11.5 因式分解同步练习-2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

11.5因式分解 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•泽州县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2ma2+4ma+2m＝2m（a+1）2 C．a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1 D．x2+6x+36＝（x+3）2+27 2．（2024秋•安岳县期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（　　） A．224 B．220 C．198 D．154 3．（2024秋•霸州市期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x4﹣y2 4．（2024秋•肥城市期末）下列多项式：①4x2+4x；②x2﹣2xy+4y2；③a2﹣ab；④﹣a2+4b2中，能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025春•雁塔区期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2 6．（2024秋•通辽期末）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码可以是（　　） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 7．（2024秋•平舆县期末）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 二．填空题（共6小题） 8．（2024秋•肥城市期末）若整式x3﹣ax﹣1有一项因式为x+1，那么a的值为 　 　 ． 9．（2024秋•东区期末）多项式x2﹣kx+6因式分解后有一个因式为x﹣2，则k的值为　 　 ． 10．（2024秋•叙永县期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 　 　 ． 11．（2024秋•锡林郭勒盟期末）已知ab＝﹣2，a+b＝﹣3，则a3b+2a2b2+ab3的值为 　 　 ． 12．（2025•磁县校级四模）分解因式：x2y﹣25y＝　 　 ． 13．（2025•垦利区三模）因式分解：3ax2+6axy+3ay2＝ 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2024秋•腾冲市期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：x2+2x﹣3 解：原式＝（x2+2x+1）﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1） 再如：求代数式x2+2x﹣3的最小值． 解：原式＝（x2+2x+1）﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4 又∵（x+1）2是一个非负数， ∴（x+1）2≥0． ∴（x+1）2﹣4≥﹣4 可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝　 　 ；（直接写出结果） 当x＝　 　 时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值，这个最小值是 　 　 ； （2）利用配方法，已知a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长． 15．（2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b的正方形纸片，3号纸片是长为a、宽为b的长方形纸片． （1）由边长分别为a，b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为（a+b），即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：　 　 ； （2）如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是　 　 ； （3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求a，b的值． 11.5因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•泽州县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2ma2+4ma+2m＝2m（a+1）2 C．a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1 D．x2+6x+36＝（x+3）2+27 【考点】因式分解的意义． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； B、2ma2+4ma+2m＝2m（a+1）2，属于因式分解，符合题意； C、a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1，不属于因式分解，不符合题意； D、x2+6x+36＝（x+3）2+27，不属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 2．（2024秋•安岳县期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（　　） A．224 B．220 C．198 D．154 【考点】因式分解的应用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】设两个连续偶数为2k和2k+2（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可． 【解答】解：设两个连续偶数为2k和2k+2（k为正整数）k为正整数， ∴（2k+2）2﹣（2k）2＝4k2+8k+4﹣4k2＝8k+4， 若8k+4＝224，解得， ∴A选项不合题意； 若8k+4＝220，解得k＝27， ∴B选项符合题意； 若8k+4＝198，解得， ∴C选项不合题意； 若8k+4＝154，解得， ∴D选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差． 3．（2024秋•霸州市期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x4﹣y2 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】结合平方差公式的结构特征：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【解答】解：A．原式＝（x+y）（x﹣y），故本选项不符合题意； B．原式＝（y+x）（y﹣x），故本选项不符合题意； C．﹣x2﹣y2，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； D．原式＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了因式分解—运用公式法，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键． 4．（2024秋•肥城市期末）下列多项式：①4x2+4x；②x2﹣2xy+4y2；③a2﹣ab；④﹣a2+4b2中，能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【答案】B 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案． 【解答】解：①4x2+4x＝4x（x+1），是提取公因式法分解因式； ②x2﹣2xy+4y2，用公式法分解因式； ③a2﹣ab（ab）2，符合题意； ④﹣a2+4b2＝（2b﹣a）（2b+a），符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键． 5．（2025春•雁塔区期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；符号意识． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣a2+b2符合平方差公式结构，故本选项不合题意； B、﹣x2﹣y2不符合平方差公式结构，故本选项符合题意； C、49x2﹣z2符合平方差公式结构，故本选项不合题意； D、16m2﹣25n2符合平方差公式结构，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的公式结构是解题的关键． 6．（2024秋•通辽期末）取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码可以是（　　） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 【考点】因式分解的应用；因式分解的意义． 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码． 【解答】解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y）， 当x＝10，y＝10时，2x+y＝30，2x﹣y＝10， 组成密码的数字应包括30，10， 故选：A． 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键． 7．（2024秋•平舆县期末）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】将原式因式分解后即可求得答案． 【解答】解：原式＝3a2b2（2a﹣1﹣4b）， 则应提取的公因式是3a2b2， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 8．（2024秋•肥城市期末）若整式x3﹣ax﹣1有一项因式为x+1，那么a的值为 　2　 ． 【考点】因式分解的应用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】2． 【分析】不妨设x3﹣ax﹣1＝（x+1）（x2+bx+c），然后利用整式的乘法得到x3﹣ax﹣1＝x3+x2（b+1）+x（c+b）+c，从而得到b+1＝0，c+b＝﹣a，﹣1＝c，最后算得答案． 【解答】解：若整式x3﹣ax﹣1有一项因式为x+1， 不妨设原式＝（x+1）（x2+bx+c） 那么x3﹣ax﹣1＝（x+1）（x2+bx+c）＝x3+bx2+xc+x2+bx+c， ∴x3﹣ax﹣1＝x3+x2（b+1）+x（c+b）+c， ∴b+1＝0，c+b＝﹣a，﹣1＝c， ∴b＝﹣1，a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解和整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2024秋•东区期末）多项式x2﹣kx+6因式分解后有一个因式为x﹣2，则k的值为　5　 ． 【考点】因式分解的意义． 【专题】计算题；因式分解． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用十字相乘法判断即可． 【解答】解：∵多项式x2﹣kx+6因式分解后有一个因式为x﹣2， ∴另一个因式是（x﹣3），即x2﹣kx+6＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， 则k的值为5， 故答案为：5 【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．（2024秋•叙永县期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 　﹣15　 ． 【考点】因式分解的应用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣15． 【分析】先把x2y﹣xy2提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3， ∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15． 故答案为：﹣15． 【点评】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键． 11．（2024秋•锡林郭勒盟期末）已知ab＝﹣2，a+b＝﹣3，则a3b+2a2b2+ab3的值为 　﹣18　 ． 【考点】因式分解的应用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣18． 【分析】把所求式子因式分解为ab（a+b）2，再代值计算即可． 【解答】解：∵ab＝﹣2，a+b＝﹣3， ∴a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝﹣2×（﹣3）2 ＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键． 12．（2025•磁县校级四模）分解因式：x2y﹣25y＝　y（x+5）（x﹣5）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：x2y﹣25y ＝y（x2﹣25） ＝y（x+5）（x﹣5）． 故答案为：y（x+5）（x﹣5）． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键． 13．（2025•垦利区三模）因式分解：3ax2+6axy+3ay2＝ 　3a（x+y）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】3a（x+y）2． 【分析】根据提取公因式法和完全平方公式进行因式分解解答即可． 【解答】解：3ax2+6axy+3ay2 ＝3a（x2+2xy+y2） ＝3a（x+y）2． 故答案为：3a（x+y）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2024秋•腾冲市期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：x2+2x﹣3 解：原式＝（x2+2x+1）﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1） 再如：求代数式x2+2x﹣3的最小值． 解：原式＝（x2+2x+1）﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4 又∵（x+1）2是一个非负数， ∴（x+1）2≥0． ∴（x+1）2﹣4≥﹣4 可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝　（x﹣5）（x+1）　 ；（直接写出结果） 当x＝　2　 时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值，这个最小值是 　﹣9　 ； （2）利用配方法，已知a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长． 【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方． 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】（1）（x﹣5）（x+1）；2，﹣9； （2）14． 【分析】（1）原式利用十字相乘法分解即可；多项式配方后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时x的值即可； （2）已知等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，进而求出三角形周长即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）； 当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5＝（x2﹣4x+4）﹣9＝（x﹣2）2﹣9有最小值，这个最小值是﹣9； 故答案为：（x﹣5）（x+1）；2，﹣9； （2）已知等式整理得：（a2﹣4ab+4b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣10c+25）＝0， 整理得：（a﹣2b）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0， ∴a﹣2b＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0， 解得：a＝6，b＝3，c＝5， 则△ABC的周长为6+3+5＝14． 【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．（2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b的正方形纸片，3号纸片是长为a、宽为b的长方形纸片． （1）由边长分别为a，b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为（a+b），即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ； （2）如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是　（a+b）（a+3b）　 ； （3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求a，b的值． 【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（a+b）（a+3b）； （3）a＝8；b＝3． 【分析】（1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式a2+4ab+3b2的几何背景是边长为（a+b），（a+3b）的长方形的面积解答； （3）根据阴影面积＝总面积﹣两个三角形的面积求解即可． 【解答】解：（1）根据图形可知（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）根据所拼图形的面积把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是（a+b）（a+3b）， 故答案为：（a+b）（a+3b）； （3）图形的总面积为：a2+ab+b2， 三角形面积分别为：， ∴S阴影， ∴a＝8（负数舍去）， ∵ab＝24， ∴b＝3． 【点评】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $