专题01 二次函数图象及其性质 5大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题01 二次函数图象及其性质 5大高频考点概览 考点01 二次函数与表达式 考点02 二次函数的图象 考点03 二次函数的性质 考点04 二次函数与方程、不等式的关系及运用 考点05 二次函数字母参数的综合讨论 地 城 考点01 二次函数与表达式 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时， ． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的对称轴是 ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图像经过点、． (1)试确定此二次函数的表达式； (2)求顶点坐标及对称轴； (3)判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）我们约定：若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“智慧函数”，这个点为“智慧点”，例如：的图象上存在点，则是“智慧函数”，点是“智慧点”． (1)以下三个函数：①，②，③，属于“智慧函数”的是 （填序号）． (2)一个“智慧函数”（b，c均为常数），顶点恰好是“智慧点”，图象与x轴的两个交点之间的距离是2，求该“智慧函数”的表达式． 地 城 考点02 二次函数的图象 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列二次函数图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法： ①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线的顶点在x轴，则 ． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，①；②；③；④；⑤．正确的序号是 ． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为 ． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过两点． (1)求b和c的值． (2)当时，求y的取值范围． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）下表给出了一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，求的面积 15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，，直线与抛物线相交于A，B两点（B在A的右边）． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点A作x轴的平行线分别交y轴与抛物线于C，D，若A是线段的中点，求t的值． 16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线，若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)若有一直线与抛物线交于点，，且.若点在抛物线上且在直线下方，且点不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围． 17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 地 城 考点03 二次函数的性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C．当时，随的增大而增大 D．若点在抛物上，则 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（   ） A． B． C．1 D．3 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 … … 2 2 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③的值为；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（      ） A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，若，则的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知函数（是常数，），下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象过点 B．函数图象与轴必有两个交点 C．不论取何值，函数图象都经过点 D．若，则当时，随的增大而减小 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是 ． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知关于二次函数有最小值，则当时，的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）若二次函数有最小值为，最大值为5，则m的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)①当x取什么值时，？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 15．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）， (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． (3)已知，当时，该函数有最小值为，求c的值． 地 城 考点04 二次函数与方程、不等式的关系及运用 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于的方程的解是（   ） … 0 3 8 … … 2 2 … A．， B．， C． D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①； ②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的为（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．②⑤ 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 7．（24-25九年级上·浙江·期中）点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（    ） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另外一个根为 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为 ． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）抛物线经过，两点，则关于的不等式的解集为 ． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴交于点，与轴分别交于点，求的面积； (2)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)写出顶点坐标，对称轴； (2)直接写出当时，x的取值范围． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为，，求函数y的表达式及其图象的对称轴． (2)在（1）的条件下，若函数y的图象上有两点，且．求证：． (3)若函数y的表达式可以写成的形式，若，求的取值范围． 地 城 考点05 二次函数字母参数的综合讨论 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（   ） A． B．2 C． D．0 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，则a的值可能是（   ） A．1 B．0.5 C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线（a、b是常数，）为图中四个图象之一，则a的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．0 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）抛物线上取三点，其中 下列说法正确的是（  ） A．，则 B．， C．，则 D．，则 二、填空题 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在“探索函数的系数，，与图像的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为 ． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为 ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数：（k是实数）． (1)若，求抛物线与x轴的交点坐标． (2)抛物线与直线经过x轴上同一点，求k的值． (3)当时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围． 15．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数（为常数且）． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点． ①求的值． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 17．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）设二次函数（，是常数，），已知函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)若． ①求二次函数的表达式； ②自变量在时，有最大值，求的值． (2)求证：恒成立． 18．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数（a，b，c是常数，）． (1)当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． (2)当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 19．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在轴上，求的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数图象及其性质 5大高频考点概览 考点01 二次函数与表达式 考点02 二次函数的图象 考点03 二次函数的性质 考点04 二次函数与方程、不等式的关系及运用 考点05 二次函数字母参数的综合讨论 地 城 考点01 二次函数与表达式 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】解：A、当时，，故二次函数图象经过点，符合题意； B、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； C、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； D、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 根据二次函数顶点式为，解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义判断即可得解， 【详解】解：A．，圆的周长与半径之间是一次函数的关系； B．弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的，是一次函数关系； C． 正三角形的面积，正三角形的面积与边长之间是二次函数关系； D． ， 故匀速行驶的汽车，路程与时间之间是一次函数关系； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查过定点，且开口方向确定的二次函数的表达式的确定的知识，理解二次函数图像性质是本题解题关键． 根据二次函数的性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：设， 将代入， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解二次函数值，把代入解析式计算即可． 【详解】解：二次函数， 当时，， 故答案为： 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的对称轴为直线进行解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故答案为：直线 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质， 根据二次函数的顶点坐标为：求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象及性质等知识点， (1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，即可得到此二次函数的解析式； (2)把解析式化成顶点式即可得解； 熟练掌握其性质并能灵活将解析式化成顶点式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：将代入中得， ，解得， ； （2）解：， ∴此抛物线的顶点坐标为． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在抛物线上．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质． （1）设抛物线顶点式，将代入解析式求解． （2）将代入得，，由此判断即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， 设， 将代入得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）点不在抛物线上． 理由是： 将代入得，， 点不在抛物线上． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图像经过点、． (1)试确定此二次函数的表达式； (2)求顶点坐标及对称轴； (3)判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)点在这个二次函数的图像上，见解析 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数的性质，掌握利用待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题关键． （1）将、代入，求解即可； （2）将（1）所求一般式改为顶点式即可解答； （3）令，求出y的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：点在这个二次函数的图像上． 理由：∵当时，， ∴点在这个二次函数的图像上． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）我们约定：若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“智慧函数”，这个点为“智慧点”，例如：的图象上存在点，则是“智慧函数”，点是“智慧点”． (1)以下三个函数：①，②，③，属于“智慧函数”的是 （填序号）． (2)一个“智慧函数”（b，c均为常数），顶点恰好是“智慧点”，图象与x轴的两个交点之间的距离是2，求该“智慧函数”的表达式． 【答案】(1)② (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，二次函数的图象和性质，一元二次方程的根与系数关系． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可根据新定义进行解答即可； （2）求出顶点为．由顶点恰好是“智慧点”得到．设图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，令．则．由图象与x轴的两个交点之间的距离是2得到．解得．．即可得答案． 【详解】（1）解：由题意，根据“智慧点”的定义，将分别与①②③的关系式建立方程组、、， ∴三个方程组的解分别为无解；、；无解． ∴属于“智慧函数”的是②． 故答案为：②． （2）“智慧函数”为， ∴对称轴是直线． ∴顶点为． ∵顶点恰好是“智慧点”， ∴． 设图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2， ∴令． ∴． 又∵图象与x轴的两个交点之间的距离是2， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴该“智慧函数”的表达式为． 地 城 考点02 二次函数的图象 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列二次函数图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】A、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； B、将代入可得，故经过原点，符合题意； C、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； D、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再根据每个选项的平移情况得出对应的解析式，再把代入进行计算求解即可． 【详解】解：依题意，， A、向上平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； B、向右平移个单位，得， 把代入得，不经过原点，故该选项符合题意； C、向左平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； D、向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 综上可知：，，， 故选：． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法： ①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴为得到，可判断①和②；根据图象过点，利用二次函数的对称性可得图象也过点，可判断③；由二次函数图象可得，当时，随的增大而增大，结合关于直线的对称点为，得到也是抛物线上的点，比较大小可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为， ， ， ，，故①正确，②错误； 图象过点，对称轴为， 由二次函数的对称性得，图象也过点， 代入，得，，故③正确； 由图象可知，当时，随的增大而增大， 又关于直线的对称点为， 也是抛物线上的点， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④，正确的个数是3． 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线的顶点在x轴，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点坐标的公式是解此题的关键． 根据抛物线的顶点在x轴上，得出，代入求出即可． 【详解】∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0， ∴， 解得：． 故答案为：9． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称轴，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，如图，设，则，所以，然后利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积，从而得到直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积． 【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积， 设，则， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20． 故答案为：20． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，①；②；③；④；⑤．正确的序号是 ． 【答案】 【分析】由抛物线开口向上可得，由对称轴为直线可得，由抛物线与y轴交点在原点下方可得，据此即可判断结论①；由抛物线与x轴有两个交点可知一元二次方程有两个不相等的实数根，于是可得，据此即可判断结论②；由图象可知，当时，据此即可判断结论③；由图可知，当时，即，根据对称轴在和之间可得，，再结合即可判断结论④；根据，可得，再结合即可判断结论⑤． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴a与b同号，， ∵抛物线与y轴交点在原点下方， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即：，故结论②正确； ∵当时，， ∴， 故结论③错误； 由图可知，当时，， 即：， ∵对称轴在和之间，即：，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论④正确； ∵，， ∴， ， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上所述，正确的序号为：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和三角形的面积综合题，作轴于点D，求出，将点A的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点B、C的坐标，求出、的长，即可得出答案． 【详解】解：作轴于点D，如下图． ， ． ． 点坐标为， ，． ． 点坐标为． 轴于点， 点横坐标为1． 抛物线与直线交于点，点坐标为， ，解得． 则． 当时，，即点坐标为． ． 轴于点， 轴于点． ． 是的高． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的性质，等边三角形性质，用含，的代数式表示出，的坐标，再根据两点间距离公式列方程即可解得的值． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴ 联立 解得： ∴， ∵轴，是等边三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过两点． (1)求b和c的值． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过两点， ∴， 解得， 即b的值为，c的值为2； （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为 ， ∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，且， ∴当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）下表给出了一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，求的面积 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）直接利用待定系数法解题即可； （2）先找到三点，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知函数图象过与， ∴可设二次函数表达式为：， 又函数过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为：． （2）解：由表格可知与x轴的交点为：与， 二次函数表达式变形为：； ∴顶点坐标为：， ∴的面积为：． 15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，，直线与抛物线相交于A，B两点（B在A的右边）． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点A作x轴的平行线分别交y轴与抛物线于C，D，若A是线段的中点，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值为7 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数性质和一次函数图象上点坐标特征，解题的关键是求出A的坐标． （1）用待定系数法可求解抛物线的函数表达式； （2）求出抛物线对称轴为直线，设A的横坐标为m，则D的横坐标为，根据A是线段的中点，有，即可得，故，从而求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图： 由知抛物线对称轴为直线， 设A的横坐标为m，则D的横坐标为， ∵A是线段的中点， ∴，即， 解得， 在中，令得， ∴， 把代入得：， 解得． 16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线，若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)若有一直线与抛物线交于点，，且.若点在抛物线上且在直线下方，且点不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为， (2)点横坐标的取值范围为，纵坐标的取值范围为． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，可得抛物线为：，再利用抛物线过原点可得，求解，再把抛物线化为顶点式，即可直接得到抛物线的顶点坐标； （2）把，代入，可求出，求出点横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，可得抛物线为：， ∵顶点恰好落在原点上， ∴， 解得：， ∴为； ∴顶点坐标为； （2）解：根据题意可得，当时，． 当时，， 解得，． ∵， ∴． ∴，， ∵点在抛物线上且在直线下方（不与点重合），，如图， ∴抛物线开口向上，当时函数取得最小值， ∴， ∵当时，，当时，， ∴， ∴点横坐标的取值范围为，纵坐标的取值范围为． 17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴．       ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，       ∴二次函数的表达式是； （2）解：抛物线可化为．       ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是．       ∴， ∴． 地 城 考点03 二次函数的性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C．当时，随的增大而增大 D．若点在抛物上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律． 【详解】解： ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，故A正确，不符合题意； 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到抛物线，故B正确，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 点在抛物上， 且， 点比点更靠近对称轴， ，故D不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先利用二次函数对称轴公式，确定对称轴位置，再利用函数的增减性比较即可． 【详解】解：由可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越近，则点的纵坐标越小，，，， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数的对称性和增减性，可得答案． 【详解】∵，且， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 … … 2 2 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③的值为；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（      ） A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确， 抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①错误， 当时，或，故m的值为，故③正确， 当时，，在第三象限，故④错误． 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，若，则的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由题意得抛物线的对称轴为，开口向下，时有最大值．再根据已知条件可得出，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时有最大值． ∵， ∴A，B在的两侧，且A离对称轴较远， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知函数（是常数，），下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象过点 B．函数图象与轴必有两个交点 C．不论取何值，函数图象都经过点 D．若，则当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的图象性质，利用数形结合的思想解答． 根据函数解析式和二次函数的图象性质，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，函数解析式为， 当时，， ∴函数图象不过点，故此选项不符合题意； B、∵ ∴ 当时，，函数图象与轴有两个交点； 当时，，函数图象与轴没有交点；故此选项不符合题意； C、当时，， ∴不论取何值，函数图象都经过点，故此选项符合题意； D、∵函数， ∴抛物线对称轴为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解． 【详解】解：已知二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，， ∴对称轴在轴左边，即， ∴， 如图所示， ∴当时，函数的最小值为时，， ∴当时，函数的最小值为， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D ． 二、填空题 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是 ． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题首先根据表格确定二次函数的对称轴及顶点坐标，然后结合表格即可求解． 【详解】解：根据表格知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，结合表格可得的取值范围是． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知关于二次函数有最小值，则当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式得出对称轴直线是解题的关键．首先确定二次函数的对称轴为直线，然后得出时，或，再根据二次函数有最小值得出时x的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， 时，， ∵关于x二次函数有最小值， ∴或时，． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）若二次函数有最小值为，最大值为5，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．结合二次函数的最大值，令，求出对应的的值，根据题意即可得出结论． 【详解】解：， 对称轴为直线，函数的最小值为， 时，函数有最小值为，最大值为5， 令，则， 解得，， 的取值范围为． 故答案为：．    11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键． 根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解． 【详解】解：点是直线的一个动点， ， ． 有最小值， 且， 整理得， 解得，， 经检验，，都是方程的根，符合题意． 故答案为：1或． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得的值，即可求解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 【详解】解：∵函数 ∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向上， 当时，当时，随的增大而增大， ∴当时，该函数取得最小值是，当时，该函数取得最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， ∴ 解得：（不合题意，舍去）， 当时，当时，函数的最小值是，最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为9， 解得：或(不合题意，舍去)； 当时，当时，函数的最小值是，最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， 解得：或 (不合题意，舍去)； 当时，当时，随的增大而减小， ∴当时，该函数取得最大值是，当时，该函数取得最小值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， 解得：（不合题意，舍去）； 由上可得，的值是或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)①当x取什么值时，？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)，． (3)①当时，；②当时，的值随的增大而减小． 【分析】（1）把与轴交于点坐标代入即可求出的值，即可求得解析式； （2）令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）根据顶点坐标和交点坐标，画出图象，再根据图象，即可作答①和②； 本题考查了用代入法求函数解析式，抛物线的性质以及求二次函数的与坐标轴的交点坐标，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于点， ， 解得 抛物线的解析式为， （2）解：令，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． （3）解：依题意，画出的图象为： 由图象可知： ①当时，； ②当时，的值随的增大而减小． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】(1)顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是， (2)9 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式，即可得解； （2）根据二次函数的性质可得当时，y取得最小值，当时，y取得最大值，即可得解； （3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标，对称轴是直线，    由，得，解得：， 故与x轴的交点坐标是，； （2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上， ∴当时，当时，y取得最小值，此时； 当时，y取得最大值，此时； ∵， ∴当时，求y的最大值与最小值之差为9； （3）解：∵， 当时，则在时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， ∴当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 15．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将抛物线利用配方法转化为顶点式，即可求解． （2）由（1）知，顶点坐标为，计算出和时对应的值，即可求解； （3）设交轴于点，先根据二次函数的解析式求出点、的坐标，由（1）知，设直线的解析式为，利用待定系数法求的解析式，进而求出点的坐标，根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 将代入， 得， 将代入， 得， 当时，的取值范围为； （3）如图，设交轴于点， 由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象与轴交于、两点， 令，则， 解得：，， ，， 二次函数的图象与轴交于点， 令，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）， (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． (3)已知，当时，该函数有最小值为，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式即可； （2）将二次函数化为顶点式可得出其顶点为，得出，．根据图象经过点，即得出，从而可求出，结合二次函数的性质求解即可； （3）由题意可求出此时二次函数对称轴为直线，且其图象开口向上．从而可分类讨论当，即时、 当，即时和当，即时，结合二次函数的图象和性质分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，该二次函数为：， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象经过点， ∴，即． ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且； （3）解：当时，原二次函数为， ∴该二次函数对称轴为直线，且其图象开口向上． ∵当时，该函数有最小值为， ∴当，即时，当，y有最小值，即，即，不符合题意； 当，即时，当，y有最小值，即， 解得：，，都不符合题意； 当，即时，当，y有最小值，即，即，符合题意． 综上可知c的值为． 地 城 考点04 二次函数与方程、不等式的关系及运用 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于的方程的解是（   ） … 0 3 8 … … 2 2 … A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据列表可求出二次函数的对称轴和c，则，即，求当时对应的x值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴是直线， 则和对应的函数值都是， 当时，，即， 当时，， 即， 整理，得， 即求当时对应的x值， 则， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，根据题意得出，代入方程，因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴，， 解得：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，故①正确， 抛物线的对称轴为直线， ， 图象过点， ， ， ， ，故②错误， 当时，函数由最大值， ， （为常数），故③正确， ， ，故④正确， 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①； ②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的为（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．②⑤ 【答案】C 【分析】由题意知，，，则，，进而可判断①的正误；当时，，可得，进而可判断②的正误；由函数图象与轴有2个不同的交点可知有两个不同的实数根，进而可判断③的正误；当时，二次函数的函数值最大，则，进而可判断④的正误；如图，的图象在轴的上方，方程的四个根，从小到大依次记为，则，均关于直线对称，则这四个根的和为4，进而可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴，①错误，故不符合要求； 当时，， ∴，②正确，故符合要求； ∵有两个不同的实数根， ∴，即，③错误，故不符合要求； 当时，二次函数的函数值最大， ∴，即，④正确，故符合要求； 如图，的图象在轴的上方，    ∵方程有四个根，从小到大依次记为， ∴，均关于直线对称， ∴这四个根的和为4，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判断与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④． 【详解】解：①∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②由①知：， ∴，故结论②正确； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小， ∵点和在抛物线上，且， ， ∴，即到1的距离大于到1的距离， ∴，故结论③正确； ④∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 综上所述，故结论④正确， ∴正确的结论是①②③④． 故选：D． 7．（24-25九年级上·浙江·期中）点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（    ） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，根据点在二次函数的图象上，得出，再求出判别式的值，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 即， ∴， 当时，则，此时无实数根， 即当时，点的个数为0； 故①是正确的； ②当时，则，此时有一个实数根， 即当时，点的个数为1； 故②是正确的； ③当时，则，此时有两个不相等的实数根， 即当时，点的个数为2． 故③是正确的； 故选：D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴，故①正确， ∴，， ∴在正半轴，在第二象限 ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，故②正确， 由，当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，正确，故③正确， 若方程有四个根，设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，故④错误， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另外一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题． 利用抛物线与x轴的交点的横坐标即为方程的根求解即可． 【详解】解：由题意得对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点为 ∴另一个交点为，即， ∴的另一个根为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标，抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点坐标为， 则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 则关于的一元二次方程的解为或， 故答案为：，． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）抛物线经过，两点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的图象与性质，由题意得出将抛物线向左平移一个单位得到抛物线，从而得出抛物线经过，两点，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴将抛物线向左平移一个单位得到抛物线， ∴抛物线经过，两点， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 【答案】和2 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线， 又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3， ∴方程的另一个根为， ∵关于x的方程有两个整数根， ∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间， ∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2， 故答案为：和2． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于x的方程在范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，将一元二次方程根的情况转化为抛物线与不等式问题是解题关键． 先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程在范围内有两个不同的实数根时，判别式大于零，根据方程根的分布情况列出不等式组，解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， ， ，， 将，，代入得 ， 即， 方程在范围内有两个不同的实数根， ，其对称轴为， ， 由于抛物线开口向下，顶点坐标为， 顶点处的函数值为最小， 要使抛物线在范围内与x轴有两个交点，需要满足： ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴交于点，与轴分别交于点，求的面积； (2)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据待定系数法求出函数解析式，再求出点B，C的坐标，根据三角形面积公式可求出答案． （2）令，求出的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，， ∴， 令，得， 解得，， ∴, 如图， ∴, ∴； （2）解：当时，， 该方程总有实数根， 无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)写出顶点坐标，对称轴； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次函数的顶点式是解本题的关键； （1）利用配方法把化为顶点式，根据直接写出抛物线的顶点坐标与对称轴即可； （2）先令，解方程，得出抛物线与x轴的交点坐标；根据抛物线的开口向上以及与x轴的交点坐标，从而得出时，自变量的取值范围即． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵， ∴当时，则， ∴或， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． （1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式； （2）描点连线即可作出函数图象，根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：描点作图如下： 由图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是 或； 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为，，求函数y的表达式及其图象的对称轴． (2)在（1）的条件下，若函数y的图象上有两点，且．求证：． (3)若函数y的表达式可以写成的形式，若，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析，抛物线对称轴是直线 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），本题考查了二次函数的待定系数法，熟练掌握二次函数的待定系数法是解题的关键． （1）根据题意列方程组，即可得到结论； （2）在（1）的条件下，二次函数解析式为，于是得到，由，得到，，于是得到结论； （3）化简，求得，当时，，当时，，于是得到结论． 【详解】（1）解：由题意，二次函数（b，c是常数）经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析， ∴抛物线对称轴是直线； （2）证明：在（1）的条件下，二次函数解析式为， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即； （3）解：， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的取值范围为 ． 地 城 考点05 二次函数字母参数的综合讨论 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 解得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点，则a的值可能是（   ） A．1 B．0.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是分别求出a、b的取值范围．依据题意，首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点在第二象限，且过点， ∴开口向下． ∴，，， ∴，且， ∴，得， ∴a的值可能是， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线（a、b是常数，）为图中四个图象之一，则a的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先判断出这个抛物线的对称轴为直线，从而可得这个二次函数的图象可能是第三个或第四个，再根据函数图象可得这个二次函数的图象经过原点，且对称轴为直线，从而可得，然后将点代入计算即可得． 【详解】解：∵在抛物线中，， ∴这个抛物线的对称轴为直线， ∴这个二次函数的图象可能是第三个或第四个， 由函数图象可知，这个二次函数的图象经过原点，且对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大 ∴当时，当时， 当时， ∴， 解得 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少 ∴当时，当时， 当时， ∴ 解得 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．将抛物线解析式配方得到顶点坐标，根据顶点到直线之间整点数分类讨论，从而得到有四个和两个整点时的a值，根据讨论可以得到围成区域内整点数与a的关系，从而进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴顶点所在直线为：， ①当时，顶点坐标为：， 此时，抛物线对称轴与的交点为：， 联立抛物线与直线得：， 解得：或， ∵， ∴对称轴左侧没有整点， ∵， 当时，抛物线函数值为4，直线函数值为5，抛物线和直线间没有整点， ∴直线与抛物线围成区域内没有整点； ②当时，顶点坐标为：， 此时，抛物线对称轴与的交点为：， ∴对称轴上有一个整点， 联立抛物线与直线：，解得：或2， 如图： 当时，抛物线的函数值为2，直线的函数值为4， 此时，抛物线与直线围成区域内的整点有：和，共两个， ③当时，顶点坐标为：， 联立抛物线与直线方程：，解得：， 如图： 此时，围成区域内的整点有，，，，共四个整点； 结合①②③的情况可知，a越小，围成的区域内整点数越多， ∴要使围成的封闭图形内共有4个整点，需要． 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示． 设它们交于点、． 令，即， 解得：或， 把代入，得出， 把代入，得出， ，， 观察图象可知： ①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于； ③当时，，函数值随的增大而减小， 最大值为． 综上所述，，的最大值是． 故选：A． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）抛物线上取三点，其中 下列说法正确的是（  ） A．，则 B．， C．，则 D．，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，由开口向上时，图像上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越大，由开口向下时，图像上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越小，由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线,从而可得点为顶点，由和，讨论即可得解，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, 抛物线对称轴为直线, 把代入得, 为抛物线顶点， ，当时，抛物线开口向上，为函数最小值，，当时，抛物线开口向下，为函数最大值，，此选项错误，不符合题意； ，当时，抛物线开口向上，为函数最小值，，当时，抛物线开口向下，为函数最大值，，此选项错误，不符合题意； ，时，抛物线开口向上，，此选项错误，不符合题意； ，时，抛物线开口向上，，此选项正确，符合题意； 故选：． 二、填空题 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，由与平行可得当时，直线与原图象只有一个交点，将与直线联立方程组，使，此时只有一个交点．熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ，即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在“探索函数的系数，，与图像的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，根据经过这四个点中的三个点的二次函数的的值最大，即考虑二次函数的图像开口向上，结合二次函数的对称性，分情况讨论①当二次函数过点，，时，②当二次函数过点，，时求解，即可解题． 【详解】解：根据经过这四个点中的三个点的二次函数的的值最大， 即考虑二次函数的图像开口向上，结合二次函数的对称性可知， ①当二次函数过点，，时， 则中，， ，即 整理得， ②当二次函数过点，，时， 设， ， 解得， ， 故其中的值最大为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及涉及对称性． 先根据抛物线的对称性得到，则，然后把代入可得到的值． 【详解】解：，是抛物线上不同的两点， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ， ， 点，即在抛物线上， ． 故答案为：4． 13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况：当时，当时，求出的值． 【详解】解：二次函数（为常数）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 把代入， 得， 抛物线的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得，（舍去）或， 综上所述，或． 故答案为：3或． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数：（k是实数）． (1)若，求抛物线与x轴的交点坐标． (2)抛物线与直线经过x轴上同一点，求k的值． (3)当时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握图象及性质的应用． （）转化为方程即可求解； （）由得，当时，，直线在轴的交点坐标为，代入即可求解； （3）当时，函数y的值随x的增大而增大，则，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，； （2）解：由得，当时，， ∴抛物线与直线在轴的交点坐标为， ∴， 整理得： 解得：或； （3）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数y的值随x的增大而增大， 则， 解得：． 15．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数（为常数且）． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点． ①求的值． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为； (2)①；② 【分析】（1）由，即可求解； （2）①该函数图象向右平移3个单位后得到，图象经过原点，则，即可求解； ②先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）， 该抛物线的顶点坐标为； （2）①该函数图象向右平移3个单位后得到， 经过原点． ， ； ②∵， ∴抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，， ∵时，二次函数的最大值与最小值的差为4， i）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值； ∴， 解得：舍去； ii）当时，当时函数有最大值2，当时函数有最小值， ∴，符合题意； iii）当时，当时函数有最大值，当时函数有最小值， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上， 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点，． ∴点在对称轴左侧， ∵对于任意的，都有成立， ∴存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图2，当时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 17．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）设二次函数（，是常数，），已知函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)若． ①求二次函数的表达式； ②自变量在时，有最大值，求的值． (2)求证：恒成立． 【答案】(1)①；②或； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数求函数解析式及二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①由题意，得到，两点坐标，代入，利用待定系数法，得到函数表达式； ②根据函数表达式，得到函数的对称轴和顶点坐标，开口方向，讨论当时，最大值在时取得，当时，最大值在上取得，从而求得值； （2）观察表格，可得到对称轴为，得到，从而证得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴将，代入得： ， 解得：， 该二次函数的表达式是； ②该二次函数的表达式是， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，最大值在时取得， 把代入，得：， 解得：，符合题意； 当时，当时，最大值在上取得， 把代入，得：， 解得：（舍去）， 综上所求，的值为0或； （2）解：根据表格可知对称轴为直线，即 ， ∵，在二次函数上， ∴， ， 恒成立， 即恒成立． 18．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数（a，b，c是常数，）． (1)当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． (2)当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 【答案】(1)①；②证明过程详见解析； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式； ②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）先将m、n、p用a、b、c表示出来，然后根据得到，比较大小用作差法，所以得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题可知，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 19．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在轴上，求的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】（1）解：根据题意得：，（或根据得） 解得或， （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $