专题01二次函数的图像与性质（期中复习讲义）九年级数学上学期浙教版

专题01 二次函数的图像与性质（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 掌握二次函数的定义； 学会识别二次函数（判断a是否不为 0）。 基础题，选择 / 填空为主，难度低，易因忽略 “a≠0” 条件出错。 二次函数的性质 掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值与a、b、c的关联； 学会根据性质分析函数变化趋势。 高频基础题，选择 / 填空 / 解答题小问，常结合图像考，易错点是增减性判断（需分对称轴两侧）。 二次函数图像的绘制 掌握 “列表、描点、连线” 画二次函数图像的步骤； 学会找关键点点（顶点、与坐标轴交点）辅助绘图。 基础题，解答题为主，需规范步骤，易因描点不精准或连线不光滑出错。 二次函数表达式的转化 掌握一般式（y=ax²+bx+c）、顶点式（y=a(x-h)²+k）、交点式（y=a(x-x₁)(x-x₂)）的转化方法； 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，是求解析式、用性质的基础，易因配方出错（顶点式转化）。 二次函数与一次函数、反比例函数图像的判断 掌握三种函数图像的特征（二次函数是抛物线，一次函数是直线，反比例函数是双曲线）； 学会根据函数表达式或图像特征区分三类函数。 基础题，选择为主，常考 “给定表达式选图像” 或 “给定图像判函数类型”，易混淆图像特征（如抛物线开口方向与a的关系）。 待定系数法求二次函数解析式 掌握用一般式、顶点式、交点式求解析式的条件（如已知三点用一般式，已知顶点用顶点式）；学会根据已知条件选合适形式，列方程求解系数。 必考考点，解答题核心，占分比高，易因设错表达式形式或解方程计算失误出错。 二次函数的对称性 掌握二次函数关于对称轴对称的性质（对称点横坐标和为2h，纵坐标相等）； 学会利用对称性找对称点、求未知点坐标。 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，常结合图像考，易因对称轴计算错误（x=-b/(2a)）影响对称点判断。 二次函数与坐标轴的交点 掌握求与x轴（令y=0解一元二次方程）、y轴（令x=0求y=c）交点的方法； 学会根据判别式判断与x轴交点个数。 高频考点，选择 / 填空 / 解答题小问，是连接二次函数与方程的关键，易因解方程出错或忽略判别式应用。 二次函数图像的平移 掌握 “上加下减、左加右减” 的平移规律（针对顶点式y=a(x-h)²+k）； 学会根据平移方向和距离，写出平移后的函数表达式。 高频中档题，选择 / 填空为主，常考 “已知原表达式和平移方式求新表达式”，易混淆 “左加右减”（针对x的变化）。 二次函数图像的翻折 掌握关于x轴（y变号）、y轴（x变号）翻折的规律； 学会根据翻折规则，写出翻折后的函数表达式或画翻折后的图像。 中档题，填空 / 解答题小问，考频较低但易失分，易混淆翻折方向对应的表达式变化（如关于x轴翻折是y→-y，不是x→-x）。 二次函数函数值大小比较 掌握比较函数值的方法（代入求值、利用增减性、利用对称性）；学会根据自变量位置（对称轴两侧）选择合适方法比较。 高频中档题，选择 / 填空为主，常考 “给定两点横坐标，比较纵坐标大小”，易因忽略 “自变量到对称轴的距离”（开口向上时，距离越远值越大）出错。 二次函数的最值 掌握求最值的方法（顶点式直接读k， 学会结合自变量取值范围求实际最值（如限定x在某区间内的最值）。 必考考点，解答题为主（尤其应用题），易因忽略自变量取值范围（如实际问题中x为正数）导致最值计算错误。 二次函数与方程的关系 掌握二次函数与一元二次方程的联系（与x轴交点横坐标是方程的解，判别式对应交点个数）；学会利用函数图像分析方程解的情况。 高频难点题，解答题为主，是综合题核心，易因混淆 “函数值为 0” 与 “方程解” 的关系出错。 二次函数与不等式的关系 掌握利用二次函数图像解不等式（如ax²+bx+c>0对应图像在x轴上方的x范围） 学会结合图像与x轴交点，确定不等式的解集。 难点题，填空 / 解答题压轴，常考 “给定图像写不等式解集” 或 “给定不等式判图像位置”，易因开口方向判断错误导致解集方向出错。 二次函数的图像与系数的关系 掌握a（开口方向、开口大小）、b（与对称轴x=-b/(2a)关联）、c（与y轴交点）、b²-4ac（与x轴交点个数）的关系； 学会根据图像特征判断a、b、c的符号及代数式的值（如a+b+c对应x=1时的函数值）。 高频难点题，选择压轴为主，常考 “给定图像判断关于a、b、c的结论正误”，易因忽略a、b的符号关联（对称轴位置）出错。 知识点01 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 知识点02 二次函数的结构特征： 1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 知识点03 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点04 二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点05 二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 知识点06 二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 知识点07 二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 知识点08 二次函数图像与各系数之间关系 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 知识点09 二次函数与方程不等式关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 题型一 二次函数的定义 关｜键｜要｜点 1.本质特征：自变量的最高次数是 2，且二次项系数 a≠0（若 a=0，函数退化为一次函数 y = bx + c）； 2.自变量取值范围：一般为全体实数（实际问题中需结合场景限制，如边长、时间等需为正数）； 【典例1】二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 【变式1】下列各式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是的二次函数，不符合题意； B、中含分式，不是整式函数，不满足二次函数的定义，不符合题意； C、符合二次函数的一般式，所以是二次函数，符合题意； D、中有根号，不是整式函数，不满足二次函数的定义，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】下列函数表达式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次函数的定义，形如的函数是二次函数，据此即可解答． 【详解】解：A：y是x的二次函数； B：，y是x的一次函数； C：，x的次数是，y不是x的二次函数； D：若，则，y不是x的二次函数； 故选：A． 【变式4】若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5】已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 题型二 二次函数的性质 解｜题｜技｜巧 1.开口方向： 若 a > 0，抛物线开口向上； 若 a < 0，抛物线开口向下； 规律：|a | 越大，开口越窄；|a | 越小，开口越宽。 2.对称轴： 直线 x =（垂直于 x 轴，且经过顶点）。 3顶点坐标： （，）（可通过配方法将一般式转化为顶点式推导）。 4增减性： 当 a > 0 时： 对称轴左侧（x <），y 随 x 的增大而减小； 对称轴右侧（x > ），y 随 x 的增大而增大； 当 a < 0 时： 对称轴左侧（x <），y 随 x 的增大而增大； 对称轴右侧（x > ），y 随 x 的增大而减小。 5最值： 若 a > 0，当 x = 时，y 有最小值； 若 a <0，当 x = 时，y 有最大值。 【典例1】对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 【变式1】已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 【变式2】对于的图象，下列叙述正确的是（  ） A．当时，随的增大而增大 B．顶点坐标 C．当时，随的增大而减小 D．对称轴为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线，再结合各个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线， A、当时，随的增大而增大，此选项符合题意； B、顶点坐标，此选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，此选项不符合题意； D、对称轴是直线，此选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 题型三 二次函数图像的绘制 【典例1】已知抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，求解A，B两点坐标是解题的关键． （1）先根据y与x的关系式列表，再在坐标系中标点后连线即可画出图象； （2）由列表可知A，B两点坐标，即可求解的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 5 0 图象如图所示： （2）解：由抛物线的图象可知，顶点坐标为， 在中， 当时，， 解得，， ∵A在B的右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【变式1】已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后画出函数图象找出自变量x的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法． （1）根据二次函数顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标； （2）确定顶点、与坐标轴交点，再利用描点法画出函数图象即可； （3）根据（2）中函数图像变化趋势写出答案即可． 【详解】（1）因为二次函数， 所以对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：；． （2）当时，， 解得或， 则二次函数与轴的交点坐标为， 当时，， 则二次函数与y轴交点为， 所以作图如下： （3）由（2）知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：． 【变式2】已知二次函数， (1)对称轴是__________； (2)在平面直角坐标系里画出它的图象． (3)当时，函数的取值范围是__________． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； （2）解：列表如下： … 0 1 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 当时， ∵， ∴当时，． 【变式3】已知二次函数． (1)用配方法化为的形式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象，求当时，的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式，画出二次函数的图象以及最值的问题． （1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象； （3）由图象判断时抛物线的增减性，进而可求的取值范围． 【详解】（1）解：， 即； （2）解：二次函数图象的顶点坐标为， 令， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， 抛物线与y轴的交点坐标为， 点关于对称轴的对称点为， 抛物线经过点，，，，， 图象如图所示： （3）解：由图象可得，当时，随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：． 题型四 二次函数表达式的转化 【典例1】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 【答案】D 【分析】根据完全平方公式把（x+3）2计算出来,再合并同类项即可. 【详解】解: y=-（x+3）2+11， =-(x ²+6x+9)+11， =-x ²-6x-9+11， =-x ²-6x+2， 故选:D. 【点睛】本题考查了二次函数的形式．二次函数的解析式的三种形式是： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）． 【变式1】若将二次函数配方为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的一般式化为顶点式．根据二次函数由一般式化为顶点式的方法可进行求解． 【详解】解：将二次函数配方成的形式，则有： ； 故答案为：． 【变式2】用配方法把二次函数化成的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，直接利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型五 二次函数与一次函数、反比例函数图像的判断 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式1】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 【变式2】如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数综合，函数图像和不等式的关系，首先根据题意得到抛物线与双曲线的交点的横坐标是，结合图像求解即可． 【详解】解：∵双曲线和双曲线关于y轴对称，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1， ∴抛物线与双曲线的交点的横坐标是，如图所示， ∴由图象可得，当时，抛物线的图像在双曲线的图像下面 ∴当时， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：D． 【变式3】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 题型六 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 【变式1】已知抛物线经过点，． (1)求和的值； (2)判断点是否在此抛物线上，并说明理由； 【答案】(1)，； (2)点不在这条抛物线上，理由见解析． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、判断点是否在抛物线上． 把点代入抛物线的解析式，求出，可知抛物线的解析式为，把点代入抛物线的解析式，即可求出的值； 当时，可以求出对应的纵坐标是，可以判断点不在这条抛物线上． 【详解】（1）解：把点代入抛物线的解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 把点代入抛物线的解析式， 可得：， 的值是，的值是； （2）解：当时， ， 点不在这条抛物线上． 【变式2】已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法进行求二次函数的解析式，二次函数的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求二次函数的解析式，即可作答． （2）先把二次函数的解析式化为顶点式，，得根据二次函数图象平移规律 “左加右减，上加下减”，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，把点，分别代入中， 得到方程组， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则 ∵该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位． ∴． 题型七 二次函数的对称性 关｜键｜应｜用 1.对称点坐标规律： 若抛物线上一点为 (x₀, y₀)，则其关于对称轴 x = h 的对称点坐标为 (2h - x₀, y₀)（横坐标之和为 2h，纵坐标相等）。 2.函数值相等的点： 若 y₁ = y₂（y₁、y₂为两个不同 x 对应的函数值），则对应的 x₁、x₂关于对称轴对称，即 (x₁ + x₂)/2 = h。 3.应用场景： 求抛物线上的对称点、补全图像、简化计算（如已知一点坐标，可快速求对称点，无需重复代入解析式）。 【典例1】二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 【详解】解：根据题意，得是对称点， 抛物线的对称轴为直线， 故选：． 【变式1】二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　） x … 1 3 5 … y … 7 0 7 … A．0 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据推出二次函数的对称轴，再结合轴对称性质求出其函数值即可． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，， 二次函数的对称轴为直线， ，， 与的函数值相同， 那么时，对应的函数值y为0， 故选：A． 【变式2】已知一元二次方程的两根为和3，则二次函数图像对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系． 根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为和3， ∴二次函数图像与x轴的交点为和， 由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为， 故答案为：． 【变式3】若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数性质，根据二次函数性质得到关于二次函数的对称轴对称，进而推出，将其代入二次函数求解，即可解题． 【详解】解： ，， 关于二次函数的对称轴对称， ， ， 故答案为：． 题型八 二次函数与坐标轴的交点 解｜题｜技｜巧 1. 与 y 轴的交点 求法：令 x=0，代入解析式得 y = c，交点坐标为 (0, c)； 意义：反映函数在自变量为 0 时的初始值（如实际问题中的 “初始高度”“初始利润”）。 2. 与 x 轴的交点 求法：令 y=0，解方程 ax² + bx + c = 0： ① 若方程有两个实根 x₁、x₂（Δ > 0），则交点为 (x₁, 0)、(x₂, 0)； ② 若方程有一个实根（Δ = 0），则抛物线与 x 轴相切，交点为顶点（-b/(2a)，0）； ③ 若方程无实根（Δ < 0），则抛物线与 x 轴无交点； 意义：反映函数值为 0 时的自变量取值（如实际问题中的 “落地时间”“盈亏平衡点”）。 3. 判别式 Δ 的作用 Δ = b² - 4ac，用于判断与 x 轴交点个数： Δ > 0：2 个交点； Δ = 0：1 个交点； Δ < 0：0 个交点。 【典例1】如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：将y＝0代入， 得：， 解得：，， 抛物线与轴交于点、， ，， 抛物线向左平移4个单位长度， ∵， 平移后解析式， 如图， 当直线过点，有2个交点， ， 解得：， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， 整理得：， 相切， ， 解得：， 若直线与、共有3个不同的交点， ， 故选：A． 【变式1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式2】抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3， 故选：D． 【变式3】若抛物线的图象与抛物线的图象关于轴对称，则函数与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于y轴对称的抛物线，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特点，是解题的关键， 可直接利用关于y轴对称的点的坐标特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变求出函数解析式，即可求出与y轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的图象与抛物线的图象关于y轴对称， ∴函数的解析式为：, 令，得， 即函数与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式4】已知二次函数． (1)求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； (2)若该二次函数图象的对称轴为直线，求它与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 题型九 二次函数图像的平移 【典例1】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的根据．根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，即． 故选：B． 【变式1】若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，第一象限内点的坐标特征． 根据平移规律可得平移后的抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征，列不等式组，求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为， 平移后的顶点坐标为， 根据题意可得， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 【变式2】已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 【变式3】若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移规则：上加下减，左加右减；根据平移规则求得h与k的值，即可求解． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【变式4】已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质． （1）把代入二次函数解析式，解方程即可． （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：． （2）， 将该二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为， ， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 故答案为：． 题型十 二次函数图像的翻折 解｜题｜技｜巧 1. 沿 x 轴翻折 规律：原图像上任意一点 (x, y) 翻折后变为 (x, -y)，解析式中 y 替换为 - y； 示例：原抛物线 y = ax² + bx + c → 翻折后：-y = ax² + bx + c → y = -ax² - bx - c（a、b、c 均变号）。 2. 沿 y 轴翻折 规律：原图像上任意一点 (x, y) 翻折后变为 (-x, y)，解析式中 x 替换为 - x； 示例：原抛物线 y = a (x - h)² + k → 翻折后：y = a (-x - h)² + k = a (x + h)² + k（顶点横坐标 h 变号，a、k 不变）。 3. 沿对称轴翻折 规律：抛物线本身关于对称轴对称，翻折后图像与原图像重合，解析式不变（可用于验证对称性）。 【典例1】如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用．把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故选：A． 【变式1】将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 【变式2】如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，结合题意，逐项判断即可求解． 【详解】解： 由图象可知，抛物线的对称轴为， 所以，得到，故①正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为， 所以， 又因为， 所以，故②正确； 因为， 所以，故③错误； 当时，， 将图象向上平移2个单位后，此点为， 所以抛物线与直线有4个交点，故④正确； 综上，①②④正确． 故选：C． 【变式3】如图，将抛物线中x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一个新图像，则新图像与直线的交点个数为4时，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查图像法求不等式的解集，利用图像法进行求解即可。 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴其翻折后的对应点为， 如图： 当时，新图像与直线的交点个数为3， 当时，新图像与直线的交点个数为2， 当时，新图像与直线的交点个数为4； 故答案为： 【变式4】将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 题型十一 二次函数函数值大小比较 【典例1】抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．利用二次函数的性质，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 离对称轴越远的点，函数值越小． 又， ， ． 故选：C． 【变式1】已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像和性质． 先根据函数解析式得出开口方向及对称轴，进而得出图像的增减性，求出关于对称轴的对称点，再比较各点的横坐标即可． 【详解】解： 的对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，函数值随x的增大而增大，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小， 关于对称轴的对称点为，， ， 故答案为：． 【变式2】已知函数，记当，，时对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．先求得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的增减性求解即可． 【详解】解：函数的图象的对称轴是直线， ，，， ， 二次函数的二次项系数， ． 故答案为：． 【变式3】已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 题型十二 二次函数的最值 【典例1】二次函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数函数值的最值问题，首先结合对称轴和开口方向判断二次函数的增减性，再结合给定的自变量的范围，判断最小值的位置． 【详解】解：二次函数， 其二次项系数， 二次函数开口向上，对称轴， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 自变量的范围， 在时，取最小值． 故答案为：． 【变式1】二次函数在的范围内有最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出二次函数图像的对称轴为直线，对称轴在的范围内，利用二次函数的增减性求得最小值即可． 【详解】解：， 则二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， 在时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 在时，y随x的增大而减小， ∴当时，， ， 故在范围内最小值为． 故答案为：． 【变式2】已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据解析式可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，可得当时，函数值最小，当时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而可得的取值范围． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型十三 二次函数与二次方程的关系 【典例1】已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数的性质； （1）设顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，当时，二次函数有最大值，即可得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为． ∴设二次函数的表达式为． 将代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵，抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值， ∵， ∴当时，二次函数有最大值， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【变式1】已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)，拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； (2)最小值为0，最大值为32 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键； （1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）当时，函数在原点取得最小值，在取得最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数为； 把点代入中，得：； ∵二次函数为， ∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； （2）解：当时， 函数在原点取得最小值，即最小值为0； 函数在取得最大值，最大值为． 【变式2】已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∵函数的对称轴为直线， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式3】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令，由二次函数的图像与轴的交点横坐标是对应方程的解，判断当时，的图像与轴有一个交点，即可求解． 【详解】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 【变式4】已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可得，设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，根据增减性可推导出当时，x的值一个小于，一个大于，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小， ∴在中，当时，x的值一个小于，一个大于，即， 故选：B． 【变式5】已知方程 (1)若，求此方程的根； (2)设，是此方程的两个不相等的实根，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系、解一元二次不等式，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将代入方程中，利用因式分解法进行求解； （2）将转化为，再利用根与系数的关系进行求解，同时根据有两个不等实数根，求出相应的范围，再取共同部分． 【详解】（1）解：若，则， ， 解得：； （2）解：，则， ， ，是此方程的两个不相等的实根， ， ， 令， ，函数图象开口向上， 当， ， 解得：，， 如上图：解得：， 又， 即：， 同理解得：或， 综上：或． 题型十四 二次函数与不等式的的关系 【典例1】对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，抛物线的图象性质，二次函数与不等式的关系，掌握抛物线与x轴无交点或只有唯一交点，则是解题的关键． 由于，所以不等式恒成立的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：， 函数的图象开口向上， 不等式恒成立的条件是， ． 解得． 故选：A． 【变式1】二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式2】如图，二次函数的图象经过点． (1)的值为___________． (2)点在该二次函数的图象上，则的值为___________． (3)请根据图象，求不等式的解集． 【答案】(1)2 (2)11 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可； （3）把代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入二次函数得：， 解得：； 故答案为2； （2）解：由（1）可知：二次函数解析式为， ∴当时，则有，即； 故答案为11； （3）解：令时，则有， 解得：， ∴当时，则x的取值范围为． 【变式3】已知二次函数 (1)求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． (2)根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 【答案】(1) 函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，； (2) 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数图像与坐标轴的交点，二次函数与不等式． （1）先将化成顶点式，从而确定顶点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标； （2）根据图像，即可得当时，的取值范围；根据图像，即可得当时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴函数图像与轴交于点， 当时，， 解得，， ∴函数图像与轴交于点，， ∴函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，． （2）解：二次函数的图像： 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 题型十五 二次函数的图像与系数的关系 【典例1】如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 【变式1】已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥若，是抛物线上两点，则其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质是解题的关键． ①由开口方向得的符号，对称轴公式得与的关系，轴交点得的符号，进而判断的符号．②先根据对称轴和已知交点求出另一交点，再代入判断函数值符号．③分别代入和得到函数值符号，再利用平方差公式变形判断．④由对称轴公式推出与的关系，进而判断是否为．⑤结合和抛物线过，求出与的关系，再代入计算． ⑥求出两点到对称轴的距离，根据抛物线开口向下，距离对称轴越近函数值越大，判断与的大小． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故②错误； 当时，， 当时，， ∴，即，，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵，抛物线过点， ∴，即，， ∴，故⑤正确； ∵对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，， ∴，故⑥正确． 故选：C． 【变式2】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 【变式3】已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定当和时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①③④． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数．牢记“二次项系数不为0，未知数最高次为2”是解题关键． 【详解】A、因为未知数最高次为1，是一次函数，故A不符合题意； B、因为未知数最高次为1，是一次函数，故B不符合题意； C、因为未知数最高次为2，二次项系数不为0，是二次函数，故C符合题意； D、因为是分式，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 4．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线顶点坐标．根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案．抛物线顶点式顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 仔细看表，可发现的值和最接近0，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当取1.4与1.5之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故的一个解的取值范围为． 故选：C． 6．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)函数的开口方向、对称轴． 【答案】(1)yx (2)函数开口向上，对称轴 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴函数的表达式为：； （2）解：∵，， ∴函数开口向上，对称轴为：直线． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了抛物线和x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，把时，；当时，代入，求得a、c的值即可求得； （2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程求得C点的坐标即可． 【详解】（1）解：把时，；当时，代入， 得，解得， ∴二次函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得，， ∵在的左边， ∴，， 令，则， ∴． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）下表给出了一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，求的面积 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）直接利用待定系数法解题即可； （2）先找到三点，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知函数图象过与， ∴可设二次函数表达式为：， 又函数过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为：． （2）解：由表格可知与x轴的交点为：与， 二次函数表达式变形为：； ∴顶点坐标为：， ∴的面积为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于的图象下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为：直线 C．当时，随增大而减小 D．函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∵ 该函数的顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴当时，随的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、∵，， ∴函数的最大值为，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）若时，函数的最大值为17，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质,函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，当时，又因为时函数的最大值为，求解即可． 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵时，函数的最大值为， ∴．   故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 【答案】和2 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线， 又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3， ∴方程的另一个根为， ∵关于x的方程有两个整数根， ∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间， ∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2， 故答案为：和2． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是掌握分类讨论思想，能够求出时的最小值； 先求出二次函数图象的对称轴，再分和两种情况，分别求出的最小值，令最小值大于0即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：． 当时，抛物线开口向下， ∵，， ∴时，取最小值，最小值为：， ∵图象在轴上方， ∴， ∴解得：， ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵，对称轴为：， ∴时，取最小值，最小值为， ∵图象在轴上方， ∴， 解得：， ∴， 综上可知：的取值范围为或， 故答案为：或． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 6．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）在矩形中，，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t（s），的面积为S（cm2） (1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围． (2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，再根据解答即可； （2）先求出，，，再分①当为直角时，②当为直角时，③当为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t的值，即可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 根据题意得 ， 解得：； （2）由勾股定理可得， ， ， ， ①当为直角时，， 即 解得， ； ②当为直角时，， 即， 解得或， ， 都不符合； ③当为直角时，， 即， 解得（舍）或， ． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到． 7．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线与直线． (1)求证：两个函数图象必有交点； (2)当抛物线的顶点落在直线上时，求a的值； (3)，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的综合题型，掌握联立方程判断函数图象的交点情况、二次函数图象的顶点坐标和二次函数的图象及性质是解决此题的关键． （1）将解析式联立方程组，即可得到关于x的一元二次方程，再求出的符号即可证出结论； （2）根据对称轴公式求出抛物线顶点坐标的横坐标，然后代入一次函数的解析式中即可求出顶点坐标的纵坐标，再把顶点坐标代入二次函数解析式中即可得出结论； （3）分别求出当和当时，的值，根据求出的取值范围，再考虑去等号时是否符合题意即可． 【详解】（1）证明：联立 整理，得 ∴有实根 ∴两个函数图象必有交点； （2）解：抛物线的顶点坐标的横坐标为 ∵抛物线的顶点落在直线上 把代入中，解得： ∴抛物线的顶点坐标为 将代入中，得 解得：； （3）解：当时，； 当时， ∵， ∴ 解得： 当时，易知抛物线与一次函数的交点为 此时也满足当时，； ∴． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点，． ∴点在对称轴左侧， ∵对于任意的，都有成立， ∴存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图2，当时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解:当x=0时，y=5， ∴C（0,5）； 设新抛物线上的点的坐标为（x,y）， ∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称， 由，； ∴对应的原抛物线上点的坐标为； 代入原抛物线解析式可得：， ∴新抛物线的解析式为：； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等． 2．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 5．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 6．（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 8．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②当时， (2) 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图像与性质（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 掌握二次函数的定义； 学会识别二次函数（判断a是否不为 0）。 基础题，选择 / 填空为主，难度低，易因忽略 “a≠0” 条件出错。 二次函数的性质 掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值与a、b、c的关联； 学会根据性质分析函数变化趋势。 高频基础题，选择 / 填空 / 解答题小问，常结合图像考，易错点是增减性判断（需分对称轴两侧）。 二次函数图像的绘制 掌握 “列表、描点、连线” 画二次函数图像的步骤； 学会找关键点点（顶点、与坐标轴交点）辅助绘图。 基础题，解答题为主，需规范步骤，易因描点不精准或连线不光滑出错。 二次函数表达式的转化 掌握一般式（y=ax²+bx+c）、顶点式（y=a(x-h)²+k）、交点式（y=a(x-x₁)(x-x₂)）的转化方法； 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，是求解析式、用性质的基础，易因配方出错（顶点式转化）。 二次函数与一次函数、反比例函数图像的判断 掌握三种函数图像的特征（二次函数是抛物线，一次函数是直线，反比例函数是双曲线）； 学会根据函数表达式或图像特征区分三类函数。 基础题，选择为主，常考 “给定表达式选图像” 或 “给定图像判函数类型”，易混淆图像特征（如抛物线开口方向与a的关系）。 待定系数法求二次函数解析式 掌握用一般式、顶点式、交点式求解析式的条件（如已知三点用一般式，已知顶点用顶点式）；学会根据已知条件选合适形式，列方程求解系数。 必考考点，解答题核心，占分比高，易因设错表达式形式或解方程计算失误出错。 二次函数的对称性 掌握二次函数关于对称轴对称的性质（对称点横坐标和为2h，纵坐标相等）； 学会利用对称性找对称点、求未知点坐标。 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，常结合图像考，易因对称轴计算错误（x=-b/(2a)）影响对称点判断。 二次函数与坐标轴的交点 掌握求与x轴（令y=0解一元二次方程）、y轴（令x=0求y=c）交点的方法； 学会根据判别式判断与x轴交点个数。 高频考点，选择 / 填空 / 解答题小问，是连接二次函数与方程的关键，易因解方程出错或忽略判别式应用。 二次函数图像的平移 掌握 “上加下减、左加右减” 的平移规律（针对顶点式y=a(x-h)²+k）； 学会根据平移方向和距离，写出平移后的函数表达式。 高频中档题，选择 / 填空为主，常考 “已知原表达式和平移方式求新表达式”，易混淆 “左加右减”（针对x的变化）。 二次函数图像的翻折 掌握关于x轴（y变号）、y轴（x变号）翻折的规律； 学会根据翻折规则，写出翻折后的函数表达式或画翻折后的图像。 中档题，填空 / 解答题小问，考频较低但易失分，易混淆翻折方向对应的表达式变化（如关于x轴翻折是y→-y，不是x→-x）。 二次函数函数值大小比较 掌握比较函数值的方法（代入求值、利用增减性、利用对称性）；学会根据自变量位置（对称轴两侧）选择合适方法比较。 高频中档题，选择 / 填空为主，常考 “给定两点横坐标，比较纵坐标大小”，易因忽略 “自变量到对称轴的距离”（开口向上时，距离越远值越大）出错。 二次函数的最值 掌握求最值的方法（顶点式直接读k， 学会结合自变量取值范围求实际最值（如限定x在某区间内的最值）。 必考考点，解答题为主（尤其应用题），易因忽略自变量取值范围（如实际问题中x为正数）导致最值计算错误。 二次函数与方程的关系 掌握二次函数与一元二次方程的联系（与x轴交点横坐标是方程的解，判别式对应交点个数）；学会利用函数图像分析方程解的情况。 高频难点题，解答题为主，是综合题核心，易因混淆 “函数值为 0” 与 “方程解” 的关系出错。 二次函数与不等式的关系 掌握利用二次函数图像解不等式（如ax²+bx+c>0对应图像在x轴上方的x范围） 学会结合图像与x轴交点，确定不等式的解集。 难点题，填空 / 解答题压轴，常考 “给定图像写不等式解集” 或 “给定不等式判图像位置”，易因开口方向判断错误导致解集方向出错。 二次函数的图像与系数的关系 掌握a（开口方向、开口大小）、b（与对称轴x=-b/(2a)关联）、c（与y轴交点）、b²-4ac（与x轴交点个数）的关系； 学会根据图像特征判断a、b、c的符号及代数式的值（如a+b+c对应x=1时的函数值）。 高频难点题，选择压轴为主，常考 “给定图像判断关于a、b、c的结论正误”，易因忽略a、b的符号关联（对称轴位置）出错。 知识点01 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 知识点02 二次函数的结构特征： 1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 知识点03 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点04 二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点05 二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 知识点06 二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 知识点07 二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 知识点08 二次函数图像与各系数之间关系 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 知识点09 二次函数与方程不等式关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 2.二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 题型一 二次函数的定义 关｜键｜要｜点 1.本质特征：自变量的最高次数是 2，且二次项系数 a≠0（若 a=0，函数退化为一次函数 y = bx + c）； 2.自变量取值范围：一般为全体实数（实际问题中需结合场景限制，如边长、时间等需为正数）； 【典例1】二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【变式1】下列各式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数表达式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5】已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 题型二 二次函数的性质 解｜题｜技｜巧 1.开口方向： 若 a > 0，抛物线开口向上； 若 a < 0，抛物线开口向下； 规律：|a | 越大，开口越窄；|a | 越小，开口越宽。 2.对称轴： 直线 x =（垂直于 x 轴，且经过顶点）。 3顶点坐标： （，）（可通过配方法将一般式转化为顶点式推导）。 4增减性： 当 a > 0 时： 对称轴左侧（x <），y 随 x 的增大而减小； 对称轴右侧（x > ），y 随 x 的增大而增大； 当 a < 0 时： 对称轴左侧（x <），y 随 x 的增大而增大； 对称轴右侧（x > ），y 随 x 的增大而减小。 5最值： 若 a > 0，当 x = 时，y 有最小值； 若 a <0，当 x = 时，y 有最大值。 【典例1】对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 【变式1】已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【变式2】对于的图象，下列叙述正确的是（  ） A．当时，随的增大而增大 B．顶点坐标 C．当时，随的增大而减小 D．对称轴为 【变式3】关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 题型三 二次函数图像的绘制 【典例1】已知抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 【变式1】已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 【变式2】已知二次函数， (1)对称轴是__________； (2)在平面直角坐标系里画出它的图象． (3)当时，函数的取值范围是__________． 【变式3】已知二次函数． (1)用配方法化为的形式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象，求当时，的取值范围为_____． 题型四 二次函数表达式的转化 【典例1】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 【变式1】若将二次函数配方为的形式，则 ． 【变式2】用配方法把二次函数化成的形式 ． 题型五 二次函数与一次函数、反比例函数图像的判断 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【变式3】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型六 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【变式1】已知抛物线经过点，． (1)求和的值； (2)判断点是否在此抛物线上，并说明理由； 【变式2】已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式． 题型七 二次函数的对称性 关｜键｜应｜用 1.对称点坐标规律： 若抛物线上一点为 (x₀, y₀)，则其关于对称轴 x = h 的对称点坐标为 (2h - x₀, y₀)（横坐标之和为 2h，纵坐标相等）。 2.函数值相等的点： 若 y₁ = y₂（y₁、y₂为两个不同 x 对应的函数值），则对应的 x₁、x₂关于对称轴对称，即 (x₁ + x₂)/2 = h。 3.应用场景： 求抛物线上的对称点、补全图像、简化计算（如已知一点坐标，可快速求对称点，无需重复代入解析式）。 【典例1】二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【变式1】二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　） x … 1 3 5 … y … 7 0 7 … A．0 B．3 C． D．5 【变式2】已知一元二次方程的两根为和3，则二次函数图像对称轴是直线 ． 【变式3】若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 题型八 二次函数与坐标轴的交点 解｜题｜技｜巧 1. 与 y 轴的交点 求法：令 x=0，代入解析式得 y = c，交点坐标为 (0, c)； 意义：反映函数在自变量为 0 时的初始值（如实际问题中的 “初始高度”“初始利润”）。 2. 与 x 轴的交点 求法：令 y=0，解方程 ax² + bx + c = 0： ① 若方程有两个实根 x₁、x₂（Δ > 0），则交点为 (x₁, 0)、(x₂, 0)； ② 若方程有一个实根（Δ = 0），则抛物线与 x 轴相切，交点为顶点（-b/(2a)，0）； ③ 若方程无实根（Δ < 0），则抛物线与 x 轴无交点； 意义：反映函数值为 0 时的自变量取值（如实际问题中的 “落地时间”“盈亏平衡点”）。 3. 判别式 Δ 的作用 Δ = b² - 4ac，用于判断与 x 轴交点个数： Δ > 0：2 个交点； Δ = 0：1 个交点； Δ < 0：0 个交点。 【典例1】如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】若抛物线的图象与抛物线的图象关于轴对称，则函数与轴的交点坐标为 ． 【变式4】已知二次函数． (1)求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； (2)若该二次函数图象的对称轴为直线，求它与x轴的交点坐标． 题型九 二次函数图像的平移 【典例1】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【变式3】若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ． 【变式4】已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 题型十 二次函数图像的翻折 解｜题｜技｜巧 1. 沿 x 轴翻折 规律：原图像上任意一点 (x, y) 翻折后变为 (x, -y)，解析式中 y 替换为 - y； 示例：原抛物线 y = ax² + bx + c → 翻折后：-y = ax² + bx + c → y = -ax² - bx - c（a、b、c 均变号）。 2. 沿 y 轴翻折 规律：原图像上任意一点 (x, y) 翻折后变为 (-x, y)，解析式中 x 替换为 - x； 示例：原抛物线 y = a (x - h)² + k → 翻折后：y = a (-x - h)² + k = a (x + h)² + k（顶点横坐标 h 变号，a、k 不变）。 3. 沿对称轴翻折 规律：抛物线本身关于对称轴对称，翻折后图像与原图像重合，解析式不变（可用于验证对称性）。 【典例1】如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【变式2】如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③ 【变式3】如图，将抛物线中x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一个新图像，则新图像与直线的交点个数为4时，则m的取值范围是 . 【变式4】将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是 ． 题型十一 二次函数函数值大小比较 【典例1】抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ． 【变式2】已知函数，记当，，时对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为 ． 【变式3】已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 题型十二 二次函数的最值 【典例1】二次函数的最小值为 ． 【变式1】二次函数在的范围内有最小值 ． 【变式2】已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 题型十三 二次函数与二次方程的关系 【典例1】已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求y的取值范围． 【变式1】已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 【变式2】已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式4】已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知方程 (1)若，求此方程的根； (2)设，是此方程的两个不相等的实根，且，求a的取值范围． 题型十四 二次函数与不等式的的关系 【典例1】对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ． 【变式2】如图，二次函数的图象经过点． (1)的值为___________． (2)点在该二次函数的图象上，则的值为___________． (3)请根据图象，求不等式的解集． 【变式3】已知二次函数 (1)求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． (2)根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 题型十五 二次函数的图像与系数的关系 【典例1】如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥若，是抛物线上两点，则其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)函数的开口方向、对称轴． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）下表给出了一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，求的面积 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于的图象下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为：直线 C．当时，随增大而减小 D．函数的最小值是 2．（24-25九年级上·浙江·期中）若时，函数的最大值为17，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 6．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）在矩形中，，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t（s），的面积为S（cm2） (1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围． (2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积． 7．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线与直线． (1)求证：两个函数图象必有交点； (2)当抛物线的顶点落在直线上时，求a的值； (3)，当时，，求a的取值范围． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 5．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 7．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 8．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $