专题04 整式的加减（期中复习课件）七年级数学上学期新教材人教版

该初中数学课件聚焦七年级上册“整式的加减”，涵盖单项式、多项式、合并同类项等核心知识点，通过“期中学情分析-必备知识梳理-重难点题型突破-分层验收”的脉络，构建连贯的学习支架，帮助学生系统掌握知识逻辑。 其亮点在于结合实例培养抽象能力，如单项式规律题引导观察系数与指数变化，通过分类讨论和解题步骤拆解发展推理意识，实际应用问题如分段计费发展模型意识。分层题型设计助力学生夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源和高效教学思路。

专题04 整式的加减 七年级数学上学期 期中复习大串讲 人 教 版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础必考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 单项式 知识点01 1.单项式的定义： 数与字母的积式子叫单项式， 单独的一个数或一个字母也是单项式. 例如 – 2x mn -1 a （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 单项式 知识点01 2.单项式的系数： 单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 3.单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意 注意 多项式 知识点02 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项： 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如6 － 2𝑥－ 7是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如 6 － 2𝑥－ 7是二次三项式. 整式 知识点03 整式：单项式与多项式统称为整式. 代数式 整式 单项式 多项式 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 合并同类项 知识点04 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 同类项的定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项． 几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件： ①所含字母相同； ②相同字母的指数分别相等 同类项两个条件 缺一不可； 合并同类项 知识点04 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 注 意 （1）一找：找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）二移：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）三合：利用合并同类项法则，合并同类项； （4）四排：合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 合并同类项 知识点04 （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： 易错点 添括号、去括号 知识点05 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉， 括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉， 括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“±1”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 1.去括号法则： 注 意 添括号后，括号前面是“+”号， 括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号， 括到括号里的各项都要改变符号，如． 添括号、去括号 知识点05 2、添括号法则： 整式的加减 知识点06 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 1.整式的加减运算原理 合并同类项 去括号法则 注 意事项 ※整式加减的结果要最简 ※不能有同类项， ※含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数）， ※能去括号的要去括号，一般不含有括号. 2.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. （4）多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同， 若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为100x+10y+z. 整式的加减 知识点06 代数式的化简求值 知识点07 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）一化：利用整式的加减运算将整式化简； （2）二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 1.求代数式的值 求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 单项式的相关概念 题型一 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式； 注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 【典例1】（24-25七年级上•海南海口•期中） 下列各式中：2 m，0 ，−2𝑛， ，𝑎+𝑏=𝑎𝑏，单项式有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 单项式的相关概念 题型一 D 【典例2】（24-25七年级上•湖南岳阳•期中）下列说法错误的是（ ） A． 0是单项式 B． 的系数是 C． 是一次单项式 D． 的次数是1 D 次数所含字母的指数和1 【变式1】（24-25七年级上•海南海口•期中）下列说法中正确的是（ ） A． 的系数是−1 B． 的系数是 7 C． 的系数是 D． 的次数是 7 【解析】 A． 的系数是−1 ，原说法正确； B. 的系数是 − 7，原说法错误； C． 的系数是，原说法错误； D． 的次数是 3 ＋2=5，原说法错误； 单项式的相关概念 题型一 A 【变式2】（24-25七年级上•江西南昌•期中）有三个条件：①只含有字母a，b，c；②系数为- 2 ； ③次数为4； 能满足这三个条件的所有单项式 为 ． 解：根据单项式的定义，单项式的系数、次数含义可得， 故符合题意的有： ， ， ． 单项式的相关概念 题型一 ， ， ． 【变式3】（24-25七年级上•福建厦门•期中）给出以下七个代数式： −2𝑎， ， ， ， ， ， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有 ； ②不含字母的有： ； (2)模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是 ； 其中 ① ； ② ； ③ ； 单项式的相关概念 题型一 −2𝑎， ， ， ， 、 按单项式次数为0、1、3三类分 、 −2𝑎、 、 、 单项式规律题 题型二 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 【典例1】（24-25九年级下•云南文山•期中）按一定规律排列的单项式： ，第𝑛个单项式是（　　） A． B． C． D． 解： 第1个单项式的系数为 1=0，次数为 11= 0， 第2个单项式的系数为 1= 3 ，次数为 21= 1， 第3个单项式的系数为 1=8 ，次数为31= 2， 第4个单项式的系数为 1=15 ，次数为 1=3 ， 第5个单项式的系数为 1=24 ，次数为 51=4 ，……， 以此类推，可知第5个单项式的系数为 ，次数为 ， 即第𝑛个单项式是 ， 单项式规律题 题型二 A 【典例2】（24-25七年级上•贵州黔南•期中）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…其中第个单项式是（ ） A． B． C． D． 解：∵ ， ， ， ， ， 单项式规律题 题型二 B ∴第𝑛个单项式为 【变式1】（24-25九年级下•江西抚州•期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律： 按照上述规律， …第10个单项式是 ． 解：由题意可得：第𝑛个单项式为 ， 故第10个单项式是： ， 单项式规律题 题型二 【变式2】（24-25七年级上•江西赣州•期中）观察下列一串单项式的特点：．按此规律，第9个单项式为 ， 试猜想第n（n为正整数）个单项式为 ． 当n=1 时，𝑥𝑦， 当n=2 时， ， 当n=3 时， ， 当 n=4时，… ， 单项式规律题 题型二 【解析】 以此类推， 当 n=9时，， 则第n个单项式为 ． 变式3】（24-25七年级上•安徽芜湖•期中）【观察与发现】 ， ， ， ， ， ，…， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第2𝑛（𝑛大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． （1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 第8个单项式是： 单项式规律题 题型二 【解析】 （2）解：由（1）可得出第𝑛个单项式为： 故第 2𝑛个单项式是： ， 它的系数为： ，次数为： 多项式的相关概念 题型三 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 【典例1】（24-25七年级上•重庆江津•期中） 式子 ， ， ， ， ， ，中，多项式有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解：依题意， ， ， 是多项式， ∴多项式有3个， 多项式的相关概念 题型三 D 【典例2】（24-25六年级上•山东烟台•期末） 对代数式 ， ， ， ， ， 判断正确的是（ ） A．只有3 个单项式 B．只有2 个单项式 C．有 6个整式 D．有 2个二次多项式 解：∵ 、 、 是单项式， 是二次多项式， 是三次多项式， ， ， ， ，是整式， ∴以上代数式中共有 3个单项式， 1个二次多项式， 1个三次多项式， 5个整式， 多项式的相关概念 题型三 A 【变式1】（24-25七年级上•河北保定•期中） 在代数式𝑎， ，2 ， ， ，𝑎+5 中，多项式的个数是 ． 解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故多项式有𝑎+𝑏 ， ，𝑎+5 ， 多项式的相关概念 题型三 3 【变式2】（24-25七年级上•广东韶关•期中）下列说法正确的是（ ） A．0不是代数式 B． 和 都是多式 C． 的项分别是 ， 2，6 D． 的次数是3 A、0是代数式，故该选项说法错误，不符合题意； B、 不是多项式， 是多项式，故该选项说法错误，不符合题意； C、 的项分别是 ， 2，6 ，故该选项说法错误，不符合题意； D、 的最高项次项 的次数是3次，所以 的次数是3，故该选项说法正确，符合题意； 多项式的相关概念 题型三 D 解： 【变式3】（24-25七年级上•山东济宁•期中）下列选项中，说法正确的是（ ） A． 的次数是 6次 B．多项式 是四次三项式 C． 的常数项为1 D． 不是多项式 A、 的次数是4 次，故该选项错误，不符合题意； B、多项式 是二次三项式，故该选项错误，不符合题意； C、 的常数项为1 ，故该选项错误，不符合题意； D、不是多项式，故该选项正确，符合题意 多项式的相关概念 题型三 D 【解析】 【典例1】（24-25七年级上•河北保定•期中） 若多项式 是关于𝑥，𝑦的三次三项式，则有理数a 的值为（ ） A．1 B．1 C．± 1 D．3 解：∵多项式 是关于𝑥，𝑦的三次三项式， ∴ ， ∴． 多项式系数、指数中字母求值 题型四 A 【典例2】（24-25七年级上•重庆•期中）若代数式 是关于𝑥，𝑦的三次二项式，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． -1 多项式系数、指数中字母求值 题型四 解：代数式 是关于𝑥，𝑦的三次二项式， ∴原式 ∴ ， 解得，𝑚= ± 3， C 当𝑚= 3 时， 原式 ， ∴ ， 解得，2 ； 当𝑚= 3 时， 原式 ， ∴ ， 解得，𝑛=2 ； ∴𝑛的值为2 【变式1】（24-25七年级上•江西赣州•期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 解： 多项式 是一个关于x，y的三次三项式， ，或 ， 或 2 ， 多项式系数、指数中字母求值 题型四 或 2 【变式2】（24-25七年级上•江苏无锡•期中）已知多项式 是关于x的二次三项式，则 的值为 ． 解：∵多项式 是关于x的二次三项式， ∴ ，， ∴，， ∴ ． 多项式系数、指数中字母求值 题型四 【变式3】（24-25九年级上•河南南阳•期中） 已知多项式 是一个五次四项式，求 的值． 解：∵多项式 是关于x的五次四项式， ∴ ， ∴， ∴ 多项式系数、指数中字母求值 题型四 多项式升幂（降幂）排列 题型五 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 【典例1】（24-25七年级上•河南南阳•期中） 把 按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（ ） A． B． C． D． 解：∵多项式 按字母 的升幂排列为： ，∴其中的第二项是 ． 多项式升幂（降幂）排列 题型五 A 【典例2】（24-25七年级上•湖南益阳•期中）已知多项式 ，按照y的降幂排列 ． 解：多项式 按y降幂排列为： 【变式1】（24-25七年级上•陕西渭南•期中）将多项式 按字母y的升幂排列为 ． 解：把多项式按字母y升幂排列为： ． 多项式升幂（降幂）排列 题型五 【变式2】现有下列单项式： ，如果要组合成一个七次三项式，那么按照𝑥的降幂排列，这个多项式可以是 ． （答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级上•河南安阳•期中） 已知多项式 是六次四项式． (1)写出的值；并将多项式按的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． （1）解：∵多项式 是六次四项式， ∴ ，∴=3； 按的升幂排列为 ； （2）解：∵多项式， ∴多项式各项系数之和 ． 多项式升幂（降幂）排列 题型五 整式的相关概念 题型六 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 【典例1】（24-25七年级上•全国•期中）下列代数式是整式的有（ ） ① ； ② ；③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦； ⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：由题意，①③⑤⑦⑧，是整式，②④⑥分母中有字母，不是整式； 整式的相关概念 题型六 C 【典例2】（24-25七年级上•四川资阳•期中）下列各式中：① ；② ；③；④ ；⑤ ；⑥ ．其中整式的个数有（ ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 D 【变式1】（24-25七年级上•上海杨浦•期中）在下列代数式： ， 1 ， ， π ， ， ，5中，整式有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：下列代数式 ， 1 ， ， π ， ， ，5中， 属于整式的有： ， 1 ， ， π ， 5． ∴一共有5个整式． 整式的相关概念 题型六 C 【变式2】（24-25七年级上•内蒙古包头•期中）式子 ， 0， ， ， ， ，， ， 中，代数式有个，整式有个，则= ． 解：式子 ， 0， ， ， ， ，， ， 中， 代数式： ， 0， ， ， ，， 共7个，=7， 整式： ， 0， ， ，共5个，则=5， ∴=7 5=2， 整式的相关概念 题型六 2 【变式3】（24-25七年级上•广西南宁•期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ① ；② ；③5；④ ；⑤；⑥ ；⑦ ； 单项式： ． 多项式： ． 整 式： ． 整式的相关概念 题型六 ① ③ ⑤ ⑦， ② ④ ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 合并同类项 题型七 解｜题｜技｜巧 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项；合并同类项的时候要注意合并完全，不能出现遗漏； 【典例1】（24-25七年级上•全国•期中）下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 A 、 与 所含字母相同，但相同字母的指数不相同， 不是同类项，故不符合题意； B、 与 所含字母相同，相同字母的指数相同， 是同类项，故符合题意； C、 与 所含字母相同，但相同字母的指数不相同， 不是同类项，故不符合题意； D、 与 所含字母不相同， 不是同类项，故不符合题意； 合并同类项 题型七 解： B 【典例2】（25-26七年级上•全国•期中）若单项式 与 是同类项，则的值为（ ） A．3 B ． 4 C．5 D．6 解：∵单项式 与 是同类项， ∴=3，2. ∴， 合并同类项 题型七 C 【变式1】 （24-25七年级上•全国•期中）若单项式 与单项式 的和仍是单项式，则 ． 解：∵单项式 与单项式 的和仍是单项式， ∴ 与 是同类项， ∴=4，=3 解得= 5，=2 ∴ ==25． 合并同类项 题型七 25 【变式2】（24-25七年级上•四川泸州•期中）化简： (1) （1）解： ； 合并同类项 题型七 (2) （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级上•江苏扬州•期中）化简： (1) 合并同类项 题型七 (2) （1）解： =4； （2）解： ． 去括号与添括号 题型八 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例1】（24-25八年级上•四川德阳•期中）在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（ ） A．B． C． D． 解： ，故A项正确，不符合题意． ，故B项正确，不符合题意． ，故C项错误，符合题意． ，故D项正确，不符合题意． 去括号与添括号 题型八 C 【典例2】（24-25七年级下•北京通州•期中）下列去括号结果正确的是（ ） A． B． C． D． A、 ，原式去括号错误，不符合题意； B、 ，原式去括号错误，不符合题意； C、 ，原式去括号错误，不符合题意； D、 ，原式去括号正确，符合题意； 去括号与添括号 题型八 D 解： 【变式1】（24-25七年级上•河南驻马店•期中） 化简 的结果是 ． 解： ， 去括号与添括号 题型八 【变式2】（24-25七年级上•北京•期中）已知，则代数 式 的值为 ． 解：∵， ∴ ． 3 【变式3】（24-25七年级上•重庆•期中）已知，则代数式的值是 ． 解：∵， ∴ ， =2． 去括号与添括号 题型八 2 整式的加减运算 题型九 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（24-25七年级上•全国•期中）化简： (1) 整式的加减运算 题型九 (4) (3) (2) （1）解： 原式 ； （2）解： 原式 ； （3）解： 原式 ； （4）解： 原式 【典例2】（24-25七年级上•湖北荆门•期中）化简： (1) (2) （1）解： ； （2）解： ． 整式的加减运算 题型九 【变式1】（24-25七年级上•河北张家口•期中）计算： (1) ； (2) ． （1）解： （2） = = 整式的加减运算 题型九 【变式2】（24-25七年级上•广东广州•期中）化简： (1) ． (2) ． (3) ． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： 整式的加减运算 题型九 【变式3】（24-25七年级上•湖南郴州•期中）已知关于x的多项式： ， (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 解：（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴． 整式的加减运算 题型九 65 整式的加减中的化简求值 题型十 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值； 顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 【典例1】（25-26七年级上•全国•期中）化简求值： (1) ，其中 ． (2)已知 ，，求 的值，其中，． 整式的加减中的化简求值 题型十 （1）解： ， 当时， 原式 （2）解： ∵ ， ， ∴ ， 当， 时， 原式 ． 67 【典例2】（25-26七年级上•全国•期中） 已知 ，求 的值． 解： = （ ） 整式的加减中的化简求值 题型十 当时， 原式 =42． 68 【变式1】（24-25七年级上•全国•期中）回答下列各题． (1)先化简，再求值： ，其中 ， ． (2) ，其中 （1）解： ， 当 ，时， 原式 整式的加减中的化简求值 题型十 【变式1】（24-25七年级上•全国•期中）回答下列各题． (1)先化简，再求值： ，其中 ， ． (2) ，其中 整式的加减中的化简求值 题型十 （2）解： ， 当， 原式＝ ． 【变式2】（24-25七年级上•全国•期中）求多项式 的值，其中 （提示：分别把 看作一个整体）． 解：∵， ∴， ∴ =22． 整式的加减中的化简求值 题型十 【变式3】（24-25七年级上•四川泸州•期中）先化简，再求值： ，其中． 解： ； 当时， 原式 ． 整式的加减中的化简求值 题型十 整式的加减中的无关型问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 【典例1】（25-26七年级上•湖南衡阳•期中）已知多项式 不含 项和项，则的值为（ 　 ） A． 3 B． 3 C． 1 D． 1 解： 项系数为，项合并同类项后系数为1， ∵多项式 不含 项和项， ∴ ， ∴， ， 则= ． 整式的加减中的无关型问题 题型十一 D 【典例2】（24-25七年级上•广东惠州•期中）无论 取何值，多项式 的值不变，则（ ） A． a=6， b=2 B． a=2， b=6 C． a= 6， b= 2 D ． a= 6， b= 2 解：原式展开并合并同类项： ∵无论 取何值， 多项式 的值不变， ∴=0， =0， ∴a=6 ，b=2 ， 整式的加减中的无关型问题 题型十一 A 【变式1】（24-25七年级上•重庆•期中） 若多项式 中不含 项，则= ． 解： 依题意， 解得： 整式的加减中的无关型问题 题型十一 【变式2】（24-25七年级上•福建莆田•期中）如果整式A 和整式B 的和为一个常数 a，我们称A 、B 为常数a 的“和谐整式”．例如： 和 为数1 的“和谐整式”．若关于的整式 与 为常数𝑘的“和谐整式”．则常数𝑘的值是 ． 解：∵关于x的整式 与为常数𝑘的“和谐整式”， ∴ ， ， 则 解得， ， ∴ ， 整式的加减中的无关型问题 题型十一 3 【变式3】（24-25七年级上•江苏扬州•期中） 已知， ． (1)化简 A 2B； (2)当=2，= 1，求A 2B 的值； (3)若 A 2B的值与b的取值无关，求的值． 整式的加减中的无关型问题 题型十一 （1）∵， ， ∴ A 2B ； （2）∵=2，= 1 ， ∴ = 7； （3） ， ∵若 A 2B的值与b的取值无关， ∴ =0， ∴= ． 解： 整式加减的应用 题型十二 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 【典例1】（24-25七年级上•吉林•期中）如图，长方形纸片 ABCD的长是 a，宽是b ，分别以A 、B 为圆心、 b为半径，剪去两个 圆． (1)用含 a、b 的式子表示阴影部分图形的周长L 和面积 S，并化简； (2)若 a=5，b=1.5,请求出阴影部分图形的周长L 和面积 S（π 取3）． 整式加减的应用 题型十二 （1）解： ； ； （2）解：当 a=5，b=1.5 ，π取3时， ， ． 【典例2】（24-25七年级上•湖南株洲•期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5 元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度0.6 元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） 0.5 0.6 0.8 整式加减的应用 题型十二 (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为x 度；请用含 x的代数式表示他们家12月应缴的电费． （1）解：依题意， （元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意， （元） ∴11月的电费是120元； 120 【典例2】（24-25七年级上•湖南株洲•期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） 0.5 0.6 0.8 整式加减的应用 题型十二 (3)若小明家12月用电量为x 度；请用含 x的代数式表示他们家12月应缴的电费． （3）解：依题意，当 时，则电费是 0.5元； 当 时， ∴ ， 则电费是 元； 当 时， ∴ ， 则电费是 元． 82 【变式1】（24-25七年级上•辽宁鞍山•期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中π 取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含x，y的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含 x，y的式子表示） 整式加减的应用 题型十二 （1）解：根据题意得： ， ∵π取3．∴原式 各：一扇这样窗户一共需要铝合金 米； （2）解：根居题意得： ∵π取 3，∴原式 答：一扇这样窗户一共需要玻璃 平方米． 【变式2】（24-25七年级上•贵州安顺•期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位： m）． 整式加减的应用 题型十二 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若 ，b 的倒数是 ，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【变式2】（24-25七年级上•贵州安顺•期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 整式加减的应用 题型十二 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若 ，b 的倒数是 ，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． （1）解：学校的操场的占地面积为 ， 学生活动中心的占地面积为 ， 这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为： ； 【变式2】（24-25七年级上•贵州安顺•期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 整式加减的应用 题型十二 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若 ，b 的倒数是 ，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． （2）解：∵ ，b的倒数是 ， ∴，b=40 ， ∵＞ 0，∴= 150， 把= 150 ， b=40代入得： 原式 ， 答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地 ． 【变式3】（24-25七年级上•广东深圳•期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”． 例如： 与 是“准同类项”． (1)给出下列四个单项式： ① ；② ；③ ；④ 其中与 是“准同类项”的是___（填写序号） (2)已知 A、B、C均为关于a，b 的多项式， ， ．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)已知D，E均为关于a，b的单项式， ，其中 ，若D，E是“准同类项”，求出 ①x的最大值是____； ②x的最小值是_____． 整式加减的应用 题型十二 【变式3】（24-25七年级上•广东深圳•期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如： 与 是“准同类项”． (1)给出下列四个单项式： ① ；② ；③ ；④ 其中与 是“准同类项”的是 （填写序号） 整式加减的应用 题型十二 ① 与 ，相同字母的指数： ， 相同字母𝒃的指数： ，符合题意； ② 与 ，相同字母𝒂的指数： ，相同字母𝒃的指数： ，不符合题意； ③ 与 ，相同字母𝒂的指数： ，相同字母𝒃的指数： ，符合题意； ④ 与 ，相同字母𝒂的指数： ， 相同字母𝒃的指数： ，多余了一个字𝒄母 ，不符合题意； ①③ ∴根据“准同类项”得①③， （1）解： 【变式3】（24-25七年级上•广东深圳•期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”． 整式加减的应用 题型十二 (2)已知 A、B、C均为关于a，b 的多项式， ， ．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． （2）解：∵， ， ∴， ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴当 与 是“准同类项”时， 可以是任意数； 当 与 是“准同类项”时， ，解得， =3 或=4 ； 当 与 是“准同类项”时， 解得，=2 或 =4， 当 =2时， 与 不是“准同类项”，故 舍去， ∴综上所述， =3 或4； 【变式3】 (3)已知D，E均为关于a，b的单项式， ，其中，若D，E是“准同类项”，求出 ①x的最大值是 ； ②x的最小值是 _____． 整式加减的应用 题型十二 （3）解：∵， ， D 与 E是“准同类项”， ∴ ， ， ∴𝑚=5或3或4，𝑛=1或2或3， 又， ①当 时，， ∴， 要使𝑥最大， ， ∴ ； 要使𝑥最小，若 ， 得 ， ∴𝑥的最大值为 ，最小值为4． ②当时， ， ， ∴ ， 当 时，𝑥取最小值为 ， 当时，𝑥取最大值为 ； 综上所述，𝑥的最大值为，最小值为 ． 90 带有绝对值的字母化简问题 题型十三 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 【典例1】（25-26七年级上•全国•期中）若，则 的结果为（ ） A．0 B． C． D．无法确定 解：∵，∴ ． 带有绝对值的字母化简问题 题型十三 B 【典例2】（24-25七年级上•湖北荆门•期中）若 ， 1 ，且 ，则 的值为（　　） A．4 B．2或4 C．2或4 D． 4 解： ∵ ， 1 ， ∴，， 又 ∵ ， ∴， ∴， 需要分为两种情况， 第一种： ， 则 =4； 第二种： ， 则 =2， B 【变式1】（24-25七年级下•黑龙江绥化•期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 的值为（ ） A． B． C．a D． a 解：由图可知， ∴0，＞ 0，＜0 ∴ ． 带有绝对值的字母化简问题 题型十三 B 【变式2】（25-26七年级上•全国•期中）若m、n、p、q为有理数，且 ，则 ． （1）当m、n、p、q都是负数时， 则 ； （2）当m、n、p、q中有两个负数，两个正数时，不妨设 ， 则 ； （3）当m、n、p、q都是正数时， 则 ； 综上， 的值是5或 3或1 带有绝对值的字母化简问题 题型十三 5或 3或1 【变式3】（24-25七年级下•黑龙江绥化•期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足 ，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得𝑎,𝑏,𝑐三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①𝑎,𝑏,𝑐都是正数，即时， 则 ； ②当𝑎,𝑏,𝑐中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 ， 则 ． 综上所述， 值为 3或 ． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数𝑎,𝑏,𝑐满足，求 的值． 带有绝对值的字母化简问题 题型十三 解： ∵ ， ∴𝑎,𝑏,𝑐都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当𝑎,𝑏,𝑐都是负数，即 时， 则， ②当𝑎,𝑏,𝑐中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则 ， 综上所述， 值为 或 1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数𝑎,𝑏,𝑐满足，求 的值． 带有绝对值的字母化简问题 题型十三 【典例1】（24-25七年级上•重庆•期中）对于有理数 a， b定义一种新运算“ ”，规定 ． (1)计算： ； (2)计算： ． （1）解： ∵， =0； 整式加减中的新定义运算 题型十四 （2）解： ∵， ． 【典例2】（24-25七年级上•江苏盐城•期中）定义：若 ，则称、是“海春轩数”．例如： ，因此3和1.5是一组“海春轩数”． (1)2与_________是一组“海春轩数”； (2)若是一组“海春轩数”，求代数式 的值． （1）解： ， ∴2与2是一组“海春轩数”， （2）解：由题意得 原式 ． 整式加减中的新定义运算 题型十四 2 【变式1】（24-25七年级上•陕西榆林•期中）定义一种新运算：对任意有理数a,b 都有 ，例如： ．先化简，再求值： ，其中． 解： ， 当 时， 原式 整式加减中的新定义运算 题型十四 【变式2】（24-25七年级上•河南周口•阶段练习）给出如下定义：我们把有序实数对 叫做关于x的二次多项式 的特征系数对，把关于x的二次多项式 叫做有序实数对 的特征多项式． (1)关于x的二次多项式 的特征系数对为 ； (2)若有序实数对 的特征多项式与 的和为N，当，=2时，求N的值． （1） ∵ 中， ∴二次多项式 的特征系数对为 ． （2）因为有序实数对 的特征多项式为 ， 所以 ， 当𝑥=−1，𝑦=2 时， ． 整式加减中的新定义运算 题型十四 【变式3】（24-25七年级上•江苏盐城•期中）我们定义：如果两个多项式 M与N 的和为常数，则称M 与N 互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如 与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ① 与 ② 与 ③ 与 (2)若多项式 与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ①求，的值； ②求多项式A 、B 的“友好值”． 整式加减中的新定义运算 题型十四 【变式3】（24-25七年级上•江苏盐城•期中）我们定义：如果两个多项式 M与N 的和为常数，则称M 与N 互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ① 与 ② 与 ③ 与 整式加减中的新定义运算 题型十四 （1）①∵，是常数， ∴ 与 互为“友好多项式”； ② ，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③ ，是常数， ∴ 与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； ①③ 【变式3】（24-25七年级上•江苏盐城•期中）我们定义：如果两个多项式 M与N 的和为常数，则称M 与N 互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”． (2)若多项式 与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求，的值； ②求多项式A 、B 的“友好值”． 整式加减中的新定义运算 题型十四 （2）①∵多项式 与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ A ＋ B ∴ ， ∴2，； ②∵2，， ∴多项式 A、 B的“友好值” ． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练 1．（25-26七年级上•全国•期中）一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的差为（ ） A． B． C． D． A 解：依题意，原两位数为，新两位数为， 则 （ ） ， ∴原两位数与新两位数的差为 ， 期中基础通关练 2．（24-25六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）先化简，再求值 ，其中-2，-1 解： 当-2，-1时 原式 期中重难突破练 1．（25-26七年级上•江苏•期中）已知，，无论x取何值， 恒成立，则a= . ∵，无论x取何值， 恒成立， ∴ ∴ ∴ 解： 期中重难突破练 2、（24-25七年级上•广东中山•期中）中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是 0.8万元 ，面积如图所示（单位： m²，卫生间的宽未定，设宽为x ），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为0.8 万元/ m² ，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当x=2 时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ （1）解：该户型商品房的面积为： （ m²）； 方案一中购买一套该户型商品房的总金额为 （万元）； 方案二中购买一套该户型商品房的总金额为： （万元）； 期中重难突破练 2、（24-25七年级上•广东中山•期中）中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是 0.8万元 ，面积如图所示（单位： m²，卫生间的宽未定，设宽为x ），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为0.8 万元/ m² ，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当x=2 时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ （2）解：当x=2 时， （万元）， （万元）， 所以方案二更优惠，优惠 0.96万元． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $