精品解析：河南省商丘市睢县2024-2025学年上学期九年级全年教材验收考试数学试卷

2024-2025学年度全年教材验收 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的三种常见形式为：(为常数，)、(为常数，)、(为常数，)．关键是将各选项的式子与反比例函数的形式进行对比，判断是否符合，同时注意区分正比例函数与反比例函数的形式差异． 【小问1详解】 解：根据反比例函数的定义，一般地，形如(为常数，)的函数叫做反比例函数，其等价形式为()或()． 选项A：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 选项B：符合正比例函数()的形式，不是反比例函数； 选项C：两边除以()得，符合反比例函数的形式，是反比例函数； 选项D：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 故选：B． 2. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可求，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下面4个立体图形中，从左面看与其他3个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解答本题的关键．根据从左面看到的图形可得答案． 【详解】解：从左边看，选项A、B、C的图形的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形；选项D的左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：D． 4. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5. 如图，，，三点在上，，则为（ ） A. 30° B. 40° C. 20° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是关键；由得的度数，再由圆周角定理即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 6. 某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144 命中率 0.9 0.8 0.7 0.72 0.72 根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是(　　) A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.72 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确． 【详解】由表可知，实验次数为200次时，为该组数据中试验次数最多者， 故当实验次数为200次时，其频率最具有代表性， 据此估计该队员一次投篮命中的概率大约是0.72． 故选：D． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：把方程化为一般式得， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点是对角线上一点，过点作，交于点，，，点的坐标为，点的横坐标为5，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作轴于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得的长，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：作轴于点， ∵中，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵点的坐标为，点的横坐标为5， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 10. 已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种情况，①当△时由求得，将的两个值分别代入方程中，求得方程的两个根检验即可； ②当△时，在范围内有一个根，则与时的两个函数值异号或有一值为0，另一个根在范围内，分别求出的取值范围． 【详解】解：与直线在范围内有唯一公共点， 令，即， （1）当△时，则， 解得， 当时，原方程为， 解得，不合题意，舍； 当时，原方程为， 解得满足要求， ； （2）当△时，与直线在范围内有一个根， 即与x轴在范围内有一个交点， ①若与时的两个函数值异号， 当时，， 当时，， ， 时，或， ∵开口向上，则的解为， ②若与时的两个函数值中有一个为0，即为方程的根， 当是方程的根时，则，另一个根为，在范围内， 当是方程的根时，则，另一个根为，不在范围内， 综上所述：或． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象和系数的关系以及一元二次方程根的判别式，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数是反比例函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，正确理解反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，所写出的二次函数a＞0且函数经过（1，0）即可． 【详解】解：二次函数 开口向上，且经过（1，0）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是利用二次函数图象开口方向和二次函数图象上点的坐标特征． 13. 现有5张卡，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片正面图案恰好是神舟十四和人工智能的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 根据题意，先设神舟十四号为A，5G基站建设为B，工业互联网为C，大数据中心为D，人工智能为E，然后画出相应的树状图，即可求得两张卡片正面图案恰好是神舟十四号 和人工智能的概率． 【详解】解：设神舟十四号为A，5G基站建设为B，工业互联网为C，大数据中心为D，人工智能为E， 树状图如下： 由上可得，一共有20种等可能性，其中两张卡片正面图案恰好是神舟十四号和人工智能的情况有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是神舟十四号和人工智能的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，圆心角，，分别以，的中点，为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据菱形的性质与判定求线段长，求弧长，解题关键是掌握弧长公式． 如图所示，连接，，证明四边形是菱形，得到，再利用弧长公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的中点为，的中点为，分别以，为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，， ∴， ∴四边形是菱形，，， ∴， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：． 15. 如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为________． 【答案】2或## 或2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，勾股定理，旋转性质，平行四边形判定及性质．根据题意分情况讨论，①当在外部时，利用等腰直角三角形性质可知，，，继而证出是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到本种情况答案；②当在的内部时，证明出四边形是平行四边形，再用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：①如图，当在外部时， ， 延长交于N，过点A作于H， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，当在的内部时， ， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程：． 【答案】（1）3；（2），；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解一元二次方程． （1）先代入三角函数值，再计算乘法，后计算加减即可； （2）移项后用因式分解法求解即可； （3）根据公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ． ， 或， 解得：，； （3）， ，，， ， ， 解得：，． 17. 如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接． （1）请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）过点作于，点即为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 18. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】的长约为157米． 【解析】 【分析】根据题意，过点作，交的延长线于点，先通过求出AF，然后再根据进行求解即可． 【详解】如下图，过点作，交的延长线于点 在中，米， ∴米 在中， ∴米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及构造直角三角形并通过锐角三角函数表示各边之间的关系是解决本题的关键． 19. 如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为、； （2）以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为； （3）将绕点B顺时针旋转，得到，请画出． 【答案】（1） 解：如图，如图所示坐标系即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； （3） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，画位似图形，画旋转图形，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据A、B的坐标确定原点的位置以及x、y的轴的位置，然后建立坐标系即可； （2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以2得到的坐标，再顺次连接即可； （3）根据旋转的性质找到A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，四边形是的内接四边形，，，连接、，过点C的切线与的延长线交于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵与相切， ∴，则， 由圆周角定理可知：， ∵，则， ∴，则， ∴ ∴， ∵， ∴，则， 又∵是的直径， ∴， 由圆周角定理可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质定理，角平分线的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，，先由切线的性质及圆周角定理证明，再证明，，，即可证明，进而可得，再借助，可证，即可证明平分； （2）过点作，易知，再根据勾股定理及等面积法求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作， ∵，平分 ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角形的面积的求法，以及反比例函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图像求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点P的坐标，再根据，列方程求出的长，进一步求出点P坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图可得：当或时，； 【小问3详解】 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为4，可得： ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 22. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【答案】（1） 解：如图，建立平面直角坐标系如下： （2）米 （3）要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【小问1详解】 解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， 【小问3详解】 解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处， ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 23. 【发现问题】（1）如图1，和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系是 ． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点C、E、D在同一直线上，连接．求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接 ，将绕点A旋转，当时，直接写出的长． 【答案】（1），； （2），． 理由：和都是等腰直角三角形，， ， ， ，， ， ， ． ． 点C、E、D在同一直线上， ， ， °． （3）的长为7或17． 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质即可解答． （2）根据等腰直角三角形的性质与三角函数，证明，得到，求出，即可解答； （3）分两种情况进行讨论，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）；； 和是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）略 （3）的长为7或17； 如图1，当时，同（2）知， 三点在一条直线上． 在中，， ， ； 如图2，当时，同理， 三点在一条直线上． 在中，， ， ． 综上所述，的长为7或17． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度全年教材验收 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 2. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 3. 下面4个立体图形中，从左面看与其他3个不同的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，，，三点在上，，则为（ ） A. 30° B. 40° C. 20° D. 10° 6. 某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144 命中率 0.9 0.8 0.7 0.72 0.72 根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是(　　) A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.72 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点是对角线上一点，过点作，交于点，，，点的坐标为，点的横坐标为5，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 10. 已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数是反比例函数，则______． 12. 写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数____． 13. 现有5张卡，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片正面图案恰好是神舟十四和人工智能的概率为______． 14. 如图，在扇形中，圆心角，，分别以，的中点，为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为__________． 15. 如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程：． 17. 如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接． （1）请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 18. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，） 19. 如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为、； （2）以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为； （3）将绕点B顺时针旋转，得到，请画出． 20. 如图，四边形是的内接四边形，，，连接、，过点C的切线与的延长线交于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 22. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 23. 【发现问题】（1）如图1，和是等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系是 ． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点C、E、D在同一直线上，连接．求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接 ，将绕点A旋转，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $