2026届高考数学小题训练17（数列）

2026年高考数学小题训练17（数列） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．记为数列的前n项和，且， ，则（ ） A． B． C． D． 3．等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1或 4．若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C．2 D．3 5．记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 10．是等比数列的前项和，若存在，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C． D．可能为常数列 11．已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则所有可能取值的集合为 C．若，则 D．若为正整数，则的前项和为 三、填空题 12．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ． 13．设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为 ． 14．已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练17（数列） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】应用等比数列定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙； 当时，如，时，，不是递增数列， 乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件， 故选：D． 2．记为数列的前n项和，且， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据写出各项的值，直接求和. 【详解】， ， ， ， 故； ， ， ， ， 故； ， ， ， ， ， 故； ， ， ， ， 故； 故 . 故选：B 3．等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1或 【答案】D 【分析】结合等差、等比数列的通项公式和性质，可求数列的公差. 【详解】因为为等差数列，且 ， 因为为等比数列，且 . 由 或. 故选：D 4．若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，， ， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且 ， 当时，数列单调递减，且 ， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 5．记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据条件得到，，再利用等差数列的通项公式及前项和公式的函数性质，即可求出结果；法二：根据条件得到，建立不等不关系，即可求出结果. 【详解】方法一：因为，所以，得到， 设等差数列的公差为，由，得到，又，所以， 所以，， 又， 令，其图象如图所示 结合等差数列的前n项和及通项的函数特征，    由图知，n的取值范围是． 方法二：由条件得，即． 因为，所以，并且有， 所以． 由，得， 整理得． 因为，所以， 即，解得， 所以n的取值范围是， 故选：C. 6．已知等差数列的公差，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 7．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差中项求得公比，代入求和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得： ，， 所以. 故选：D 8．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将，再用裂项相消法求的值. 【详解】∵函数满足对任意的且都有 ∴令，则， ∴ ∴ . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为： 二、多选题 9．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 10．是等比数列的前项和，若存在，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C． D．可能为常数列 【答案】ABC 【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项. 【详解】设等比数列的公比为. 当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错； 当， 所以， 即，，所以ABC对． 故选：ABC. 11．已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则所有可能取值的集合为 C．若，则 D．若为正整数，则的前项和为 【答案】BCD 【分析】对于A，由递推关系直接验算即可；对于B，结合是正整数分类讨论反推即可；对于C，写出前面几项，发现周期规律，由此即可验算；对于D，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】对于A，当时， 故A错误； 对于B，若，则只能（否则，与是奇数矛盾）， 从而（否则，与是奇数矛盾）， 由可分成三种情形： ① ；②；③ . 即所有可能取值的集合为，故B正确； 对于C，当时，依次可求 ， 即从开始数列呈现周期为 又因均能被3整除，即，故C正确； 对于D，， 则的前项和为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ． 【答案】3 【分析】根据数列的递推公式，求得数列通项公式，再分组求和求得，再求结果即可. 【详解】，，， 故数列的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列， 则，， 故，故． 故答案为：. 13．设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可得，，讨论或，即可得出答案. 【详解】由 ， 因为，所以由， 可得， 由可得， 即， 即， 即，即， 则，因为 若，则，解得：， 若，则，解得：， 所以公比的取值范围为：. 故答案为：. 14．已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为 ． 【答案】/ 【分析】设数列的公差为，由可得，代入可得答案. 【详解】设数列的公差为，由 ， 可得，解得， ， ， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $