第1章 二次函数的图象与性质 讲义 2021-2022学年浙教版九年级数学上册
第一讲: 二次函数的图象与性质
一、知识梳理
1、二次函数的图象特征与性质
抛物线 (a≠0) | y=a(x-h)² (k=0) | y=a(x-h)²+k （顶点式） | y=ax² (b=0,c=0) | y=ax²+k b=0或h=0 | y=ax²+bx (c=0) | y=ax²+bx+c （一般式） |
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对称轴 | 直线x=h | y轴（或直线x=0） | 直线 | 直线 | ||||||||||||
顶点坐标 | （h，0） | （h，k） | （0，0） | （0，k） | ( |
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图 象 | 顶点特征 | 当a＞0时，开口向上，顶点在最低处；当a＜0时，开口向下，顶点在最高处。 |
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在x轴上 | 不确定 | 在原点 | 在y轴上 | 图象过原点 | 顶点不一定在坐标轴上 |
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与坐标轴交点 | △=b²-4ac＞0时，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于一点，与坐标轴交于三点或两点； △=b²-4ac=0时，二次函数的图象与x轴交于一点，与y轴交于一点，与坐标轴交于两点或一点； △=b²-4ac＜0时，二次函数的图象与x轴无交点，与y轴交于一点，与坐标轴只有一个交点。 | |||||||||||||||
函数值的 增减性 | 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。 当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。 | |||||||||||||||
最大值或 最小值
| 若a＞0，当x=h时， 若a＜0，当x=h时， | |||||||||||||||
2、二次函数图象的平移
左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记，上正下负错不了。
①当函数表达式为顶点式y=a(x-h)²+k (a≠0)时
移 动 方 向 | 平移前的解析式 | 平移后的解析式 | 简 记 |
向左平移m个单位（自变量加） |
y=a(x-h)²+k | y=a(x-h+m)²+k | 左加 |
向右平移m个单位（自变量减） | y=a(x-h-m)²+k | 右减 | |
向上平移n个单位（函数值加） | y=a(x-h)²+k+n | 上加 | |
向下平移n个单位（函数值减） | y=a(x-h)²+k-n | 下减 | |
左右平移m个单位、上下平移n个单位 | y=a(x-h±m)²+k±n | 左加右减，上加下减 |
②当函数表达式为一般式y=ax²+bx+c (a≠0)时
移 动 方 向 | 平移前的解析式 | 平移后的解析式 | 简 记 |
向左平移m个单位（自变量加） |
y=ax²+bx+c | y=a(x+m)²+b(x+m)+c | 左加 |
向右平移m个单位（自变量减） | y=a(x-m)²+b(x-m)+c | 右减 | |
向上平移n个单位（函数值加） | y=ax²+bx+c+n | 上加 | |
向下平移n个单位（函数值减） | y=ax²+bx+c-n | 下减 | |
左右平移m个单位、上下平移n个单位 | y=a(x±m)²+b(x±m)+c±n | 左加右减，上加下减 |
③当函数表达式为交点式y=a(x-
)(x-
) (a≠0)时
移 动 方 向 | 平移前的解析式 | 平移后的解析式 | 简 记 |
向左平移m个单位（自变量加） |
| y=a(x- | 左加 |
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y=a(x- |
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向右平移m个单位（自变量减） | y=a(x- | 右减 | |
向上平移n个单位（函数值加） | y=a(x- | 上加 | |
向下平移n个单位（函数值减） | y=a(x- | 下减 | |
左右平移m个单位、上下平移n个单位 | y=a(x- | 左加右减，上加下减 |
3、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与系数a、b、c间的关系
a决定抛物线的形状、开口大小和方向 | a＞0 | 抛物线开口向上 | |a| | |a|的值越大，开口越小；|a|的值越小，开口越大；两个函数的|a|相等，形状和大小相同 | |||||
a＜0 | 抛物线开口向下 | ||||||||
b决定抛物线对称轴的位置（在a确定的前提下）
a、b的符号法则： “左同右异” | a＞0 | b＞0 |
| 抛物线的对称轴在y轴的左侧 | a＜0 | b＞0 |
| 抛物线的对称轴在y轴的右侧 | |
b = 0 |
| 抛物线的对称轴就是y轴 | b = 0 |
| 抛物线的对称轴就是y轴 | ||||
b＜0 |
| 抛物线的对称轴在y轴的右侧 | b＜0 |
| 抛物线的对称轴在y轴的左侧 | ||||
c决定抛物线与y轴交点的位置 | c＞0 | 抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正 | |||||||
c = 0 | 抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线为y=ax²+bx | ||||||||
c＜0 | 抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 | ||||||||
4、二次函数图象的对称性
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。
原二次函数 | 关于x轴对称后 | 关于y轴对称后 | 关于原点对称后 |
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y=ax²+bx+c | y=-ax²-bx-c | y=ax²-bx+c | y=-ax²+bx-c | y=-ax²-bx+c- |
y=a(x-h)²+k | y=-a(x-h)²-k | y=a(x+h)²+k | y=-a(x+h)²-k | y=-a(x-h)²+k |
二、例题选讲
【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=ax²+bx+c B．
C．y=
x²+2x+5 D．y=(3x+2)(4x-3)-12x²
【例2】已知函数
为二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m=±1 B．m=1 C．m=-1 D．m≠0且m≠-1
【例3】抛物线y=（k＋1）x2＋k2－9开口向下，且经过原点，则k=
【例4】求满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数的图象经过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-3），与y轴的交点为（0，-5）；
（3）抛物线与x轴交于两点A（-1，0）、B（1，0），并经过点M(0，1)。
【例5】如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=kx²+bx-1的图像大致是（ ）
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A． B． C． D．
【例6】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为-1、3，则下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x=1
B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3
C．当x＜1，y随x的增大而增大
D．当-1＜x＜3时，y＜0
【例7】给出下列命题及函数：y=x，y=x2和y=
，①如果
，那么0＜a＜1；②如果
，那么
a＞1；③如果
，那么﹣1＜a＜0；④如果
时，那么a＜﹣1。则（ ）
A．正确的命题是①④
B．错误的命题是②③④[来源:
C．正确的命题是①②
D．错误的命题只有③
【例8】函数y=x²+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-2x-3,则b、c的值为（ ）
A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=2
【例9】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1。下列结论中：①abc＞0； ②2a+b=0； ③方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根； ④4a﹣2b+c=0； ⑤若点
A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例10】二次函数y=﹣x2+mx的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【例11】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）。
①若y1＞0时，则a+b+c＞0；
②若a=b时，则y1＜y2 ；
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0；
④若b=2a﹣1，c=a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限。
上述四个判断正确的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
【例12】已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值
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