11.5　因式分解 　同步练习 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第2课时　公式法 用平方差公式分解因式 1.下列各多项式中,能直接用平方差公式分解因式的是 (　　) A.a2+9 B.a2-6a+9 C.-a2-9 D.a2-9 2.因式分解(x-1)2-9的结果是 (　　) A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1) C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4) 3.若x+y=3,x2-y2=9,则x-y的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.-3 4.因式分解:x2-4=　　　　.  5.分解因式: (1)x3-9x; (2)(x2+y2)2-4x2y2; (3)(2x+y)2-(x+2y)2. 用完全平方公式分解因式 6.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 (　　) A.x2+2x-1 B.x2+x+ C.x2+2x+4 D.x2-6x+9 7.因式分解:a2-2a+1=　　　　.  8.(易错题)(2024淄博中考)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,则m的值是 　　　　.  9.分解因式: (1)a2+6ab+9b2; (2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9. 1.下列多项式,能用公式法分解因式的有 (　　) ①x2+y2;②-x2+y2;③x2+2xy-y2;④-x2+4xy-4y2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,那么添加的单项式不可以是 (　　) A.2x B.-2x C.x4 D.-x4 3.(易错题)对于多项式xa-y2(其中1≤a≤6,且a为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则a的值可能有 (　　) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 4.如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 (　　) A.0 B.1 C.4 D.9 5.(2025衡水阜城县期末)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y, x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:华、爱、我、中、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (　　) A.我爱美 B.中华游 C.爱我中华 D.美我中华 6.若a+b=4,a-b=1,则(a+2)2-(b-2)2的值为　　　　.  7.(2024威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1=　　　　.  8.分解因式: (1)-2a3+12a2-16a; (2)-4x2; (3)x2+2xy+y2-2x-2y+1. 9.利用因式分解简便计算: (1)2 0252-1 9752; (2)42.52+85×57.5+57.52. 10.下面是小烨同学对多项式(x2-4x+2)·(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程, 解:设x2-4x=y, 原式=(y+2)(y+6)+4……第一步 =y2+8y+16……第二步 =(y+4)2……第三步 =(x2-4x+4)2.……第四步 回答下列问题: (1)小烨同学第二步到第三步运用了　　　　(填“公式”或“提公因式”)法进行因式分解;  (2)小烨同学因式分解的结果是否彻底?　　　　(填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:　　　　;  (3)以上方法叫做“换元法”,请你模仿以上方法对(m2-2m)(m2-2m+2)+1进行因式分解. 11.(推理能力)若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式,则称这个数可“平方差表示”.每一种表示方法叫做一个平方差分解. 例:∵15=42-12,∴15可平方差表示,42-12是15的一个平方差分解. (1)请写出15的另一个平方差分解; (2)试说明:若M=x2+6x(其中x是正整数),则M可平方差表示; (3)已知N=x2-y2+6x-10y+k(x、y是正整数,k是常数,且x>y+2),要使N可平方差表示,试求出符合条件的一个k值,并说明理由. 【详解答案】 基础达标 1.D　2.D　3.C　4.(x+2)(x-2) 5.解:(1)x3-9x =x(x2-9) =x(x+3)(x-3). (2)(x2+y2)2-4x2y2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. (3)(2x+y)2-(x+2y)2 =(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) =(3x+3y)(x-y) =3(x+y)(x-y). 6.D　7.(a-1)2　8.±12 9.解:(1)a2+6ab+9b2=(a+3b)2. (2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9 =(x2-2x-3)2 =[(x+1)(x-3)]2 =(x+1)2(x-3)2. 能力提升 1.B　解析:①x2+y2,不能用公式法分解因式;②-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x),能用平方差公式分解因式;③x2+2xy-y2,不能用公式法分解因式;④-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2,能用完全平方公式分解因式,所以能用公式法分解因式的有2个. 故选B. 2.D　解析:A.x2+2x+1=(x+1)2,不符合题意;B.x2-2x+1=(x-1)2,不符合题意;C.x4+x2+1=(x2+1)2,不符合题意;D.x2+1加上-x4,无法构成完全平方式,符合题意.故选D. 3.C　解析:当a=2时,x2-y2=(x+y)(x-y); 当a=4时,x4-y2=(x2+y)(x2-y); 当a=6时,x6-y2=(x3+y)(x3-y), 综上,a的值有3种. 故选C. 4.D　解析:∵a+b=3,ab=1, ∴原式=ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b)2 =1×32 =9. 故选D. 5.C　解析:原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b), 由条件可知,(x-y)(x+y)(a-b)·(a+b)可表示为“爱我中华”. 故选C. 6.20　解析:∵a+b=4,a-b=1, ∴(a+2)2-(b-2)2=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]=(a+b)(a-b+4)=4×(1+4)=20. 7.(x+3)2　解析:原式=x2+4x+2x+8+1=x2+6x+9=(x+3)2. 8.解:(1)-2a3+12a2-16a=-2a(a2-6a+8)=-2a(a-2)(a-4). (2)-4x2 =(x2+1+2x)(x2+1-2x) =(x+1)2(x-1)2. (3)x2+2xy+y2-2x-2y+1=(x+y)2-2(x+y)+1=(x+y-1)2. 9.解:(1)2 0252-1 9752 =(2 025+1 975)×(2 025-1 975) =4 000×50 =200 000. (2)42.52+85×57.5+57.52 =42.52+2×42.5×57.5+57.52 =(42.5+57.5)2 =1002 =10 000. 10.解:(1)公式 (2)不彻底　(x-2)4 (3)设m2-2m=y, 原式=y(y+2)+1 =y2+2y+1 =(y+1)2 =(m2-2m+1)2 =(m-1)4. 11.解:(1)∵15=82-72, ∴15的另一个平方差分解是82-72. (答案不唯一) (2)∵M=x2+6x, ∴M=x2+6x =(x+3)2-9 =(x+3)2-32. ∵x为正整数, ∴x+3也是正整数. ∴M可平方差表示. (3)k=-16.理由如下: N=x2-y2+6x-10y+k =(x+3)2-(y+5)2+k+16, 若N可平方差表示, 则k+16=0, ∴k=-16. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.5　因式分解 第1课时　提公因式法 因式分解的概念 1.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (　　) A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2+2x+1=(x+1)2 C.x2+2x-1=x(x+2)-1 D.x(x-1)=x2-x 2.(教材变式)下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由. ①a2-1=(a+1)(a-1); ②x2+1=x; ③3mn2-6m2n=3mn(n-2m); ④ab-ac+a=a(b-c); ⑤2a3=2a·a·a; ⑥x2+2xy-1=x(x+2y)-1. 用提公因式法分解因式 3.(2025天津滨海新区期末)把多项式4x2y2z-12xy2z-6xyz2分解因式时,应提取的公因式是 (　　) A.xyz B.2xy C.2xyz D.2x2y2z2 4.把-9x3+6x2-3x因式分解时,提出公因式后,另一个因式是 (　　) A.3x2-2x B.3x2-2x-1 C.-9x2+6x D.3x2-2x+1 5.(2024自贡中考)分解因式:x2-3x=　　　　.  6.2a2与4ab的公因式为　　　　.  7.用提公因式法分解因式: (1)9x2-6xy+3x; (2)(a-b)3-(a-b)2; (3)3m(x-y)-n(y-x); (4)-3an+2+2an+1-5an. 1.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是a-b,则另一个因式是 (　　) A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 2.下列各组中的两个代数式,没有公因式的一组是 (　　) A.5xy和xy5 B.5x-y和x+5y C.5x-5y和6x-6y D.5x和15y 3.下列多项式的分解因式,正确的是 (　　) A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz) B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2) C.-x2+xy-xz=-x(x2+y-z) D.a2b+5ab-b=b(a2+5a) 4.计算(-2)100+(-2)101所得的结果是 (　　) A.-2100 B.2100 C.-2 D.-1 5.分解因式:4a(x+7)-3(x+7)=　　　　.  6.若实数a、b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是　　　　.  7.因式分解: (1)2(a-b)2+4(b-a); (2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2. 8.简便计算: (1)1.992+1.99×0.01; (2)2 0252+2 025-2 0262. 9.已知(19x-31)(13x-17)-(17-13x)·(11x-23)可因式分解成(ax+b)(30x+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c的值. 10.(运算能力)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是　　　　;  (2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 026的结果是　　　　;  (3)利用(2)中结论计算:5+52+53+…+52 026. 【详解答案】 基础达标 1.B 2.解:①a2-1=(a+1)(a-1)是因式分解,理由:符合因式分解的定义; ②x2+1=x(x+)不是因式分解,理由:不是整式; ③3mn2-6m2n=3mn(n-2m)是因式分解,理由:符合因式分解的定义; ④ab-ac+a=a(b-c)不是因式分解,理由:左右两边不相等; ⑤2a3=2a·a·a不是因式分解,理由:2a3是单项式; ⑥x2+2xy-1=x(x+2y)-1不是因式分解,理由:右边不是积的形式. 3.C　4.D　5.x(x-3)　6.2a 7.解:(1)原式=3x·3x-3x·2y+3x·1=3x(3x-2y+1). (2)原式=(a-b)2(a-b-1). (3)原式=3m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(3m+n). (4)原式=-an·3a2-an·(-2a)-an·5=-an(3a2-2a+5). 能力提升 1.A　解析:原式=5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m), 另一个因式是5-m. 故选A. 2.B　解析:A.5xy和xy5的公因式是xy,不符合题意;B.5x-y和x+5y,没有公因式,符合题意;C.5x-5y=5(x-y)和6x-6y=6(x-y)的公因式是(x-y),不符合题意;D.5x和15y的公因式是5,不符合题意.故选B. 3.B　解析:A.12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy),故此选项错误;B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2),故此选项正确;C.-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故此选项错误;D.a2b+5ab-b=b(a2+5a-1),故此选项错误.故选B. 4.A　解析:(-2)100+(-2)101 =(-2)100×(1-2) =-2100. 故选A. 5.(x+7)(4a-3)　解析:原式=(x+7)(4a-3). 6.-3　解析:∵a2b+ab2=-15, ∴ab(a+b)=-15. 又∵a+b=5, ∴ab=-3. 7.解:(1)2(a-b)2+4(b-a) =2(a-b)2-4(a-b) =2(a-b)(a-b-2). (2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2 =(2x+1)(3x-2-2x-1) =(2x+1)(x-3). 8.解:(1)原式=1.99×(1.99+0.01) =1.99×2 =3.98. (2)原式=2 025×(2 025+1)-2 0262 =2 025×2 026-2 0262 =2 026×(2 025-2 026) =2 026×(-1) =-2 026. 9.解:(19x-31)(13x-17)-( 17-13x)·(11x-23) =(19x-31)(13x-17)+( 13x-17)·(11x-23) =(13x-17)(30x-54), ∴a=13,b=-17,c=-54. ∴a+b+c=-58. 10.解:(1)提公因式法 (2)(1+x)2 027 (3)原式=×4×(5+52+53+…+52 026) =×(4×5+4×52+4×53+…+4×52 026) =×(1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52 026)- = =. 学科网（北京）股份有限公司 $$