专题03 圆的基本性质（12知识&20题型&4易错&3方法）（期中知识清单）九年级数学上学期浙教版

专题03 圆的基本性质（12知识&20题型&4易错&3方法清单） 【清单01】圆的认识 ★1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. ★3、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 【清单02】点与圆的位置关系 ★点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【清单03】三角形的外接圆 ★1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ★2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 【清单04】图形的旋转 ●一、旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. ●二、旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. ●三、旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【清单05】垂径定理 ★1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： ★2、相关概念 （1）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 如表中图， C 是 弧AB的中点， D 是 弧ADB的中点. （2） 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 如表中图， OP 的长是弦 AB的弦心距. ★3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 【清单06】垂径定理的逆定理 ★1、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） ★2、垂径定理的几个基本图形： 【清单07】圆心角 ★1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ★2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 【清单08】圆周角 ●一、圆周角的概念 ★1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. ★2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 ●二、圆周角定理及推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ★2、圆周角定理的推论 推论1：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单09】圆内接四边形及其性质 ★1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ★2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 【清单10】正多边形 ●一、正多边形的相关概念 ★1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ★2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ★3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. ●二、正多边形的相关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 【清单11】弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【注意】 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【清单12】扇形及扇形的面积公式 ★1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ★2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 【题型一】与圆有关的概念 【例1】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【变式1-1】下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式1-3】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】点和圆的位置关系 【例2】已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【变式2-1】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，⊙O的半径为5，若点P的坐标为（2，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【变式2-2】如图，在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时，r的取值范围是 ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是 ． 【题型三】确定圆心的位置 【例3】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式3-1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 【题型四】三角形的外接圆与外心 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【变式4-1】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    【变式4-3】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【题型五】旋转的相关概念 【例5】下列运动属于旋转的是（    ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 【变式5-1】下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【题型六】利用旋转的性质求角度 【例6】如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【变式6-3】如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型七】利用旋转的性质求线段长 【例7】如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式7-2】如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    【变式7-3】如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 【题型八】旋转作图 【例8】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标． 【变式8-1】在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，． (1)试作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点B的坐标为，试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标； (3)作出与关于原点对称的图形，并写出三点的坐标． 【变式8-2】在如图所示的直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向下平移个单位后得到，请在图中画出，； (2)将绕原点逆时针旋转后得到，请在图中画出． (3)请判断的形状． 【题型九】利用垂径定理求线段长 【例9】如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式9-2】如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 【题型十】垂径定理的实际应用 【例10】如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-1】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【变式10-2】如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【变式10-3】只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【题型十一】与圆心角有关的计算 【例11】如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【题型十二】与圆心角有关的证明 【例12】如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为的中点，M，N分别是OA，OB的中点， 求证：MC＝NC． 【变式12-1】如图，中，弦，相交于点，．求证： (1)； (2)． 【变式12-2】如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E． 求证：(1) (2)． 【题型十三】与圆周角有关的计算 【例13】如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【变式13-1】如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【变式13-2】如图，A，C，B，D四点都在上，是的直径，圆的半径为3，，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4 【变式13-3】如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【题型十四】与圆周角有关的证明 【例14】如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 【变式14-1】如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【变式14-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O， 连接MB． （1）若∠M＝∠D，求证：； （2）若CD＝6，BE＝2，求⊙O的半径． 【题型十五】圆内接四边形的计算 【例15】如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 【变式15-1】如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【题型十六】圆内接四边形的证明 【例16】如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【变式16-1】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式16-2】如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 【变式16-3】如图，是的内接三角形，，D为中上一点，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【题型十七】正多边形的相关概念 【例17】下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 【变式17-1】下列说法错误的是（   ） A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 【变式17-2】如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【题型十八】正多边形相关的计算 【例18】如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式18-1】如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【变式18-2】如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是 ． 【变式18-3】如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【题型十九】弧长的计算 【例19】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 【变式19-2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【题型二十】扇形面积的计算 【例20】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（　　） A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2 【变式20-1】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【变式20-2】如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式20-3】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．75° 【题型一】对圆的有关性质和定理理解不清 【例1】下列命题：①直径是弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③等弧对等弦；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤半径相等的两个半圆是等弧；⑥弦是圆上两点之间的部分；⑦优弧大于劣弧；⑧圆的切线垂直于半径．错误的个数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【变式1-2】下列命题中真命题的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧度数的一半． 【题型二】不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系 【例2】若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【变式2-2】图，在同圆中，若，则 ， （填“>”“<”或“=”） 【题型三】考虑问题不全面 【例3】已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【变式3-1】的直径，弦，且于D，则的面积为 ． 【变式3-2】已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ． 【题型四】与圆有关的最值问题 【例4】如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【变式4-2】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式4-3】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【题型一】旋转性质的综合运用 【例1】综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【变式1-1】已知在中，，，于． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．求证：； (2)如图，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 【变式1-2】综合与探究问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即），按照图1所示的方式摆放．其中，点D、E分别为的中点．老师要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． 操作探究1：（1）如图2，“勤学”小组将沿射线上平移得到，分别连接，发现四边形是平行四边形，请证明这一结论． 操作探究2：（2）“善思”小组将由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到． ①如图3，当点Q落在边上时，延长交于点M，判断的形状并说明理由． ②当旋转到时，连接，若，请直接写出线段的长． 【题型二】求不规则阴影部分的面积 【例2】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2-2】如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，． (1)求半径的长； (2)求图2中阴影部分的面积． 【题型三】圆中的综合题 【例3】已知的直径为10，弦，点E为上一点，过点E 作弦． (1)如图（1），若 ，连接，求的长； (2)如图（2），过点C作于点G，连接，当过点O 时，若 ，求的长． 【变式3-1】回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【变式3-2】如图，已知的两条弦，相交于点，且． (1)如图1．连结．求证：； (2)如图2．若，在上取一点E，使，交于点F，连接、． ①判断与是否相等，并说明理由； ②若，，求的面积． 【变式3-3】四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC=AB：AD． （1）如图1，求证：BC=CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的基本性质（12知识&20题型&4易错&3方法清单） 【清单01】圆的认识 ★1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. ★3、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 【清单02】点与圆的位置关系 ★点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【清单03】三角形的外接圆 ★1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ★2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 【清单04】图形的旋转 ●一、旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. ●二、旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. ●三、旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【清单05】垂径定理 ★1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： ★2、相关概念 （1）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 如表中图， C 是 弧AB的中点， D 是 弧ADB的中点. （2） 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 如表中图， OP 的长是弦 AB的弦心距. ★3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 【清单06】垂径定理的逆定理 ★1、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） ★2、垂径定理的几个基本图形： 【清单07】圆心角 ★1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ★2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 【清单08】圆周角 ●一、圆周角的概念 ★1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. ★2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 ●二、圆周角定理及推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ★2、圆周角定理的推论 推论1：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单09】圆内接四边形及其性质 ★1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ★2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 【清单10】正多边形 ●一、正多边形的相关概念 ★1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ★2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ★3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. ●二、正多边形的相关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 【清单11】弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【注意】 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【清单12】扇形及扇形的面积公式 ★1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ★2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 【题型一】与圆有关的概念 【例1】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 【变式1-1】下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】（1）直径是圆中最大的弦，正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误；（3）面积相等的两个圆是等圆，正确；（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦，错误. 故选B． 【点睛】本题考查了与圆有关的概念，解题的关键是能够了解圆的有关概念． 【变式1-2】AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据已知条件可得圆的圆心为线段AB的中点，半径为6cm，即可得到符合条件的圆有1个． 【详解】解：∵AB＝12cm，圆的半径为6cm， ∴AB为直径， ∴圆心为线段AB的中点， ∴符合条件的圆可以画1个． 故选：B 【点睛】本题考查了圆的定义与圆的性质，确定一个圆有两个要素，一是圆心，二是半径，理解题意，得到AB为圆的直径是解题关键． 【变式1-3】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【题型二】点和圆的位置关系 【例2】已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，⊙O的半径为5，若点P的坐标为（2，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【答案】A． 【分析】根据P的坐标得出OP的长即可得出结论． 【详解】解：∵点P的坐标为（2，3）， ∴OP， ∵5，O是坐标原点，⊙O的半径为5， ∴点P在⊙内， 故选：A． 【变式2-2】如图，在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时，r的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，先根据勾股定理算出，再结合点与圆的位置关系进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时， ∴， 即， 故答案为：． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆内，由此得到，即可求出的取值范围． 【详解】解：点B到圆心O的距离， ∵点B在内， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【题型三】确定圆心的位置 【例3】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式3-1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 【答案】(1)；2 (2)点M在内 【分析】本题考查了过三点的圆和勾股定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． （1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出坐标，求出半径即可； （2）求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系． 【详解】（1）解：连接，，分别作出与的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示： 由图形可知． 在中，，，由勾股定理可知：． 即的半径为． （2）解：∵点， ， ∴ ， ∴点M在内． 【题型四】三角形的外接圆与外心 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 【变式4-1】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 【变式4-3】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【分析】根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明AB＝AC，连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴， ∴AB＝AC， 连接OB， ∵OD⊥BC，BC＝8， ∴BD＝DCBC8＝4， 在Rt△ODB中，OD3， ∴AD＝5+3＝8， ∴S△ABC8×8＝32． 【题型五】旋转的相关概念 【例5】下列运动属于旋转的是（    ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 【答案】D 【详解】根据旋转的定义，判断各选项是否围绕固定点或轴转动. 【分析】A. 滚动过程中的篮球，接触点不断变化，并非绕固定点转动，属于滚动而非旋转； B. 图形沿直线对折是轴对称，属于翻折，不涉及旋转； C. 气球升空是沿直线方向的平移运动，无旋转； D. 钟摆绕固定悬挂点往复摆动，属于绕定点转动，符合旋转的定义. 故选D. 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键. 【变式5-1】下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 【变式5-2】下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键． 根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断． 【详解】解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意． 故选：A． 【变式5-3】如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【题型六】利用旋转的性质求角度 【例6】如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-1】两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 【变式6-2】如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 【详解】解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）由得：， ，， ， ． 【题型七】利用旋转的性质求线段长 【例7】如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，旋转的性质；由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则，故． 【详解】解：由题意以及旋转的性质知，， ， ， ， 故为等边三角形，即 ， 则， 故选：B． 【变式7-1】如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质证明是等腰直角三角形即可根据勾股定理求得答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后与重合， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-2】如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 【变式7-3】如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 【题型八】旋转作图 【例8】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，， 【分析】本题考查作图——旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）由图可直接得，点的坐标．设经旋转后点P的对应点为，由旋转的性质可得点的坐标为，再由平移的性质可得点的坐标为． 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）由图可得，，， 设经旋转后点P的对应点为， 点的坐标为， 平移后点的坐标为． 【变式8-1】在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，． (1)试作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点B的坐标为，试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标； (3)作出与关于原点对称的图形，并写出三点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转和中心对称： （1）分别找出点B、C绕点A沿顺时针方向旋转后的对应点，然后再顺次连接三个点，即可得到； （2）先根据点B的坐标确定出原点是点A向左4个单位，向上5个单位，然后建立平面直角坐标系，即可写出点A、C的坐标； （3）分别找出点A、B、C关于原点的对称点，然后顺连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：建立坐标系如图，； （3）解：如图，． 【变式8-2】在如图所示的直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向下平移个单位后得到，请在图中画出，； (2)将绕原点逆时针旋转后得到，请在图中画出． (3)请判断的形状． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰直角三角形 【分析】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，勾股定理和逆定理，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得到其变换后对应点． （1）根据画出，将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）根据勾股定理求出的三条边长，然后根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【题型九】利用垂径定理求线段长 【例9】如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 【变式9-1】如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 【变式9-2】如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设半径为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【题型十】垂径定理的实际应用 【例10】如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造垂径是解题的关键． 如图：连接，设该圆的半径为r，则，由题意可得：，然后代入得到关于r的方程求解，进而求得圆的直径． 【详解】解：如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由题意可得：， ∴，解得：， ∴圆形拱门的直径是米． 故选D． 【变式10-1】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 【变式10-2】如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接，设圆的半径为r，则，由垂径定理得，由，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，且过圆心O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式10-3】只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 【题型十一】与圆心角有关的计算 【例11】如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式11-1】如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 【变式11-2】如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数． 【详解】解：点是弧的中点， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 【变式11-3】如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【详解】解：连接，，如图： ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【题型十二】与圆心角有关的证明 【例12】如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为的中点，M，N分别是OA，OB的中点， 求证：MC＝NC． 【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MOC＝∠NOC，求出OM＝ON，根据全等三角形的判定得出△MOC≌△NOC，再得出答案即可． 【详解】证明：连接OC， ∵C为的中点， ∴， ∴∠MOC＝∠NOC， ∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴OMOA，ONOB， ∵OA＝OB， ∴OM＝ON， 在△MOC和△NOC中， ， ∴△MOC≌△NOC（SAS）， ∴MC＝NC． 【变式12-1】如图，中，弦，相交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． 【详解】（1）证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴． 【变式12-2】如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E． 求证：(1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 【题型十三】与圆周角有关的计算 【例13】如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式13-1】如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式13-2】如图，A，C，B，D四点都在上，是的直径，圆的半径为3，，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，然后利用勾股定理可求得． 【详解】解：连接， ， ， 圆的半径为3， ， ， 故选：C． 【变式13-3】如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【题型十四】与圆周角有关的证明 【例14】如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，证明△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝EC，得到CA＝CB，根据等边三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：连接AD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BD＝DE， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即点D是BC的中点； （2）解：∵△BAD≌△CAD， ∴AB＝AC， ∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴DE＝AE＝EC， 由（1）得，DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC是等边三角形． 【变式14-1】如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠DBO，证得，进而根据垂径定理证得OD⊥AC； （2）先证明ON是△ABC的中位线，得出AB＝2ON，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBO， ∴， ∴OD⊥AC； （2）解：猜想 ODAB． ∵，OD⊥AC， ∴AN＝NC． ∵，AN＝NC， ∴ON是△ABC 的中位线， ∴AB＝2ON，AB∥ON． ∴∠ABM＝∠NDM． ∵BM＝MD，∠BMA＝∠DMN， ∴△ABM≌△NDM（ASA）， ∴AB＝ND＝2ON． ∴OD＝ON+NDAB． 【变式14-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O， 连接MB． （1）若∠M＝∠D，求证：； （2）若CD＝6，BE＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理及已知条件可得∠BOD＝2∠M＝2∠D，由垂线的性质可得∠OED＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BOD+∠D＝90°，进而可推出∠D＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）根据垂径定理可得，设圆的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝r﹣2，在Rt△OED中根据勾股定理可列出方程，求解方程即可求出⊙O的半径． 【详解】（1）证明：根据圆周角定理及∠M＝∠D可得： ∠BOD＝2∠M＝2∠D， ∵CD⊥AB， ∴∠OED＝90°， ∴∠BOD+∠D＝90°， 即：2∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴； （2）解：由垂径定理可得： ， ∠OED＝90°， 设圆的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝OB﹣BE＝r﹣2， ∵OE2+DE2＝OD2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， ∴⊙O的半径为． 答：⊙O的半径为． 【题型十五】圆内接四边形的计算 【例15】如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 【变式15-1】如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 【变式15-2】如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，圆周角定理，已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，然后根据勾股定理计算，得到的半径． 【详解】解：如图，连接并延长，交于， 四边形为的内接四边形， ， ， 平分， ， ， 为等边三角形，， ， 由勾股定理得：， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为， 故选：A． 【题型十六】圆内接四边形的证明 【例16】如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 【详解】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 【变式16-1】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到，再根据圆内接四边形的性质得到， 进而得到，即可得出结论； （2）先求出，连接， 根据，得到，进一步求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 连接，如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式16-2】如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要运用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定方法来求解． （1）利用直径所对的圆周角是直角得出，利用直角三角形两锐角互余得出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案． （2）延长至点M，通过圆内接四边形的性质得到，再结合，等量代换可得出，进而利用平行线的判定方法证明两直线平行． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，延长至点M， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式16-3】如图，是的内接三角形，，D为中上一点，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先证出，只要再找一对角相等就可以了，利用边相等可得，，而，故，再利用可证出，由全等三角形的性质； （2）利用（1）中的全等，可得，，得，根据勾股定理得，而，所以有． 【详解】（1）证明：∵是的内接三角形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，还有圆内接四边形的外角等于其内对角等知识，熟记和圆有关的性质是证明题的关键． 【题型十七】正多边形的相关概念 【例17】下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 【答案】D 【分析】根据正多边形的概念和性质逐一判断即可． 【详解】解：、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，不符合题意； 、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称图形，不符合题意； 、正多边形的每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，不符合题意； 、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查多边形的性质，正确记忆正多边形的特点是解题关键． 【变式17-1】下列说法错误的是（   ） A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握正多边形的性质. 根据正多边形的性质分别进行判断得出答案即可. 【详解】解：A、根据正多边形的定义可得，正多边形每个内角都相等,选项说法正确，不符合题意. B、根据正多边形的性质可得，正多边形都是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意. C、当边数为偶数时，正多边形是中心对称图形；当边数是奇数时，正多边形不是中心对称图形，选项说法错误，符合题意. D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆的圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，选项说法正确，不符合题意. 故选：C ． 【变式17-2】如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 【变式17-3】若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 【题型十八】正多边形相关的计算 【例18】如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知 是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 【变式18-1】如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式18-2】如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】18 【分析】此题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出是等边三角形是解题关键． 如图，正六边形的半径是，由正六边形的性质构造证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交点为， 由正多边形的性质得，点为正六边形的中心 点是正六边形的中心，正六边形的半径是， ， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为：， 故答案为：18． 【变式18-3】如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；连接，由正六边形的性质得及圆周角定理得，由勾股定理得 ，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，可求出圆的半径，即可求解；掌握正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴， ， 即的半径为2， ∴的面积为． 【题型十九】弧长的计算 【例19】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 【变式19-1】机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，由图可知“莱洛三角形”的周长等于三段弧长，弧对应的圆心角是等边三角形的顶角为，半径是等边三角形的边长为2，直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：该“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 【变式19-2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 【变式19-3】如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质． 根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A经过的路线长是：． 故选：C． 【题型二十】扇形面积的计算 【例20】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（　　） A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2 【答案】B． 【分析】直接利用扇形的面积公式求得即可． 【详解】解：扇形AOB的面积为：30π（m2）． 故选：B． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，知道熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【变式20-1】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC12π（cm2）， 故选：C． 【变式20-2】如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积． 由多边形的内角和可得的度数，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 【变式20-3】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．75° 【答案】A． 【分析】根据扇形和圆的面积公式列出等式计算． 【详解】解：设圆的半径为r，扇形圆心角为n°． 则扇形的半径为2r， 利用面积公式可得：， 解得n＝45． 故选：A． 【题型一】对圆的有关性质和定理理解不清 【例1】下列命题：①直径是弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③等弧对等弦；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤半径相等的两个半圆是等弧；⑥弦是圆上两点之间的部分；⑦优弧大于劣弧；⑧圆的切线垂直于半径．错误的个数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据弦、垂径定理、等弧、切线的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：①直径是弦．正确； ②相等的圆心角所对的弧相等．错误，应该是在同圆或等圆中； ③等弧对等弦，正确； ④平分弦的直径垂直于弦．错误，此弦非直径； ⑤半径相等的两个半圆是等弧．正确； ⑥弦是圆上任意两点之间的连线，所以⑥错误； ⑦在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，⑦错误； ⑧圆的切线垂直于过切点的半径，⑧错误 所以，错误的个数有5个， 故选：D． 【点睛】本题考查弦、垂径定理、等弧、切线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-1】下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 【变式1-2】下列命题中真命题的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧度数的一半． 【答案】D 【分析】根据等弧的概念可判断A；由弧、弦和圆心角的关系可判断B和D；当三点不在同一条直线时，形成一个三角形，而三角形有且只有一个外接圆，可判断C． 【详解】等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，故A为假命题，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B为假命题，不符合题意； 不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故C为假命题，不符合题意； 等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧度数的一半，故D为真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查有关圆的基础知识，涉及等弧的概念，弧、弦和圆心角的关系，三角形外接圆的定义．熟练掌握上述知识是解题关键． 【题型二】不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系 【例2】若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【变式2-1】已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意； C、∵大圆半径是小圆半径的2倍， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； D、在中，， ∵， ∴，故本选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】图，在同圆中，若，则 ， （填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据同圆中同弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， 即, , ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化． 【题型三】考虑问题不全面 【例3】已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】作于E，延长交于F，连接、，如图     ∵， ∴ ∴ 在中， 在中， 当点O在与之间时，如图1， 当点O不在与之间时，如图2， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 【变式3-1】的直径，弦，且于D，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，注意分情况讨论是解题的关键． 分两种情况：点A和点D在点O异侧，点A和点D在点O同侧，利用垂径定理和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：分两种情况：点A和点D在点O异侧时， 如图1中，连接，∵，弦，且于D， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 点A和点D在点O同侧时， 如图2中，， ∴的面积， 综上所述：的面积是或． 故答案为：或． 【变式3-2】已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，连接，由垂径定理可得，然后分当C点位于优弧上和劣弧上两种情况，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径，，， ∴， 如图1：当C点位于优弧上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2：当C点位于劣弧上时，同理可得：， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为或． 故答案为或． 【题型四】与圆有关的最值问题 【例4】如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 【变式4-1】如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小时，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 【变式4-2】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 【变式4-3】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【答案】2﹣2 【分析】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵CE+CF＝4，CF+DF＝4， ∴CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠DAP+∠FDP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， 设AD的中点为G， 由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵CD＝4，DG＝2， ∴CG＝＝2 ∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，确定出CG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点． 【题型一】旋转性质的综合运用 【例1】综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 【变式1-1】已知在中，，，于． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．求证：； (2)如图，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（）由旋转的性质得，，由等腰直角三角形的性质得，，即得，进而证明即可求证； （）①过点作交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得，，即得为等腰直角三角形，得到，，进而由得到，，即得到，，再证明即可求证；②由勾股定理得，即得，又由可得，再根据可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，，于， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（）知为的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1-2】综合与探究问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即），按照图1所示的方式摆放．其中，点D、E分别为的中点．老师要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． 操作探究1：（1）如图2，“勤学”小组将沿射线上平移得到，分别连接，发现四边形是平行四边形，请证明这一结论． 操作探究2：（2）“善思”小组将由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到． ①如图3，当点Q落在边上时，延长交于点M，判断的形状并说明理由． ②当旋转到时，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）①是等边三角形，理由见解析；②或 【分析】（1）根据平移的性质得，，再由平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定求证即可； （2）①根据旋转的性质得，，进而得，证得，再根据等边三角形的判定求证即可； ②根据直角三角形的性质和勾股定理求得，由旋转的性质得，，当点P在的上方，证明是等边三角形，得，，过点E作于点G，由等腰三角形的判定与性质得，，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，进而求解即可；当点P在的下方，延长，过点Q作于点M，由直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）：∵沿射线上平移得到， ∴，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①是等边三角形，理由如下： ∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②∵，， ∴， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， 如图，当点P在的上方， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， 如图，当点P在的下方， 由旋转的性质得，，， 延长，过点Q作于点M， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的判定及平行四边形的判定，熟练掌握平移的性质和旋转的性质是解题的关键． 【题型二】求不规则阴影部分的面积 【例2】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 【变式2-1】如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 【变式2-2】如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 【变式2-3】（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，． (1)求半径的长； (2)求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， （1）先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵，由题意得， ∴ 在中，， ∴， 即的半径的长为． （2）连接 ， ， ∵ 在中，， ∴ 为等边三角形， 【题型三】圆中的综合题 【例3】已知的直径为10，弦，点E为上一点，过点E 作弦． (1)如图（1），若 ，连接，求的长； (2)如图（2），过点C作于点G，连接，当过点O 时，若 ，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点 O 作，，垂足分别为 M，N，则四边形 为矩形，利用勾股定理求出，可得矩形 为正方形，再利用勾股定理求出，可得，进而计算即可； （2）连接，先利用勾股定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】（1）解：如图（1），过点 O 作，，垂足分别为 M，N，则四边形 为矩形，， ∵，， ∴， ∴， 连接，，则， ， ∴， ∴矩形 为正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ； （2）如图（2），连接， ∵是的直径， ∴， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）8，；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1） 是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 【变式3-2】如图，已知的两条弦，相交于点，且． (1)如图1．连结．求证：； (2)如图2．若，在上取一点E，使，交于点F，连接、． ①判断与是否相等，并说明理由； ②若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，理由见解析；②30 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）如图1，利用得到，则，根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）①连接，如图，由得到，再根据等腰三角形的判定方法得到，则，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到； ②由得，再利用得到，加上，于是可求出，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， 即， ， ， ； （2）解：①与相等．理由如下： 连接，如图， ， ， ， ， ， ，， ； ②， ∴， ， ∴， ∵， ∴，解得， ， ∴． 【变式3-3】四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC=AB：AD． （1）如图1，求证：BC=CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）首先利用已知得出CL=CK，再结合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），进而得出答案； （2）首先得出△OBC是等边三角形，进而得出答案； （3）利用已知首先得出△AMD是等边三角形，进而得出BG，EF的长，再利用S△OEF=OF•EF进而得出答案． 【详解】（1）证明：过C作CK⊥AB于点K，过C作CL⊥AD于点L， ∴S△ABC=AB•CK，S△ADC=AD•CL， ∵S△ABC：S△ADC=AB：AD． ∴CL=CK， ∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°， ∴∠B=∠CDL， ∵∠CKB=∠L=90°， 在△CKB和△CLD中 ， ∴△CKB≌△CLD（AAS）， ∴BC=CD． （2）证明：如图2，连接OB、OD， ∵BC=CD， ∴∠BOC=∠DOC ∵OB=OD， ∴OE⊥BD， ∵∠BAD=60°， ∴∠BOC=∠DOC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∴OE=EC； （3）如图3，延长DF交AB于点M，连接OB， ∵∠BAD=60°， ∴∠BAC=∠CAD=30°， ∵AF⊥DF， ∴∠AFM=∠AFD=90°， ∴∠AMD=∠ADM=60°， ∴△AMD是等边三角形， 设MG=a，则MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=a， ∴AG=BG=3a，∴BM=2a ∵E、F分别是BD、MD中点，∴EF=a，EF∥AB 过B作BN⊥MD，则MN=a，BN=a，∴DN=5a， ∵BD=OC， ∴BD=3 在Rt△BND中，（a）2+（5a）2=（3）2 解得a=， ∴BG=，EF=， 在Rt△OGB中，OG=， ∴OF=， ∵EF∥AB， ∴∠EFO=∠AGF=90° ∴S△OEF=OF•EF=××= ∵OE=EC， ∴S△OFC=2 S△OEF=． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $