5.2.2 同角三角函数的基本关系（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 题型一： 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 1.（24-25高二下·广东梅州·期末）已知角，则“α为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（24-25高一下·四川达州·期末）是角为第三象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（24-25高一下·北京海淀·期中）“”是“为第二或四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二： 已知正（余）弦求余（正）弦 1.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 4.（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 题型三：同角三角函数基本关系 1.（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知均是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·云南·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 4.（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ）． A．3 B． C． D． 题型四：三角函数线的应用 1.（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 3.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 题型一：由条件等式求正、余弦、利用平方关系求参数 1.（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3.（24-25高一下·四川成都·期中）已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 4.（24-25高一上·湖北·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 题型二：正、余弦齐次式的计算 1.（25-26高二上·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 2.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 3.（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 4.（23-24高二上·广西·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 题型三：sinα±cosα，sinαcosα的应用 1.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则 ． 2.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）若，且，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025高三·北京·专题练习）已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4.（2025高三·全国·专题练习）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 题型四：正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值 1.（2025高三·天津·专题练习）已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 2.（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 3.（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 4.．（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 1.（2025高三·全国·专题练习）已知，且，比较，，，，，的大小． 2.（2025高三·全国·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 3.（23-24高二下·浙江·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2025高三上·四川·学业考试）若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2 同角三角函数的基本关系 题型一： 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 1.（24-25高二下·广东梅州·期末）已知角，则“α为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据象限角的性质即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】若α是第二象限角，则，故充分性成立， 若，则是第二象限角或者第三象限角或者终边在轴负半轴上，故必要性不成立，“α为第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2.（24-25高一下·四川达州·期末）是角为第三象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由正弦正切值的正负结合必要不充分条件判断可得. 【详解】可得或，即为第三象限角或第二象限角， 所以是角为第三象限角的必要不充分条件. 故选：B. 3.（24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据弧度制与象限角的知识，判断与的正负，进而确定点所在的象限. 【详解】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角. 根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以. 根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以. 在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限， 因为点中，，所以点在第三象限. 即点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：. 4.（24-25高一下·北京海淀·期中）“”是“为第二或四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、充要条件的证明 【分析】利用三角函数象限角的符号特征结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，而恒成立， 则且，所以为第二或四象限角，充分性成立； 若为第二或四象限角，则且， 所以，必要性成立， 所以“”是“为第二或四象限角”的充要条件. 故选：. 题型二： 已知正（余）弦求余（正）弦 1.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用平方关系和商数关系可求的值. 【详解】 因为，所以， 故，故 ， 而，故， 等号左边分子分母同时除以得， 解得． 故选：B. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以，故B正确． 又，所以， 所以由，解得，故C错误， 所以，，故A错误，D错误， 故选：B． 3.（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 4.（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 题型三：同角三角函数基本关系 1.（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 2.（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知均是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】根据特例及同角关系式即可判断. 【详解】由题意知，均为第二象限角， 当时，，此时，故A错误； 当时，，，故，BD错误； 因为均为第二象限角，且，则，， 所以，又， 故，故C正确. 故选：C 3.（24-25高二下·云南·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】借助同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】. 故选：B. 4.（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】对式子的分子分母同除以，再代入求解即可. 【详解】因为，所以， 则． 故选： 题型四：三角函数线的应用 1.（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数线的应用、扇形弧长公式与面积公式的应用、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 2.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 【答案】A 【知识点】三角函数线的应用 【分析】 由题意可得，讨论当时，当时，当时，运用同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象，即可得到所求范围． 【详解】 解：由， 可得， 再由，可得， 当时，显然成立； 当时，由，即，可得； 当时，，即有， 则，解得， 综上可得． 故选：A． 3.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数线的应用 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 4.（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【答案】C 【知识点】画三角函数线、三角函数线的应用 【分析】根据正弦线、正切线的定义即可判断. 【详解】由正弦线，正切线的定义可知，是正弦线，是正切线. 故选：C. 题型一：由条件等式求正、余弦、利用平方关系求参数 1.（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由条件等式求正、余弦、利用平方关系求参数 【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 2.（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、利用平方关系求参数 【分析】由进行换元求解． 【详解】令， 所以 ． 故选：B． 3.（24-25高一下·四川成都·期中）已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用平方关系求参数 【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解. 【详解】由，， 则， 则，解得（舍去）或， 所以实数t所有可能值的和为1. 故选：C. 4.（24-25高一上·湖北·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用平方关系求参数 【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得． 【详解】，则， 因为， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是8. 故选：B． 题型二：正、余弦齐次式的计算 1.（25-26高二上·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（   ） A．11 B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据给定条件，求出及，再利用齐次式法求出目标值. 【详解】依题意，，而，解得，因此， 所以. 故选：D 2.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用商数关系齐次化后可求. 【详解】由题可得，则，解得或． 故选：D. 3.（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】弦化切代入即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4.（23-24高二上·广西·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用三角函数齐次式进行弦化切，从而代入即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 题型三：sinα±cosα，sinαcosα的应用 1.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】由条件等式求正、余弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据题意，平方后，利用三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由， 平方可得， 所以. 故答案为：. 2.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先对已知等式平方，利用同角三角函数基本关系求出，再通过的定义建立方程求解，结合角的范围确定正切值. 【详解】由，两边平方可得， 即， 又，所以，且 解得：. 故选： 3.（2025高三·北京·专题练习）已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由条件等式求正、余弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 4.（2025高三·全国·专题练习）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用同角三角函数关系结合已知条件求解即可. 【详解】依题意，拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， 则小正方形的边长为， 因为小正方形的面积是，所以， 因为为直角三角形中较小的锐角， ，所以， 又因为，所以，解得， 所以，即，所以， 所以， 故选：D 题型四：正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值 1.（2025高三·天津·专题练习）已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，根据“齐次式”进行弦化切，最后代入正切值即可. 【详解】根据题意，，且， 则. 故选：C. 2.（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由正余弦的齐次式转化为正切即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 3.（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】方法一：构造对偶式；方法二：齐次化应用；方法三：变形，代入，根据求得答案；方法四：设，则，代入原方程，求得答案. 【详解】方法一：因为－①，设②， 由①2+②2：，解得． 因此，从而，所以． 方法二：由两边同时平方，得， 即，整理得（，解得． 方法三：由，得，两边平方：， 代入，得，即， 解得， 所以，则． 方法四：设，则，代入， 得，则． 代入，整理得，即解得． 故选：D. 4.．（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可. 【详解】由. 故选：C 1.（2025高三·全国·专题练习）已知，且，比较，，，，，的大小． 【答案】，，，． 【知识点】三角函数线的应用 【分析】利用三角形函数定义可判断大小关系，再根据正弦、正切函数单调性可判断与，与大小关系. 【详解】 如图，当时，， 则， 因为，所以，． 又因为，，在上都是增函数，且， 所以，，． 综上，，，，． 2.（2025高三·全国·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】方法一：将正切变换为正弦和余弦，结合平方和为1，解方程即可； 方法二：先求的平方，然后进行齐次化可变成关于的式子，代入求解，结合角的范围再开方即可. 【详解】方法一：由题意，知，，故，． 又，所以，．所以． 故选：C 方法二：因为，所以，故， 则， 所以． 故选：C 3.（23-24高二下·浙江·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦）、由条件等式求正、余弦 【分析】利用给定条件确定的位置，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，，所以是第四象限角， 所以，而，故，化简得， 而，代入得， 解得(正根舍去)，故B正确. 故选：B 4.（2025高三上·四川·学业考试）若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $