3.6.1角 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

3.6.1角 学习目标 1. 理解角的静态和动态概念，能准确描述角的构成要素. 2. 掌握角的四种表示方法，能根据条件正确选择表示方法. 3. 理解角的分类标准，能根据度数判断角的类型（锐角、直角、钝角、平角、周角）. 4. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算关系，能进行度、分、秒的互化. 5. 会用度量法比较角的度数大小. 6. 理解方向角的概念，能准确描述物体的方向角. 知识点讲解 一、角的概念理解 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边. 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角. 起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边. 二、角的表示方法 角的表示方法有以下四种，需注意适用条件： 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两边上各取一个点的字母写在两旁，如∠AOB（顶点为O，边为OA、OB）. ▶ 条件：顶点处有多个角时，必须用三个字母表示，避免混淆. 2. 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可用顶点字母表示，如∠O（顶点O处只有一个角）. ▶ 条件：顶点处只有一个角，否则会混淆. 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画弧线，标上数字，如∠1. 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画弧线，标上希腊字母（如α、β、γ等），如∠α. 三、角的分类 根据角的度数大小，角可分为以下类型： | 角的类型 | 度数范围 | |----------|----------| | 锐角 | 0°<锐角<90° | | 直角 | 直角=90° | | 钝角 | 90°<钝角<180° | | 平角 | 平角=180°（两边成一条直线，但不是直线） | | 周角 | 周角=360°（两边重合） | 四、方向角 1. 定义：以正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角，通常表示为“北偏东（西）n°”或“南偏东（西）n°”（0°<n<90°）. 2. 特殊方向： · 东北方向=北偏东45°；西北方向=北偏西45°； · 东南方向=南偏东45°；西南方向=南偏西45°. 3. 注意：方向角必须以正北或正南为基准，不能说“东偏北n°”或“西偏南n°”. 五、角的单位与角度制 1.** 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）. 2.定义 **： · 1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°； · 1°=60′（1度=60分），1′=60″（1分=60秒）. 3.** 单位换算： -高级单位化低级单位：度→分×60，分→秒×60. 如m°=m×60′，n′=n×60″. -低级单位化高级单位 **：分→度÷60，秒→分÷60. 如p′=p÷60°，q″=q÷60′=q÷(60×60)°. 六、角的度数大小比较 度量法：比较角的度数数值大小. 若∠α的度数为a°，∠β的度数为b°，则： · 当a°>b°时，∠α>∠β； · 当a°=b°时，∠α=∠β； · 当a°<b°时，∠α<∠β. 例题解析 例题1（角的表示方法） 下列关于角的表示方法，不正确的是（ ） A. 若顶点A处只有一个角，则该角可表示为∠A B. ∠ABC的顶点是B C. 用数字2表示的角可记作2∠ D. 用希腊字母β表示的角可记作∠β 解答： 选项A：顶点处只有一个角时，可用顶点字母表示，正确. 选项B：∠ABC中中间字母为顶点，正确. 选项C：用数字2表示的角应记作∠2，“2∠”表述错误. 选项D：希腊字母表示角记作∠β，正确. 答案：C 例题2（角的分类） 判断下列角的类型：（1）75°；（2）90°；（3）100°；（4）180°；（5）360°. 解答： （1）0°<75°<90°，故75°是锐角. （2）90°=90°，故90°是直角. （3）90°<100°<180°，故100°是钝角. （4）180°=180°，故180°是平角. （5）360°=360°，故360°是周角. 例题3（角度单位换算） （1）将38.25°化为度分秒；（2）将50°42′36″化为度. 解答： （1）38.25°=38°+0.25° 0.25°=0.25×60′=15′ 所以38.25°=38°15′0″. （2）50°42′36″=50°+42′+36″ 36″=36÷60′=0.6′ 42′+0.6′=42.6′ 42.6′=42.6÷60°=0.71° 所以50°42′36″=50°+0.71°=50.71°. 例题4（方向角） 描述下列方向角： （1）从正北方向向东旋转25°；（2）从正南方向向西旋转40°；（3）西南方向. 解答： （1）北偏东25°. （2）南偏西40°. （3）西南方向即南偏西45°. 例题5（角的大小比较） 比较∠α=30°18′，∠β=30.3°，∠γ=0.5°的大小，并按从小到大排序. 解答： 先统一单位为度： ∠α=30°18′=30°+18÷60°=30.3° ∠β=30.3° ∠γ=0.5° 比较度数：0.5°<30.3°=30.3° 所以排序为：∠γ<∠α=∠β. 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列关于角的概念，正确的是（ ） A. 两条直线组成的图形叫做角 B. 角的边越长，角越大 C. 角的大小与边的长短无关 D. 平角是一条直线 2. 用三个大写字母表示∠1（顶点为O，两边为OA、OB），正确的是（ ） A. ∠OAB B. ∠AOB C. ∠OBA D. ∠ABO 3. 下列角中，是钝角的是（ ） A. 89° B. 90° C. 100° D. 180° 4. 将42.36°化为度分秒，结果正确的是（ ） A. 42°36′ B. 42°21′36″ C. 42°21′6″ D. 42°3′6″ 5. 点A在点B的南偏东30°方向，则点B在点A的（ ）方向 A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 北偏东30° D. 南偏东30° 二、填空题 1. 角是由有公共端点的两条______组成的图形，公共端点叫做角的______. 2. 1周角=______平角 直角=______°. 3. 2700″=°，0.4°=______′. 4. 方向角“北偏西60°”是从______方向向______旋转60°. 5. 比较大小：50°20′______50.2°（填“>”“<”或“=”）. 三、解答题 1. 完成单位换算： （1）将68.45°化为度分秒； （2）将120°36′18″化为度. 2. 现有四个角：∠1=25°，∠2=25.5°，∠3=25°30′，∠4=0.4°，比较它们的大小并排序. 巩固练习答案及解析 一、选择题 1. C 解析：角由射线组成，大小与边的长短无关，平角是角不是直线，故选C. 2. B 解析：三个大写字母表示角时，顶点字母在中间，两边字母在两旁，∠AOB正确，故选B. 3. C 解析：钝角范围是90°<钝角<180°，100°满足，故选C. 4. B 解析：42.36°=42°+0.36×60′=42°21.6′=42°21′+0.6×60″=42°21′36″，故选B. 5. A 解析：方向角具有相对性，南偏东30°的反方向是北偏西30°，故选A. 二、填空题 1. 射线，顶点 解析：角的静态定义：有公共端点的两条射线组成，公共端点为顶点. 2. 2，4，360 解析：1周角=360°=2×180°（平角）=4×90°（直角）. 3. 0.75，24 解析：2700″=2700÷60÷60°=0.75°；0.4°=0.4×60′=24′. 4. 正北，西 解析：北偏西60°以正北为基准向西旋转60°. 解析：50.2°=50°+0.2×60′=50°12′，50°20′>50°12′. 三、解答题 1. 解： （1）68.45°=68°+0.45×60′=68°27′，所以68.45°=68°27′0″. （2）120°36′18″=120°+36′+18÷60′=120°+36.3′=120°+36.3÷60°=120.605°. 2. 解： ∠1=25°，∠2=25.5°，∠3=25°30′=25.5°，∠4=0.4° 比较大小：0.4°<25°<25.5°=25.5° 排序为：∠4<∠1<∠2=∠3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6.1角 学习目标 1. 理解角的静态和动态概念，能准确描述角的构成要素. 2. 掌握角的四种表示方法，能根据条件正确选择表示方法. 3. 理解角的分类标准，能根据度数判断角的类型（锐角、直角、钝角、平角、周角）. 4. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算关系，能进行度、分、秒的互化. 5. 会用度量法比较角的度数大小. 6. 理解方向角的概念，能准确描述物体的方向角. 知识点讲解 一、角的概念理解 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边. 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角. 起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边. 二、角的表示方法 角的表示方法有以下四种，需注意适用条件： 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两边上各取一个点的字母写在两旁，如∠AOB（顶点为O，边为OA、OB）. ▶ 条件：顶点处有多个角时，必须用三个字母表示，避免混淆. 2. 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可用顶点字母表示，如∠O（顶点O处只有一个角）. ▶ 条件：顶点处只有一个角，否则会混淆. 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画弧线，标上数字，如∠1. 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画弧线，标上希腊字母（如α、β、γ等），如∠α. 三、角的分类 根据角的度数大小，角可分为以下类型： | 角的类型 | 度数范围 | |----------|----------| | 锐角 | 0°<锐角<90° | | 直角 | 直角=90° | | 钝角 | 90°<钝角<180° | | 平角 | 平角=180°（两边成一条直线，但不是直线） | | 周角 | 周角=360°（两边重合） | 四、方向角 1. 定义：以正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角，通常表示为“北偏东（西）n°”或“南偏东（西）n°”（0°<n<90°）. 2. 特殊方向： · 东北方向=北偏东45°；西北方向=北偏西45°； · 东南方向=南偏东45°；西南方向=南偏西45°. 3. 注意：方向角必须以正北或正南为基准，不能说“东偏北n°”或“西偏南n°”. 五、角的单位与角度制 1.** 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）. 2.定义 **： · 1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°； · 1°=60′（1度=60分），1′=60″（1分=60秒）. 3.** 单位换算： -高级单位化低级单位：度→分×60，分→秒×60. 如m°=m×60′，n′=n×60″. -低级单位化高级单位 **：分→度÷60，秒→分÷60. 如p′=p÷60°，q″=q÷60′=q÷(60×60)°. 六、角的度数大小比较 度量法：比较角的度数数值大小. 若∠α的度数为a°，∠β的度数为b°，则： · 当a°>b°时，∠α>∠β； · 当a°=b°时，∠α=∠β； · 当a°<b°时，∠α<∠β. 例题解析 例题1（角的表示方法） 下列关于角的表示方法，不正确的是（ ） A. 若顶点A处只有一个角，则该角可表示为∠A B. ∠ABC的顶点是B C. 用数字2表示的角可记作2∠ D. 用希腊字母β表示的角可记作∠β 例题2（角的分类） 判断下列角的类型：（1）75°；（2）90°；（3）100°；（4）180°；（5）360°. 例题3（角度单位换算） （1）将38.25°化为度分秒；（2）将50°42′36″化为度. 例题4（方向角） 描述下列方向角： （1）从正北方向向东旋转25°；（2）从正南方向向西旋转40°；（3）西南方向. 例题5（角的大小比较） 比较∠α=30°18′，∠β=30.3°，∠γ=0.5°的大小，并按从小到大排序. 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列关于角的概念，正确的是（ ） A. 两条直线组成的图形叫做角 B. 角的边越长，角越大 C. 角的大小与边的长短无关 D. 平角是一条直线 2. 用三个大写字母表示∠1（顶点为O，两边为OA、OB），正确的是（ ） A. ∠OAB B. ∠AOB C. ∠OBA D. ∠ABO 3. 下列角中，是钝角的是（ ） A. 89° B. 90° C. 100° D. 180° 4. 将42.36°化为度分秒，结果正确的是（ ） A. 42°36′ B. 42°21′36″ C. 42°21′6″ D. 42°3′6″ 5. 点A在点B的南偏东30°方向，则点B在点A的（ ）方向 A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 北偏东30° D. 南偏东30° 二、填空题 1. 角是由有公共端点的两条______组成的图形，公共端点叫做角的______. 2. 1周角=______平角 直角=______°. 3. 2700″=°，0.4°=______′. 4. 方向角“北偏西60°”是从______方向向______旋转60°. 5. 比较大小：50°20′______50.2°（填“>”“<”或“=”）. 三、解答题 1. 完成单位换算： （1）将68.45°化为度分秒； （2）将120°36′18″化为度. 2. 现有四个角：∠1=25°，∠2=25.5°，∠3=25°30′，∠4=0.4°，比较它们的大小并排序. 学科网（北京）股份有限公司 $