精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

长郡中学2025年高一上期数学单元检测卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得，，可求. 【详解】解得，解得， 所以， 所以. 故选：B. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 3. 设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据得，根据包含关系求实数，根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数. 【详解】 因为，所以，因此或或， 当时，，当时，，当时，， 实数a的取值组成的集合为，其子集有，，，，，，，，共8个， 故选：D． 4. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 5. 若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 则，且和3是的两个根， 所以，即，， 故， 解得或， 从而关于x不等式的解集为. 故选：C. 6. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误. 【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误； 对于选项B： ，，∴B错误； 对于选项C ：， 因为 ∴C错误； 对于选项D：∵，当且仅当时取等号， ∴，D正确； 故选：D 7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，利用均值不等式进行求解即可. 【详解】由题意知，则， ， 当且仅当即时，等号成立； 所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大. 故选：B 8. 设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围． 【详解】恒成立， 即为恒成立， 当时，可得的最小值， 由， 当且仅当取得最小值8，即有，则； 当时，可得的最大值， 由， 当且仅当取得最大值，即有，则， 综上可得．故选． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判定A，利用充分条件、必要条件的定义结合反例可判定B、C、D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，由可知，满足充分性， 而推不出，比如，不满足必要性，故B正确； 对于C，由不能推出，故C错误； 对于D，若，则方程判别式， 有两个不等根，且，所以两个根异号，满足充分性， 若方程有一正一负根，则需， 解之得，满足必要性，故D正确. 故选：BD 10. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断. 【详解】A. 因为，故正确； B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确； C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误； D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确； 故选：ABD 11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合所给新定义与集合交集、并集定义逐一分析选项即可得. 【详解】对A：的元素是有序对，，， 而的元素是有序对，，，故A错误； 对B：的元素是有序对，，，， 而的元素是有序对，，，，故B错误； 对C：若，则，， 若，则，若，则， 则，即， 即，故C错误； 对D：若，则，， 则且，则且， 即，故； 若，则且， 则，且，故，则； 故，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围. 【详解】当集合为时，，解得. 当集合不为，即时，有如下两种情况： 集合中的元素都比集合中元素小，，结合解得； 集合中的元素都比集合中元素大，，结合解得. 综上所述，的取值范围为或. 故答案为. 【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析. 13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合. 要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人. 故答案为：9. 14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 【答案】15. ； 16. 证明如下： 由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可； （2）利用分析法，分解因式证明即可. 【15题详解】 易知， 因为，所以，则上式大于0， 故 【16题详解】 略 16. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. （1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元. 【解析】 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，， 则，解得， 所以. 因为每件产品的销售价格为元， 所以2025年该产品的利润 , 即. 【小问2详解】 因为当时，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元. 17. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得； （2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的，进而可得的取值范围. 【小问1详解】 由不等式得，即， 由于其解集是， 所以，是一元二次不等式的两个实数根， 所以，解得； 【小问2详解】 由得，所以， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，满足题意； 当时，，所以，所以； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】（1） （2） ， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【小问1详解】 因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2025年高一上期数学单元检测卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 8. 设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数的取值范围为__________． 13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 16. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. （1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $