7.2.2 同角三角函数关系（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

7.2.2 同角三角函数关系 题型一 已知正（余）弦求余（正）弦 1．（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 已知正（余）弦求正切 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三 已知正切求正（余）弦 1．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知是第二象限角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型四 由平方关系求参数 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 题型五 由条件等式求三角函数值 1．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知角满足，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2008·浙江·高考真题）若，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 4．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则 ． 7．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 8．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知，则 ． 题型六 sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及应用 1．（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 正弦、余弦“齐次式”的计算问题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 题型八 三角恒等式的证明 1．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 2．（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 3．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 题型九 三角函数式的化简、求值 1.（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 5．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）化简： ． 题型十 由条件等式求三角函数式的值 1．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，则 . 题型一 三角函数定义与三角函数求值问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为.    (1)求，的值； (2)求的值. 题型二 应用同角关系求最值、范围问题 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数（a，b均为正数）的最小值为 ． 2．（24-25高一·上海·随堂练习）若，且，则的取值范围是 ． 题型三 化简、条件等式证明的综合问题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 1．（多选）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 2．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是方程的两根，则 . 5．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为． (1)求的值 (2)求的达式，并求的值； (3)若，求的值． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）若，求的值. 7．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 8．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 9．（24-25高一下·四川成都·期中）设，满足：.求下面各式的值. (1) (2) (3) 10．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式 (1)若，化简； (2)若，化简. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2 同角三角函数关系 题型一 已知正（余）弦求余（正）弦 1．（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. 题型二 已知正（余）弦求正切 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的关系可得. 【详解】因，故， ， 故选：D 题型三 已知正切求正（余）弦 1．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知是第二象限角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再结合三角函数的平方关系求解的值，最后根据所在象限确定的正负. 【详解】由，移项可得. 根据三角函数平方关系，将代入可得： ，可得，得. 因为是第二象限角，，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知角在第二象限，所以，结合以及解出即可. 【详解】因为，所以角在第二象限，则， 由  ①   ② 联立解得：， 故选：D. 题型四 由平方关系求参数 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解. 【详解】由，， 则， 则，解得（舍去）或， 所以实数t所有可能值的和为1. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【详解】解：由， 易得， 解得或1. 由，所以 ①当时，，，不合题意，舍去； ②当时，，，符合题意. 综上，. 题型五 由条件等式求三角函数值 1．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知角满足，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角的三角函数关系式化弦为切，解正切方程即得. 【详解】由，解得：. 故选：C. 2．（2008·浙江·高考真题）若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用平方关系将原式化成弦的齐次式，再化弦为切，解方程即得. 【详解】两边取平方得，， 则， 两边同除以得， 整理得到，解得， 故选：B． 3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 4．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与之间的关系式，再由平方关系计算可得A错误，B错误，联立方程组并由商数关系可得C错误，代入计算可得D正确. 【详解】由可得，即； 所以，即，即A错误； 又，所以，因此 所以，即B错误； 联立，可得， 所以，即C错误； 代入计算可得，即D正确. 故选：D 5．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 法二：由题意先求得，进而求得的值，可求得的值，从而可求得的值. 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，， 所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以. 故选：B. 6．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 8．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知，则 ． 【答案】1 【分析】化简等式，可求出的值，进而可求出的值. 【详解】因为， 所以． 所以， 因为， 所以. 故答案为：1. 题型六 sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及应用 1．（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及角的范围变形得到，从而得到. 【详解】， 又，所以， 所以， 又，所以，， 所以， 故． 故选：B 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先对两边平方求出的值，判断的范围，再求出的值，最后联立方程求解与的值，进而判断各选项的正误. 【详解】已知，两边平方可得， 因为，所以，移项可得. 因为，且，所以，，则. ， 将代入可得： 因为， ，所以，故D选项正确. 联立，将两式相加可得：，则. 将代入可得：，移项可得. 所以，故B选项正确，C选项错误. 因为，且，则.所以A选项正确. 故选：C. 题型七 正弦、余弦“齐次式”的计算问题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据商数关系，由弦化切求值即可. 【详解】由. 故选：C 2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值. 【详解】 . 故选：D. 题型八 三角恒等式的证明 1．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【详解】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 2．（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：设点的坐标为，利用完全平方得，根据三角函数定义得证；方法二：利用三角函数的几何表示证明； （2）方法一：等式左边分子分母同乘以，化简即可；方法二：通过证明，可完成证明. 【详解】（1）设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合， 则角的终边与单位圆的交点在第一象限，设点的坐标为． 方法一：易知， 所以，所以． 由三角函数的定义可知，所以． 方法二：如图，过点作轴，垂足为，    则， 由三角形两边之和大于第三边，可知，即． （2）方法一：左边 右边． 方法二 ： ， 因为， 所以． 题型九 三角函数式的化简、求值 1.（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将化成，再结合化简即可. 【详解】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A 2．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简即可. 【详解】 ， 因为是第三象限角，所以， 所以原式化简结果为. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用同角公式化简即得. 【详解】由，得， 所以 . 故选：C 4．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【详解】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 5．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】由同角的三角函数关系结合平方差公式化简即可； 【详解】原式 ， 故答案为：. 题型十 由条件等式求三角函数式的值 1．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解. 【详解】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】将题设条件“切化弦”，结合化简可得结果. 【详解】由得，即， 所以， 所以. 故答案为：. 题型一 三角函数定义与三角函数求值问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解． 【详解】方法一： 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 方法二： 直线过第一象限和第三象限． 若的终边在第一象限，可取终边上一点， 则，， 则． 若的终边在第三象限，可取终边上一点， 则，， 则 故选：B 2．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为.    (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由点的纵坐标计算出，再由，即可求得； （2）将，代入即可求解. 【详解】（1）由题知.因为，所以. 又角为第二象限角，所以. （2）由（1）知，， . 题型二 应用同角关系求最值、范围问题 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数（a，b均为正数）的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，又， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， 所以所求最小值为． 故答案为： 2．（24-25高一·上海·随堂练习）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平方关系及条件可得，解得计算可得. 【详解】因为 ， ∴，又，∴， 即的取值范围是． 故答案为： 题型三 化简、条件等式证明的综合问题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 1．（多选）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD 【分析】利用同角三角函数得基本关系：，，结合象限符号和的范围依次判断各选项的正误. 【详解】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（），则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对. 故选：ACD. 2．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 【答案】/ 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是方程的两根，则 . 【答案】0 【分析】利用根与系数关系有，，根据同角三角函数关系得，最后应用同角关系化简目标式求值. 【详解】由题意，且，， 由，则，即， 所以. 故答案为：0 5．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为． (1)求的值 (2)求的达式，并求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由条件结合三角函数定义求解即可； （2）由（1）可求得，再由三角函数定义求，代入，结合诱导公式求结论； （3）由条件结合（2）可得，结合同角关系可求. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点， 则. （2）由（1）知，，又为锐角，所以， 因为射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点， 所以， 可得． （3）若，， 则， 所以． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）若，求的值. 【答案】 【分析】计算的展开式，并利用已知条件及进行代换，即可得到答案. 【详解】我们有 ， 所以. 7．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）解法1由平方关系得到，从而解出即可；解法2由同角的三角函数关系解出，从而求出结果； （2）解法1由同角的三角函数关系和商数关系计算即可；解法2由已知得到，再由同角的三角函数关系化简得到； 【详解】（1）解法1：， 因为， 所以，即， 从而， 因为，， 又因为，所以，因此， 从而， 故． 解法2：由及， 解得，， 或，， 因为，所以，， 所以，因此． （2）解法1：， 所以， 假设，则由上式知，与矛盾， 所以， 从而． 则 解法2：，所以， 又，所以，即， 因此． 8．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1)35 (2) (3) 【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案. （3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案. 【详解】（1）由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. （2）原式 原式 （3）由得. 由可得. 因此. 另解：原方程即，两根为， 由得，于是， 因此. 9．（24-25高一下·四川成都·期中）设，满足：.求下面各式的值. (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2) (3)1 【分析】（1）由题干条件及同角三角恒等式可得结果； （2）首先将解出来，再利用题干条件化简，最后代入的值即可得结果； （3）先进行降次，发现可以连续使用题干条件，由此可得计算结果. 【详解】（1）由题干条件及恒等式可得， 所以； （2）将题干条件看作关于的一元二次方程，可解得， 因为，所以， 所以 （3）. 10．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式 (1)若，化简； (2)若，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可； （2）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可. 【详解】（1）若，则，， 所以 . （2）若，则，， 所以 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$