专题02 二次函数解析式求法及与方程不等式关系（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题2 二次函数解析式求法及与方程不等式关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用一般式求二次函数解析式 1 题型二、利用顶点式求二次函数解析式 3 题型三、利用交点式求二次函数解析式 6 题型四、综合题求二次函数解析式 8 题型五、二次函数与一元二次方程关系 8 题型六、二次函数与一元二次不等式关系 8 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、利用一般式求二次函数解析式 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）关于二次函数，已知当时，；时，；时，，求这个二次函数表达式． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式． 6．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 题型二、利用顶点式求二次函数解析式 7．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的顶点坐标为，且与轴的交点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 8．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； (2)图象顶点坐标为，且经过点． 10．（20-21九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图象顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式． 11．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过顶点和另一点，求二次函数解析式． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 题型三、利用交点式求二次函数解析式 13．（25-26九年级上·天津·开学考试）根据二次函数图像上三个点的坐标，求出函数的解析式： 14．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 15．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）（1）已知关于x的方程0，若方程的一个根，求方程的另一个实数根及p的值； （2）已知二次函数的图象与x轴交于两点，且过点，求这个二次函数的解析式． 16．（2025·广东茂名·模拟预测）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 17．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 18．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，点在轴上，，点，求经过点、、的抛物线的解析式． 题型四、综合题求二次函数解析式 19．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 20．（24-25九年级上·辽宁·期末）（1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过两点，求二次函数的表达式． 21．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 22．（2021·广东清远·二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的函数表达式； 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； 24．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； 题型五、二次函数与一元二次方程关系 25．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； (2)若该二次函数图象的对称轴为直线，求它与x轴的交点坐标． 26．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数． (1)若该图象过点，求c的值并求图象的顶点坐标； (2)若二次函数的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值． 27．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数 (为常数)． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若函数图象与轴的两个公共点均在原点的同侧，求的取值范围； 28．（安徽省合肥市百校联考2025--2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 29．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且的面积为 ，求的值． 30．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当x为何值时，函数y随着x的增大而增大？ 题型六、二次函数与一元二次不等式关系 31．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 32．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 33．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)直接写出方程的两个根． (2)直接写出不等式的解集． (3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 34．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式：______________； (2)抛物线与x轴交点（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线，并写出的面积：________________； (3)当自变量x满足__________时，函数． 35．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 36．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 37．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 38．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 41．（2025九年级下·湖北·学业考试）设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为．当为等边三角形时，的面积为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 44．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（    ） A．方程有3个根，则 B． C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则 D．抛物线的顶点坐标为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 二次函数解析式求法及与方程不等式关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用一般式求二次函数解析式 1 题型二、利用顶点式求二次函数解析式 3 题型三、利用交点式求二次函数解析式 6 题型四、综合题求二次函数解析式 8 题型五、二次函数与一元二次方程关系 8 题型六、二次函数与一元二次不等式关系 8 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、利用一般式求二次函数解析式 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛物线的解析式为，把，，三点分别代入求出a，b，c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把，，分别代入得， 解得． ∴． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）关于二次函数，已知当时，；时，；时，，求这个二次函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 分别将，；，和，代入到表达式中，列三元一次方程组并解方程组即可． 【详解】解：将，；，和，分别代入表达式中， 得三元一次方程组， 解得：， 所以这个二次函数的表达式为． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．根据点在抛物线上，将，代入得方程组，求解即可． 【详解】解：将，分别代入 得， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由图象可得，，代入得到三元一次方程组，求解方程组得出a、b、c的值即可解答． 【详解】解：由图象可得，， 把分别代入二次函数表达式，得， 解得， 二次函数的表达式为． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的表达式． 设这个二次函数的表达式为，把代入计算即可. 【详解】解：设这个二次函数的表达式为． 把代入，得解得 ∴这个二次函数的表达式为． 6．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 【答案】， 【分析】根据题意，得，，，设抛物线的解析式为,则把代入解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，求顶点坐标，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， 设抛物线的解析式为,则把代入得： ， 解得：, ∴-8, ∴． 题型二、利用顶点式求二次函数解析式 7．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的顶点坐标为，且与轴的交点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设顶点式，然后把代入求出a即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 此抛物线的函数表达式为． 8．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明同学：对称轴是直线． 小刚同学：函数有最小值，最小值为． 小婷同学：此函数的图象经过点关于轴的对称点． 请你根据上述同学的对话，求出满足条件的该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用对称轴、最小值得出顶点式解析式是解题关键． 根据对称轴、最小值，可得顶点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标，可得图象上的点，根据待定系数法，可得答案． 【详解】解：对称轴是直线，函数有最小值， 顶点坐标是， 设该二次函数的表达式为， 点关于轴的对称点是， 将点代入函数表达式，得， 解得， 该二次函数的表达式为． 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； (2)图象顶点坐标为，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题目特点灵活选取二次函数解析式的形式是解题的关键； （1）由题意，设二次函数的表达式，把三点坐标代入函数式中，解方程组即可求解； （2）设抛物线的解析式为顶点式为，把代入求出a的值，即可得到解析式． 【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得：， ． 二次函数的表达式． （2）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． 10．（20-21九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图象顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据已知条件设二次函数的解析式是，把代入，进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， ∴设二次函数的解析式是， 把代入，得，即， ∴该二次函数的解析式是． 11．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过顶点和另一点，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的图象经过顶点，设二次函数的解析式是，把点的坐标代入求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过顶点， 设二次函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式是． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由顶点设二次函数的解析式为，再把代入计算即可． 【详解】解：设该二次函数的解析式为． 该二次函数的图象经过点， ， ， 该二次函数的解析式为． 题型三、利用交点式求二次函数解析式 13．（25-26九年级上·天津·开学考试）根据二次函数图像上三个点的坐标，求出函数的解析式： 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据题意可设解析式为，进而将代入求解即可． 【详解】∵二次函数图像经过， ∴可设解析式为， ∵二次函数图像经过， ∴， 解得， ∴该函数的解析式为． 14．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可． 【详解】解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为． 15．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）（1）已知关于x的方程0，若方程的一个根，求方程的另一个实数根及p的值； （2）已知二次函数的图象与x轴交于两点，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】（1）方程的另一个实数根是4，p的值是；（2）． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，由根与系数的关系可得，据此求出的值，进而可求出p的值； （2）先把解析式设为交点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）∵0， ∴， ∴， ， ， ∴， ． ∴方程的另一个实数根是4，p的值是， （2）∵二次函数 的图象与x轴交于两点， ∴可设这个二次函数的解析式为， 又∵函数的图象过点， ， 解得 ， ∴这个二次函数的解析式为 ，即 ． 16．（2025·广东茂名·模拟预测）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为． 17．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将相关各点坐标代入，求出未知系数，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得， ， 解得， 则二次函数解析式为． 18．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，点在轴上，，点，求经过点、、的抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，先求得，再利用待定系数法求函数解析式的方法求解即可． 【详解】解：，， 设经过点、、的抛物线的解析式为， 把，代入中， 得，解得． 经过点、、的抛物线的解析式为． 题型四、综合题求二次函数解析式 19．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 20．（24-25九年级上·辽宁·期末）（1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过两点，求二次函数的表达式． 【答案】（1），   （2） 【分析】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把、的坐标分别代入得到、的方程组，然后解方程求出、，从而得到抛物线解析式． 【详解】解：（1）， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）把代入， 得， 解得， ． 21．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 【答案】(1) (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． （2）解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 22．（2021·广东清远·二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的函数表达式； 【答案】(1) 【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式； 【详解】（1）解： ，， ，， 将，代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ， ∴抛物线的解析式为； 24．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； 【答案】(1) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． 题型五、二次函数与一元二次方程关系 25．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； (2)若该二次函数图象的对称轴为直线，求它与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 26．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数． (1)若该图象过点，求c的值并求图象的顶点坐标； (2)若二次函数的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)或0 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数图象与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点代入解析式，即可求出c的值，将二次函数化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）二次函数的图象与坐标轴有2个交点，其中一个交点是与y轴的交点，因此分两种情况求解，即二次函数图象与x轴只有一个交点，或二次函数图象与x轴、y轴的交点重合，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：∵二次函数的图象与坐标轴有2个交点， ∴当二次函数图象与x轴只有一个交点时， ∴， 解得； 当二次函数图象与x轴、y轴的交点重合时，即二次函数图象过原点， ∴； 综上所述，或0． 27．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数 (为常数)． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若函数图象与轴的两个公共点均在原点的同侧，求的取值范围； 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了二次函数和轴的交点问题，根的判别式，主要考查学生的理解能力和计算能力．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先求得方程的两根，即可求得函数图像与轴的交点的坐标，再根据题意得出不等式组求解即可． 【详解】（1）证明：令，则，， 方程有两个不相等的实数根． 不论为何值该函数图象与轴总有两个公共点． （2）解：当时，． 解这个方程，得，． 函数图象与轴的交点的坐标为，． 函数图象与轴的两个公共点均在原点的同侧， 或， 解得：或． 28．（安徽省合肥市百校联考2025--2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或5 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合． （1）令，得，证明即可； （2）令，得，根据根与系数的关系可得进而得到根据得到求解即可． 【详解】（1）证明：令，得， 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； （2）解：令，得， 该抛物线与轴交于点A，B，且， 整理，得，解得或． 29．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且的面积为 ，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，一元二次方程的解法，二次函数性质，三角形面积等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由即可求证； （）令，即，求出，令，则，所以点的坐标为，则，然后利用，得出，然后分情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）解：令，即， ， 解得，， 所以， 令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 当时，，即， 解得； 当时，，即，无实数解， 综上可知：． 30．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当x为何值时，函数y随着x的增大而增大？ 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线； (2)图象与轴的交点坐标为， (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可； （2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标； （3）利用五点法作出函数图象即可； （4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，； （3）解：函数图象如图所示； （4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大． 题型六、二次函数与一元二次不等式关系 31．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 32．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或； (2)任意实数 (3)，； (4)． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中例题即可求解； （）当时，所以无实数根，则与轴无交点，从而求出的范围； （）由一元二次不等式的解集为，则的两个实数根为，，然后根据根与系数的关系得，，求出的值即可； （）分当时，，对实数都成立，当时，设，则，然后根据不等式对实数都成立，所以，最后求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：求相应方程的根：，解得，， 画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象，如图， ∴根据图象得到不等式的解集为：或， 故答案为：或；； （2）解：当时， ∴， ∴无实数根， ∴与轴无交点， 作二次函数的图象，如图， ∴的解集为：任意实数， 故答案为：任意实数； （3）解：∵一元二次不等式的解集为，如图， ∴的两个实数根为，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （4）解：当时，，对实数都成立， 当时， 设， ∴， ∵不等式对实数都成立， ∴， ∴， ∴时，无解； 时，， 综上可知：的取值范围是， 故答案为：． 33．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)直接写出方程的两个根． (2)直接写出不等式的解集． (3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 34．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式：______________； (2)抛物线与x轴交点（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线，并写出的面积：________________； (3)当自变量x满足__________时，函数． 【答案】(1) (2)作图见解析，的面积为 (3)或 【分析】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，结合图像理解函数的增减性，根据网格求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由于二次项系数是，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可； （2）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出的面积； （3）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：∵抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴，， 当时，得：， ∴， 如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图像知：当或时，． 35．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，抛物线的对称轴为直线．令，得，即点的坐标为，进而可得点的坐标为． （2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （3）结合图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、点， 抛物线的对称轴为直线， 令，得， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称， ． （2）解：将，代入得， 解得：， ； （3）解：∵，， 由图可得，关于的不等式的解集为． 36．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次不等式的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法． （1）分别令求出点A、B、C的坐标分别为，再根据的面积求出，继而求出函数解析式； （2）的解集化为和的解集的公共部分，借助图象法求解即可． 【详解】（1）解：由题意，令， 或3． 令，则， 点A、B、C的坐标分别为． 又， 解得：． 抛物线的表达式为：． （2）解：不等式即为：， ∴当，则， ∴， ∴， 当时，可知抛物线与轴交点横坐标分别为， 而抛物线开口向上， ∴的解集为， ∴的解集为：且， 故答案为：且． 37．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 【答案】(1)，对称轴为 (2)或 (3)， 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，新定义的计算，整点的计算和利用割补法求三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求二次函数解析式，并根据公式计算对称轴即可； （2）先求出点到轴的距离，然后得到点的纵坐标，代入新定义的式子计算即可； （3）先根据割补法求出三角形的面积，然后利用待定系数法求出直线的解析式，求出整点的个数a和b，然后得到公式即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：， 即抛物线的对称轴为：； （2）解：∵C点到x轴的距离为， ∴点的纵坐标， 当时，则，解得， 当时，则，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为，的解析式为， 当时，，所以边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，，所以三角形内部格点为，，，边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，所以三角形边上的格点为； ∴，， 即． 38．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求二次函数解析式，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作轴于点H，求出和的长，进而求出点C的坐标，将点A和点C的坐标代入，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点H， 菱形边长为2， ， ， ， ， ，， ， 将和代入，得： ， 解得， a的值为． 故选：B． 39．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质．作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 40．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．利用待定系数法分别求出表达式比较的大小即可． 【详解】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、B、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过B、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， ， 的值最大为：． 故选：B． 41．（2025九年级下·湖北·学业考试）设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为．当为等边三角形时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、等边三角形的性质．利用配方法把二次函数的解析式写成顶点坐标式，可得顶点的坐标为，从而可知顶点到坐标轴的距离，利用一元二次方程根与系数的关系求出，根据等三角形的性质可得，得到关于的方程，解方程求出的值，即可求出等边三角形的底边与高，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】记抛物线的对称轴交轴于点， 二次函数， 顶点的坐标为， ， 设抛物线与轴的两个交点为，， 则，， ， 为等边三角形， ， 即， 当时， 解得：或， 当时， 解得：或， 或（舍去）， ，， ． 故选：C． 42．（24-25九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的符号判断，根据对称轴为直线得到，由经过点得到，由与轴的两个交点之间的距离大于4，得到，然后逐个选项判断即可． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点， ∴，，即， ∴抛物线解析式为， 设抛物线与轴的两个交点分别为，，且， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴的两个交点之间的距离大于4， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， 故④正确； ∴， 故①正确； 若抛物线经过点，则，解得，不满足，即抛物线不可能经过点，故②错误； ∵一元二次方程可变形为，， ∴， ∴一元二次方程有两不等实数根； 综上所述，正确的有①④， 故选：B． 43．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴，故①正确， ∴，， ∴在正半轴，在第二象限 ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，故②正确， 由，当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，正确，故③正确， 若方程有四个根，设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，故④错误， 故选：C． 44．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（    ） A．方程有3个根，则 B． C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点． 把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断D选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断A选项． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线为，即， ∴抛物线的顶点坐标为．故D选项正确； 把代入函数中，得， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线的开口向上， 且抛物线上的两点，中，， 结合的图象知，， ∴．故B选项正确； 将抛物线向下平移m个单位长度，得到， 该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在点的右侧， ∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确． ∵方程有3个根， ∴函数的图象与直线有3个交点， ∵函数的图象与x轴的交点为，， 如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即 此时把点代入函数中，得到， 解得， 当时，， 如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点 ∴对于方程可化为，即， ∴， 解得， 综上所述，或．故A选项错误． 故选：A． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $