21.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024八年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过复习求根公式导入，引导学生自主计算两根之和与积，推导得出定理，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于以“我探究、我归纳、我会求”为主线，通过问题思考、例题变式和提升训练，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。如推导过程渗透整体思想，例题结合判别式强化应用，助力学生系统掌握知识，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 第1课时 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 21.1 一元二次方程的概念 21.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的概念 一元二次方程的解 特殊的一元二次方程的解法 一般的一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 21.3 一元二次方程的判别式 已知方程判断解的情况 已知解的情况求字母系数 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 韦达定理的应用 21.5 一元二次方程的应用 二次三项式的因式分解 列方程解应用题 学习目标 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系求出两根之和、两根之积； 3.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。 2.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想. 知识回顾 复习导入 什么是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式？ 进一步研究一元二次方程的系数和两根之间的关系！ 新课讲授 我探究！ 问题思考 计算方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根之积与和！ 请归纳你的结论！ 新课讲授 我归纳！ 1.韦达定理 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 学以致用 例题讲解 例题1 已知下列方程均有两个实数根，求两根和与积. (1) x2- 4x+ =0; (2) 2x2- x -3= 0; (3) x2+2x=0 ; (4)x2=x-4 ; （1）解：a=1,b=-4,c= ∴= （2）解：a=2,b=- ,c= 3 ∴ （3）解：a= ,b=2,c= ∴ （4）解： x2-x+4=0 a= ,b=- ,c= ∴ 归纳解题步骤和注意事项！ 新课讲授 我归纳！ 1.韦达定理 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 2.求两根和积的注意事项 ①方程必须整理化为一般式；②确定各项系数，注意符号！ ③计算必须到最简！ ④方程必须有两个实根！ 学以致用 例题讲解 例题2 已知关于x的方程2x2-5x+p =0的一个根为，求它的另一个根及p的值. 解：设2x2-5x+p =0 的另一个根为x2，则 +x2= . 解得 x2=2. 由根与系数之间的关系得 p= 2× =1 因此,方程的另一个根是2，p的值为1. 设未知数 根据根与系数关系列方程 根据根与系数关系求系数 学以致用 我会求 变式练习1求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （1）解：设，是方程的两根， 则，； （2）解：设，是方程的两根， 则，； 方法总结：本题主要考查根与系数的关系：，是一元二次方程的两根，则，． （3）解：变形为， 设，是方程的两根， 则，； （4）解：变形为的两根， 设，是方程的两根， 则，． 学以致用 我会求 变式练习2 已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 【分析】（1）把代入方程求出k的值即可；（2）根据方程有两个实数根得到，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得，再整理并将整体代入得到关于k的一元二次方程求解即可； （1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）解：∵方程 的两个实数根 ∴，解得：； ∴， 方法总结：本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 课堂小结 我总结！ 韦达定理 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 提升训练 我会算！ 提升1 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．(1)求m的取值范围；(2)若，求m的值． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． （1）解：由题意得：， 即，解得，则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：，即，解得， 由（1）可知，故符合题意，因此，m的值为． 方法总结： 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． 提升训练 我会算！ 提升2 已知一元二次方程的两个根分别为，，不解方程，求下列各式的值：(1)；(2)． 【分析】（1）需要将进行因式分解，变形为，然后代入前面求出的和的值计算．（2）先对进行通分，得到，再利用完全平方公式将变形为，最后代入值计算． （1），， ． （2），， ． 方法总结：本题运用整体代入思想，将和作为整体代入变形后的式子计算．对所求式进行合理变形，使其能直接代入和的值，如因式分解、通分、利用完全平方公式变形．解题关键为熟练掌握韦达定理，以及对代数式的变形能力，能将所求式子转化为含有和的形式．易错点为在进行代数式变形时，容易出现计算错误，如通分错误、完全平方公式展开错误；代入数值计算时，分数的运算也容易出错． 提升训练 我会算！ 提升3 已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值．②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 提升训练 我会算！ 提升3 已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． 【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，； 解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 整理，得：，解得：，． 当时，， ∴此时原方程没有实数根， ∴不符合题意； 当时，， ∴此时原方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴的值为1； 提升训练 我会算！ 提升3 已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并证明． 【分析】②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即． ②猜想：． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出， 两边都乘以，得：①，同理可得：②， 由①+②，得：， ∵，，， ∴，即． 提升训练 我会算！ 提升4 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根．求使的值为整数的实数k的整数值． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的取值范围即可确定k的值． ，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， ， 的值为整数，即的值为整数， 或，或，或，或，或，解得或，，，，， ，，或． 感谢聆听 $