12.4.3 角平分线（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

12.5 逆命题与互逆定理 3.角平分线 学习目标： 1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（重点） 2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.（难点） 自主学习 一、知识链接 我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在下图中画出∠ABC的对称轴BD. 二、新知预习 在上图的BD上取一点H，点H在∠ABC的内部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求证：HE=HF. 合作探究 一、探究过程 探究点1：角平分线的性质定理 问题 根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什么关系？ 【要点归纳】角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离 ___ . 例1 如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF． 例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 【针对训练】如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为 cm2． 探究点2：角平分线的性质定理的逆定理 问题 写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？ 【要点归纳】角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的 上. 例3 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是利用角平分线的性质定理的逆定理． 【针对训练】 如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．（提示：作辅助线如图所示） 二、课堂小结 内容 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝________． 角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上． 如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上. 当堂检测 1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， 且DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF=______度，BE=________ . 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______. 3.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________． 4.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　 　°． 5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下面给出四个结论，①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD． 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：对称轴如下图所示： 二、新知预习 证明：由作图知BD平分∠ABC，∴∠FBH=∠EBH，∵EH⊥AB，HF⊥BC，∴∠BEH=∠BFH，∵BH=BH，∴△BEH≌△BFH，∴EH=FH. 合作探究 一、探究过程 探究点1 【要点归纳】相等 例1 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF． 例2 D 【针对训练】20 探究点2 【要点归纳】平分线 例3 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线． 【针对训练】证明：分别过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF．同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG平分线上，∴AD是∠BAC的平分线． 二、课堂小结 PE 相等 当堂检测 1.60 BF 2.3 3.42 4.35 5.D 6.证明：连接AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD． 学科网（北京）股份有限公司 $