．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 7．（24-25·河南·二模）已知，，，设与的夹角为，则（   ） A．240° B．225° C．135° D．90° 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用向量的平方等于模的平方来求解夹角即可. 【详解】由得： 因为，，所以， 即， 因为，所以， 故选：C. 8．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】根据向量夹角公式求得，从而得解. 【详解】根据题意，， 又，则， 所以， 则， 又两向量夹角范围为， 所以向量与向量的夹角是. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】A.利用平面向量的数量积运算求解判断；B.利用平面向量的模公式求解判断；C.利用平面向量夹角公式求解判断；D.利用平面向量的投影向量的定义求解判断. 【详解】解：因为，， 所以，则，所以，故A正确； ，所以，故B错误； ，因为，所以，故C正确； 在方向上的投影向量是，故D错误； 故选：AC 10．（24-25·湖北黄石·模拟预测）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．若，则 C．已知，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、由已知条件判断所给不等式是否正确、组合数的计算、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】应用数量积公式结合夹角公式计算判断A，应用不等式性质计算判断B，应用组合数及排列数计算判断C，列不等式求解概率最大值判断D. 【详解】A.因为，两边同时平方，得，即，所以， 因此，因为，所以， 因此与的夹角为锐角或零角，故A错误，符合题意； 对于B，由于，故，故，B正确， 对于选项C：根据排列数和组合数的计算公式可得，，， 因为，所以有，即解得，故选项C正确； 对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，， 当时，对应的概率， 所以当时，， 令得，即， 因为，所以且， 令，可得， 所以， 即时，概率最大，故选项D正确． 故选：BCD． 11．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）在直角三角形中，⊥，为线段上一点，则下列说法正确的有（   ） A．不存在直角三角形，使得是，的等差中项 B．若，，，则 C．若，，是的内切圆在上的切点，则 D．若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、数量积的运算律、等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】举反例判断A，根据正弦定理求解判断B，利用等面积法求得的内切圆半径，然后利用向量法判断C，举出实例得到D正确. 【详解】对于A，，，，满足是，的等差中项，A错误； 对于B，直角三角形中，⊥，故， 由正弦定理可得， 又，，故，B正确； 对于C，设的内切圆为， 由三角形面积可知，则的内切圆半径， 由几何关系知，，，故，即， 所以，， 则，故C正确； 对于D，取，，则，， 故， 即存在直角三角形，使得是，的等比中项，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知在方向上的投影向量为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】由投影向量的定义，结合已知有，即可得. 【详解】由在方向上的投影向量，即，解得. 故答案为： 13．（24-25·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则 ． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可. 【详解】由，得， 又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以， 在中，由余弦定理，得：， . 故答案为：7. 14．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、已知向量垂直求参数、利用坐标求向量的模 【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 16．（24-25·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【详解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 17．（24-25·广西·模拟预测）已知向量，，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的周期公式求最小正周期即可； （2）由求出，由三角形面积公式和余弦定理求出和，再根据是线段的中点可得，利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 故最小正周期为． （2）因为，且， 所以，解得， 由，得， 由余弦定理即，解得， 又因为是线段的中点，所以， 得， 故． 18．（24-25·北京·模拟预测）在中，角所对边分别为，已知： (1)求； (2)已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 【答案】(1) (2)若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解； （2）若选①，可余弦定理运算可知此时存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦定理可知此时，此时通过余弦定理可唯一解出满足题意，结合三角形面积公式求解即可；若选③，一方面有，另一方面，且，由此可唯一解出，进而也唯一，满足题意，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为 所以，即， 所以. （2）若选①，因为，， 所以由余弦定理有，整理得， 解得，此时存在但不唯一，不符题意； 若选②，则， 所以此时， 由余弦定理有，整理得， 解得或（舍去），此时存在且唯一， 且； 若选③，则， 又，且， 所以整理得，解得或（舍去）， 此时存在且唯一， 且. 19．（24-25·广东广州·二模）设，集合（为向量），若，定义. (1)若，且，写出所有的； (2)若，且，设满足的的个数为，求的值； (3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)，， (3)分布列见解析， 【难度】0.15 【知识点】二项式定理与数列求和、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、向量新定义 【分析】（1）设设，，，根据定义列方程求，由此可得结论； （2）方法一：根据定义，由条件可得，由二项式定理可得，由此可求结论； 方法二：根据定义，由条件可得，结合组合数性质，分为奇数，为偶数两种情况结合裂项相消法分别求结论； （3）方法一：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可得结论； 方法二：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，，由此可求结论. 【详解】（1）设，，， 因为，， 所以，， 所以， 若，则， 若，则，或，， 所以满足的为：. （2）解法1：因为， 则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即. 由二项式定理，， 所以， 因此，，， 解法2：因为， 则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即. 因为，所以，，，，， 所以，为奇数时， . 为偶数时， . 因此，，； （3）解法1：若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为. 首先计算. 设， 两边求导得，， 两边乘以后得， 令，得， 所以 所以. 下面计算 因为， ， ， ， 因为， 所以，所以. 所以. 解法2：由题意可知，， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为， 令，因为， 可得 其中， 因为， 所以， ，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $