专题03 二次函数图像与系数关系（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题3 二次函数图像与系数关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与二次函数共存问题 1 题型二、反比例函数与二次函数共存问题 7 题型三、函数综合图像判断 12 题型四、二次函数图像与系数关系 19 B 综合攻坚・能力跃升 30 题型一、一次函数与二次函数共存问题 1．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 2．（11-12九年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 4．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 分别根据二次函数的性质和一次函数的性质求出对应的a、b及交点，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数图象过第一、三象限，二次函数图象开口向上，故C、D错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、三、四象限，图象开口向上， 令时，， ∴， ∴可得一次函数过， 将代入中可得， 故两函数图象均过，交点在正半轴上，故B错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、二、三象限，图象开口向上， 对称轴为直线，在y轴左侧，同理，两函数图象均过，交点在负半轴上，A正确，符合题意， 故选：A． 5．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，根据一次函数与二次函数的图象与性质分析各选项，即可解题． 【详解】解：当时，一次函数与二次函数的函数值都为， 一次函数与二次函数均过点，则A、C选项不符合题意； B选项中二次函数开口向下，，一次函数过一、三象限，，存在矛盾，不符合题意， D选项中二次函数开口向上，，一次函数过一、三象限，，符合条件，符合题意； 故选：D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，函数和 (a是常数，且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故选项正确； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合判断，根据一次函数图象以及二次函数图象与系数之间的关系，进行判断即可． 【详解】解：依题意，当时，对于，， 当时，对于，， ∴直线和抛物线交于点， 故和选项不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴位于轴的右侧， 故B选项不符合题意； 故选D． 题型二、反比例函数与二次函数共存问题 9．（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 10．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 11．（24-25九年级上·河南商丘·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解答本题的关键． 直接利用二次函数图象经过的象限得出，的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：A、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故A选项错误； B、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则，同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项错误； C、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故C选项错误； D、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故D选项正确； 故选：D． 12．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，运用数形结合思想是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质及反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可得解． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，故，即；二次函数图象开口向下，且交轴于负半轴，故；故选项符合题意； B、反比例函数的图象在第一、三象限，故，即；二次函数图象开口向上，则，交轴于负半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； C、反比例函数的图象在第二、四象限，故，即；二次函数图象开口向下，则，交轴于正半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； D、反比例函数的图象在第二、四象限，故，即；二次函数图象开口向上，则，交轴于负半轴，则；互相矛盾，故选项不符合题意； 故选：A． 13．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 14．（21-22九年级上·湖南株洲·期中）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误； 由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确． 故选：B． 题型三、函数综合图像判断 15．（2021·山东青岛·一模）已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象．根据图象可得，由此可判断二次函数对称轴的位置，再由一次函数和反比例函数图象没有交点可得方程无实数根，由此可得二次函数与x轴无交点，据此即可得到答案． 【详解】解：由一次函数图象可知， 由反比例函数图象可知， ∴二次函数对称轴，排除B、D， 由图象可知一次函数和反比例函数图象无交点， ∴方程，即无实数根， 故二次函数与x轴没有交点， 故选：A． 16．（20-21九年级上·山东菏泽·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 18．（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 19．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 20．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与反比例函数图象的综合应用问题，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而得出一次函数与反比例函数图象的分布位置即可求解，掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵对称轴直线， ∴， ∴， ∴直线经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在一、三象限， 故选：． 21．（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 22．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 题型四、二次函数图像与系数关系 23．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．下列选项错误的是（    ） A． B． C． D．，（的实数） 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线开口方向，抛物线与y轴交点位置，对称轴可判断选项A．当时，得出，可判断选项B．由时可判断选项C．由时，有最大值，可判断选项D． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，选项A正确，不符合题意． 当时，， ∴，选项B错误，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴当时，有最大值， ∵当时， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意 故选：B． 24．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质．根据开口向下可得，可判断①；根据对称轴为直线，可得，据此可判断②；由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点，可判断③；根据当时，，可判断④；根据二次函数与轴交于正半轴，可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向下， ，故①错误； 对称轴为直线， ， ∴，故②正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故⑤正确； 由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点， ，故③正确； 当时，， ，故④错误； 正确的有②③⑤， 故选：D． 25．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有 （填序号）． ①；②；③若是方程的两个根，则． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点． ①根据抛物线的性质判断a、b、c的正负性，即可判断；②由抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，得当时，函数值为负，则，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③由函数与方程的关系，即可判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在点和之间，抛物线开口向下， ，，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，函数值为负， ∴，即， ∴，故②正确． ∵是方程的两个根， ∴是直线与抛物线两个交点的横坐标， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 26．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确． 故选：C． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 28．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．①判断二次函数与x轴另外一个交点的位置，判断时的函数值正负即可；②根据顶点横坐标和对称轴公式求出a、b关系，代入①中结论即可；③根据抛物线在处取得最大值即可判断；④根据抛物线图象，数形结合即可判断． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点在之间， ∴图象与轴另一交点在之间， 时，即，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线， 时， 故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为， 故二次函数有最大值，当时，最大值为， 当时，函数值为， ∴，即，故③错误； ∵的最大值为， ∴由图可知必有两个不相等的实数根， 故④错误； 故正确的个数为2， 故选：B． 29．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥若，是抛物线上两点，则其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质是解题的关键． ①由开口方向得的符号，对称轴公式得与的关系，轴交点得的符号，进而判断的符号．②先根据对称轴和已知交点求出另一交点，再代入判断函数值符号．③分别代入和得到函数值符号，再利用平方差公式变形判断．④由对称轴公式推出与的关系，进而判断是否为．⑤结合和抛物线过，求出与的关系，再代入计算． ⑥求出两点到对称轴的距离，根据抛物线开口向下，距离对称轴越近函数值越大，判断与的大小． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故②错误； 当时，， 当时，， ∴，即，，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵，抛物线过点， ∴，即，， ∴，故⑤正确； ∵对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，， ∴，故⑥正确． 故选：C． 30．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论错误的是（　　） A．abc B． C．9 D．若为任意实数，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据图象开口，与y轴的交点，对称轴等知识可得，，，，可判定结论①；根据图象与x轴的交点，，设，，根据对称轴，线段数量关系可求出点A，B的坐标，可得，可判定②③；当时，抛物线有最小值，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A正确； 设，， ∴，，且， ∴， 解得， ∴，， ∴当时，， ∵， ∴， ，故B正确； ∵对称轴为，， ∴， ∴， ∴， ∴，故C错误； ∵抛物线的开口向上，对称轴为， ∴当时，的值最小， ∴对应任意实数m，都有， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 31．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，有下列6个结论： ① 0；② ；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与轴的交点个数，二次函数的对称轴，特殊点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，，， ∴， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同，即：； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴； 综上：，，，，，； 故答案为：． 32．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 1．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图①是变量与变量之间的函数关系的图象，图②是变量与变量之间的关系图象，则与之间函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像和正比例函数图像，分析图①中与之间的函数关系，图②中与之间的函数关系，将代入中推导出与之间函数关系即可得到图像． 【详解】解：图①二次函数图像开口向下，对称轴在轴右侧， 设解析式， 则， 图②正比例函数图像经过二、四象限， 设， ， ，对称轴， 图像是抛物线，开口向上，与轴交于负半轴，对称轴位于轴右侧． 故选：D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比例函数和一次函数的图象可得，，进而得到函数的图像的对称轴在轴左侧，再根据反比例函数与一次函数的交点坐标得到，进而得到函数经过点，即可判断图像． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二象限，一次函数的图像与轴交点在上面， ∴，， ∴， ∴函数的图像的对称轴在轴左侧， ∵在第二象限内的图像与一次函数的图像有一个交点的横坐标为， ∴当时，， ∴， 当时，函数， ∴函数经过点， 观察个选项，只有C选项符合条件， 故选：C． 3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 4．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 5．（2025·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论： ①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①； 由，结合，可以变形得到，从而可判断②； 由抛物线和y轴的交点位置可判断③； 把代入，然后利用因式分解法解方程，即可判断④； 根据直线与抛物线的解析式，求交点，得到关于的一元二次方程，将，，代入解方程求出，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点，，， ∴设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 即（为实数），故②正确； ∵抛物线与轴交点的纵坐标在与之间， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵直线与抛物线的一个交点， ∴，解得：，， ∴，故⑤正确． 综上所述，①②③⑤正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的两点式，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数与一次函数综合，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键． 6．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标，可得二次函数的解析式为，根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，可知，，可得：；根据二次函数的解析式为，可知抛物线与轴交点的坐标为和，又因为抛物线开口向上，所以当时，，可得：正确；由可知，，所以；因为二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位，可知结论正确；根据一元二次方程根与系数的关系可以判断结论正确． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 则二次函数表达式为：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故正确； 二次函数的解析可整理为， 方程的解为，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位， 有两个根和，且，则， 故正确； 若方程， 即：方程， 当时， 其两个根的和为， 当时， 其两个根的和也为， 这四个根的和为， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：D． 7．（2025·湖北·模拟预测）抛物线（a，b，c为常数，）经过点，顶点为，下列正确的是（    ）． A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．关于x的方程无实数解 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据二次函数与方程的关系判断A、D，根据二次函数的性质判断B、C． 【详解】解：A、∵抛物线（a，b，c为常数，）经过点， ∴方程有解， ∴， ∵， ∴，故选项A错误，不符合题意； B、∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； C、∵抛物线的顶点为，， ∴， 当时，， ∴，故选项C错误，不符合题意； D、∵抛物线的顶点为，， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于x的方程无实数解，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 8．（25-26九年级上·北京·阶段练习）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将点和代入二次函数的解析式可得，则可得，再根据当时，其对应的函数值可得，则可得，，即①和②正确；根据二次函数的对称性可得当时和当时，，由此即可判断③错误；根据当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，以及当和时，即可判断④正确；将点代入二次函数的解析式可得，则可得，即⑤正确． 【详解】解：将点和代入二次函数得：， 解得， ∴， ∵当时，其对应的函数值， ∴， 解得， ∴，则结论①正确； ∵，， ∴，则结论②正确； 由表格可知，当时，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴和3是关于的方程的两个根，则结论③错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 由表格可知，当和时，， ∴当时，，则结论④正确； 将点代入得：， 将点代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴，则结论⑤正确； 综上，正确的结论的个数是4个， 故选：C． 9．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：当时，随的增大而减小，其中结论正确为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象依次判断．看懂函数图象是解题的关键． 【详解】图像开头向上， 对称轴，得 当时，，观察图象与轴交于负半轴可知 故正确； 图象与轴有两个不相等的交点 故错误； 当时， 故错误； 当时， 观察图象可知，此时，即 故正确； 观察图象，当时，随的增大而减小 故正确； 故选：D． 10．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数性质以及二次函数与方程及不等式的关系．根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在，之间，结合图象从而判断①正确；由对称轴为直线可得，代入即可判断②正确；由抛物线顶点坐标为，得到有两个相等实数根，可得，从而判断③正确；由函数最大值为结合函数图象可得有两个不相等的实数根，可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在和之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， 即方程有两个相等实数根， ∴， ∴ 故③正确，符合题意； ∵的最大函数值为， ∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：B 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 二次函数图像与系数关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与二次函数共存问题 1 题型二、反比例函数与二次函数共存问题 4 题型三、函数综合图像判断 7 题型四、二次函数图像与系数关系 11 B 综合攻坚・能力跃升 14 题型一、一次函数与二次函数共存问题 1．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   2．（11-12九年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，函数和 (a是常数，且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． E． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型二、反比例函数与二次函数共存问题 9．（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 10．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河南商丘·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22九年级上·湖南株洲·期中）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三、函数综合图像判断 15．（2021·山东青岛·一模）已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 16．（20-21九年级上·山东菏泽·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 18．（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A．B． C． D． 题型四、二次函数图像与系数关系 23．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．下列选项错误的是（    ） A． B． C． D．，（的实数） 24．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤ 25．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有 （填序号）． ①；②；③若是方程的两个根，则． 26．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 27．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥若，是抛物线上两点，则其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 30．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论错误的是（　　） A．abc B． C．9 D．若为任意实数，则 31．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，有下列6个结论： ① 0；② ；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0．    32．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图①是变量与变量之间的函数关系的图象，图②是变量与变量之间的关系图象，则与之间函数关系的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C．D． 4．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 5．（2025·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论： ①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 6．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·模拟预测）抛物线（a，b，c为常数，）经过点，顶点为，下列正确的是（    ）． A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．关于x的方程无实数解 8．（25-26九年级上·北京·阶段练习）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 9．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：当时，随的增大而减小，其中结论正确为（ ） A． B． C． D． 10．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $