专题04 圆（期中复习课件）九年级数学上学期人教版

专题04 圆 九年级数学上学期 期中复习大串讲 人 教 版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与垂径定理 ①利用垂径定理及其推论求弦长，半径及其弦心距； ②证明线段相等、垂直关系 常考小题与综合题 圆心角、弧、弦的关系 ①能直接证明角、弧、弦的相等关系； ②能与其他定理（如圆周角定理）结合进行证明或计算 常考小题与综合题 圆周角定理 ①能利用定理求角度； ②证明角相等； ③利用内接四边形的性质求角度 常考小题与综合题（求角度最常考） 切线的性质与判定（绝对核心） ①证明切线； ②利用切线性质求长度或角度 常考小题与综合题（必考点） 切线长定理 ①求线段长度、角度； ②证明线段相等、角相等、线段垂直或平行； ③能够与三角形的内心、外心等知识点结合解决相应题目。 常考小题与综合题 弧长与扇形面积 ①能够直接套用公式计算； ②能与实际问题结合，如计算弯管长度、羊吃草的面积、零件面积等 ③能熟练求阴影部分面积（割补法） 常考小题 圆锥的侧面积和全面积 ①求侧面积或全面积 常考小题 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 圆的定义及其相关概念 知识点01 (1) 弦的概念： 如图：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (2) 直径： 过圆心的弦叫做直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。 1. 圆的定义： 静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。 A B O 2. 圆的相关概念： (4) 等圆： 能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。 (5) 等弧： 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 (3) 弧： 圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。 ①半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧ACB，表示为。读作弧ACB。 表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。 ③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。读作弧AB。 A B O C 垂径定理及其推论 知识点02 1. 垂径定理的内容： 垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。 垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。 注意 即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A， 则：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。 在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。 即：) 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及其推论 知识点02 2. 垂直定理的推论： 弧、弦以及圆心角 知识点03 3. 弧、弦、圆心角的关系的推论： （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。 A B O 1. 圆心角的认识： 顶点在圆心的角叫做圆心角。 大小范围为0°＜α＜360°。 2. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。 4. 弧的度数： 弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 圆周角 知识点04 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 1. 圆周角的定义： 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 A B O C 2. 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3. 圆周角定理的推论： （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。 如图：若＝ ，则∠ABC＝∠BAD； 若∠ABC＝∠BAD，则＝ 。 如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝90°。 若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的直径。 4. 圆的内接四边形： （1）概念：如图：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。 （2）圆的内接四边形的性质： ①圆的内接四边形的对角互补。 即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。 多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。 ②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 （就是和它相邻的内角的对角） 即：∠EAD＝∠C。 点与圆的位置关系 知识点05 1. 点与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r 点在圆外。 （2）如图2：d＝r 点在圆上。 （3）如图3：d＜r 点在圆内。 2. 三角形的外接圆与外心： （1）外接圆： 如图：若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。 （2）外心 三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。 是三角形三条边的垂直平分线的交点。 所以到三角形三个顶点的距离相等。 锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部． 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 特别说明 注意 直线与圆的位置关系 知识点06 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r 直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。 （2）d＝r 直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的切点。 （3）d＞r 直线与圆相离，与圆没有公共点。 2. 切线的判定： （1）判定定理：经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线 （2）切线的判定的方法： ①直线与圆有公共点，连半径，证明垂直 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径。 （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 ②直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 ٭利用勾股定理证明垂直。 ٭利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ٭利用三角形的全等转换证明垂直。 ٭利用平行线转换证明垂直。 证明垂直的方法： 3. 切线的性质： 即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。 4. 切线长定理： （1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 如图：若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B， 则PA与PB的长度是切线长。 （2）切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 由切线长定理的结论可得： ①△APO≌△BPO ∠AOP＝∠BOP ＝ AB⊥OP。 推广 （2）三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点， 到三角形三边的距离相等。 直线与圆的位置关系 知识点06 （3）直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边， 则这个直角三角形的内切圆半径为 或 。 5. 三角形的内切圆与内心： （1）内切圆:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 特别说明 （4）三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r， 则此三角形的面积可表示为： 。 （2）弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。 等于弦所对的圆心角度数的一半。 直线与圆的位置关系 知识点06 6. 弦切角与弦切角定理： （1）弦切角： 如图，像∠ACP这样顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。 即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 正多边形与圆 知识点07 1. 正多边形及其相关概念： （1）正多边形的概念： 各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。 （2）圆的内接正多边形： 把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 （3）圆的内接正多边形的相关概念： ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。 ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的中心角。正多边形的中心角度数为 。 ④边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂线即为边心距。 2. 正多边形的有关计算： (1)正多边形的内角计算： 正n边形的每个内角计算公式为: 。 (2)正多边形的中心角： 正n边形的中心角度数为 。 (3)正多边形的外角： 正n边形的外角度数为 。 (4)正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系： 正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h， 则它们的关系为 。 (5)正多边形的周长和面积： 边长为a的正n边形的周长为；面积为。 弧长与扇形的面积 知识点08 1. 扇形的弧长： （1）扇形弧长的定义：扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。 （2）扇形弧长的计算公式： 2. 扇形的面积计算： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为， 则1°的圆心角所对的面积＝ ， 已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 ＝ 。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l， 则扇形的面积公式为： 。 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr， 1°的圆心角所对的弧长l＝ ， n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 3. 圆锥的侧面积与全面积： （1）圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的高。 （2）圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。 如图：。 （3）圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个扇形， 这个扇形的半径等于圆锥的母线长。 扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。 （4）圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为a， 弧长等于底面圆周长等于：， 根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°, 则侧面展开图的扇形面积为： 。 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 解｜题｜技｜巧 在垂径定理中，利用勾股定理“弦心距2+半弦长2＝半径2”解决相关题目 【典例1】已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则⊙O的半径为（　　） A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm 解：连接OA，如图，设⊙O的半径为R， ∵CD⊥AB， ∴∠APO＝90°， 在Rt△OAP中， ∵OP＝OD﹣PD＝r﹣2，OA＝r，AP＝4， ∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5， 即⊙O的半径为5cm． 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 B 【变式1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 　 ． 解：残缺圆形的圆心为O,连接OA，设圆的半径为r， 则：OA＝OC＝r m， OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m， （m）， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴r2＝202+（r﹣10）2， ∴r＝25cm； ∴圆形工件的半径为25cm． 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 O 25cm 【典例2】如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3， ∴AC4， ∴AB＝2AC＝8． 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 C 【变式1】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 　 　 ． 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E， 则CE＝DECD， 设BE＝x，则CE＝x+2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， AE2＝AB2﹣BE2， 即AE2＝42﹣x2， 在Rt△ACE中，由勾股定理得， AE2＝AC2﹣CE2， 即AE2＝52﹣（x+2）2， 所以42﹣x2＝52﹣（x+2）2， 解得x， E ∟ 即BE， ∴CE2， ∴CD＝2CE， ∴BD＝CD﹣BC， 【典例3】（2025春•道县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则OE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 解：∵直径AB⊥CD， ∴EDCD8＝4， ∵OD＝5， ∴OE3． 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 B 【变式1】日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　　 ． 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距 题型一 G ∟ 解：如图，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F． ∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD， ∵AC＝BD，∴四边形ACDB是平行四边形， ∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵OG⊥CD，∴OG⊥AB， ∴AE＝EB＝8cm， ∴OE6（cm） ∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， 1cm ∵EG＝AC＝BD＝5cm， ∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm）， ∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm， 【典例1】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径． 利用垂径定理证明线段相等以及垂直关系 题型二 （1）证明： ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径是5． 【典例2】已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）猜想OM和AB的位置关系，并说明理由； （3）求∠ACM的度数． 利用垂径定理证明线段相等以及垂直关系 题型二 解：（1）连接OM， ∵点M是弧AB的中点， ∴OM⊥AB， 过点O作OD⊥MN于点D， 由垂径定理，得MDMN＝2． 在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2， ∴OD2 故圆心O到弦MN的距离为2cm． （2）猜想：OM⊥AB 连接OA、OB，由M是弧AB的中点， 得∠AOM＝∠BOM， 又因为OA＝OB，所以OM⊥AB． （3）cos∠OMD， ∴∠OMD＝30°， ∵OM⊥AB， ∴∠ACM＝60°． 垂径定理的应用 题型三 解｜题｜技｜巧 把实际问题抽象为数学问题，在利用垂径定理中的勾股定理解决问题。 注意实际问题中的量对应的数学问题中的量，不能混淆。 【典例1】（2025春•郓城县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 解：连接OC，OC交AB于D， 由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2（米），∠ADO＝90°， ∴OD（米）， ∴CD＝OC﹣OD＝（3）米， 即点C到弦AB所在直线的距离是（3）米， 垂径定理的应用 题型三 D ∟ C 【典例2】（2025春•石景山区校级期中）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2寸，AB＝8寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为　　 尺． 垂径定理的应用 题型三 解：连接OA，设⊙O的半径是r寸, ∵CD⊥AB，AB＝8寸， ∴AE＝BE＝4（寸）， ∵OA2＝OE2+AE2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴CD＝2r＝10寸＝（尺）， 1 【典例3】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 解：由题意得：OC⊥AB， ∴AC＝BCAB，∠OCA＝90°， 由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知： OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得： AC4（cm）， ∴AB＝2AC＝8（cm）． 垂径定理的应用 题型三 C 弦、弧及圆心角之间的关系 题型四 解｜题｜技｜巧 在判断弦和弧的关系时，前提条件必须是同圆或等圆中，注意相等关系成立，加减运算关系不成立。涉及加减运算关系时，弦的大小关系要利用三角形的三边关系判断。 【典例1】下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解： （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等． （2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； （3）弧长相等的弧则所对的圆心角不一定相等．错误； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确； 弦、弧及圆心角之间的关系 题型四 A 【典例2】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 弦、弧及圆心角之间的关系 题型四 D 【典例3】如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 解：如图，取的中点H，连接AH、BH， 则， ∵弧AB长等于弧AC长的2倍， ∴， ∴AH＝BH＝AC， 在△ABH中，AH+BH＞AB， ∴AB＜2AC， 弦、弧及圆心角之间的关系 题型四 H C 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 题型五 解｜题｜技｜巧 【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC） （180°﹣84°）＝48°， 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 题型五 D 【变式1】（2025春•江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ． 解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°， ∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 题型五 30° 【变式2】（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 题型五 解： （1）如图1，连接OB， ∵直径AC⊥弦BD， ∴， ∵， ∴， ∴AE＝BD＝4， ∴BG＝2． 设OG＝x， ∵AG＝1， ∴OA＝OB＝x+1． 在Rt△OBG中， OG2+BG2＝OB2， 即x2+22＝（x+1）2， 解得，即． 【变式2】（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F． （1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长； （2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数． 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 题型五 （2）如图2，连接OB交AE于点H， 由（1）知AE＝BD， ∴OH＝OG． ∵AC⊥BD，OF＝OF， ∴Rt△OHF≌Rt△OGF， ∴∠GOF＝∠HOF＝20°， ∴∠AOH＝40°， ∴∠A＝50°， ∴∠COE＝2∠A＝100°． 【变式3】如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算 题型五 （1）证明：∵AB是⊙O的直径OD⊥BC， ∴，即点D为的中点； （2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴BE＝EC＝4，∴BC＝8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝6，∴， ∴OD＝OB＝5，∴， ∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2． 圆周角定理 题型六 解｜题｜技｜巧 在解决圆周角相关的题目时，遇圆周角找到其对应的弧及其这段弧对应的其他圆周角；遇直径则找到其所对的直角；在复杂的图形中，学会化简剥离图形。 在运用圆周角定理时，同样要注意前提条件必须是同圆或等圆中应用。还要注意特殊的弦（直径）。 【典例1】（2025春•平舆县期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接CD．若，则AC的长为（　　） A．3cm B． C．6cm D．12cm 解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵BD平分∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠CAD＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴ACCD36（cm）． 圆周角定理 题型六 C 【变式1】（2025春•高州市期中）如图，在圆O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD等于（　　） A．40° B．60° C．50° D．45° 解：∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD+∠D＝90°， 又∵∠ABC＝40°， ∴∠D＝∠ABC＝40°， ∴∠CAD+40°＝90°， 解得：∠CAD＝50°， 圆周角定理 题型六 C 【变式2】（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（　　） A．35° B．37° C．37.5° D．52.5° 圆周角定理 题型六 解：如图，连接OD．∵∠BOC＝35°， ∴∠OAC∠BOC35°＝17.5°， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝17.5°， ∵∠ACD＝35°， ∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝17.5°+35°＝52.5°， ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝52.5°， ∴∠COD＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣（52.5°+52.5°）＝75°， ∴∠DAC∠COD75°＝37.5°． C 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． （1）证明： ∵AB是⊙O的直径， CD⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠2， 又∵OA＝OC， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝∠2． 圆周角定理 题型六 （2）∵AB为⊙O的直径, 弦CD⊥AB，CD＝6， ∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3， 设⊙O的半径是R，EB＝2， 则OE＝R﹣2， 在Rt△OEC中， R2＝（R﹣2）2+32， 解得：， ∴⊙O的半径是． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）证明：∠BCO＝∠ACD； （2）若AE＝2，BE＝8，求弦CD的长． （1）证明：∵AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD＝∠B， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∴∠BCO＝∠ACD； 圆周角定理 题型六 （2）解： ∵AE＝2，BE＝8， ∴OA＝5，OE＝3， 在Rt△OCE中， CE4， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∴CD＝2CE＝8． 【典例1】（2025春•前郭县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠B＝110°，则∠AOC的度数为（　　） A．70° B．100° C．110° D．140° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝110°， ∴∠D＝180°﹣110°＝70°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°， 内接四边形的性质及其应用 题型七 D 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．120° D．132° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴180°＝∠A+∠BCD， ∵180°＝∠BCD+∠DCE， ∴∠DCE＝∠A＝64°， ∵所对的圆周角是∠A，所对的圆心角是∠BOD， ∴∠BOD＝2∠A＝2×64°＝128°， 内接四边形的性质及其应用 题型七 A 【变式2】（2025春•泗县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．若∠AEB＝73°，则∠ABC的度数为（　　） A．117° B．107° C．105° D．97° 解：∵BE∥CD， ∴∠ADC＝∠AEB＝73°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣73°＝107°， 内接四边形的性质及其应用 题型七 B 切线的性质与判定 题型八 解｜题｜技｜巧 在进行切线的判定时，通常情况下要么连半径，证垂直，要么你作垂直，证半径。注意证明垂直时可利用勾股定理证明垂直； 利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直；利用三角形的全等转换证明垂直； 利用平行线转换证明垂直。 在进行角度计算时，利用半径与切线垂直构造直角三角形解决问题。 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 切线的性质与判定 题型八 解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO， ∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE， ∵OE是半径，∴EF为⊙O的切线； （2）解： 设⊙O的半径EO＝BO＝r， 则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 【典例2】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． （1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； 切线的性质与判定 题型八 【典例2】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 切线的性质与判定 题型八  （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+42＝（OB+2）2， ∴OB＝3，∴AB＝6， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线；∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 【典例3】如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度． （1）证明：连接OA； ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∴OA⊥OC； 又∵AD∥OC， ∴OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线． 切线的性质与判定 题型八 【典例3】如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度． 切线的性质与判定 题型八 H ∟ （2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2， 在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2， ∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4， 作OH⊥AB于H，如图，OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，则AH＝BH， ∵OH•AE•OE•OA， ∴OH， 在Rt△AOH中，AH， ∵OH⊥AB，∴AB＝2AH． 切线长定理 题型九 解｜题｜技｜巧 回归切线长的概念以及切线长定理，注意圆心与圆外一点的连线，是平分两条切线形成的夹角的。 【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 切线长定理 题型九 B 【变式1】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（　　） A．12 B．6 C．8 D．10 解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B， ∴PA＝PB， ∵C是弧AB上任意一点， 过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E， ∴CD＝AD，CE＝BE， ∵△PDE的周长为12， ∴PD+DC+CE+PE＝PD+AD＝BE+PE＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6， 切线长定理 题型九 B 三角形的内切圆与外接圆 题型十 解｜题｜技｜巧 解决内切圆有关的题目时，抓住关键点“圆心到三边的距离相等”； 解决外接圆有关的问题时，抓住关键点“圆心到三个顶点的距离相等” 【典例1】（2025春•沈丘县期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长度为（　　） A． B．1 C． D．2 解：如图，连接OB，由圆周角定理得： ∠AOB＝2∠C＝2×45°＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝45°， ∴OA＝AB•cos∠OAB＝2， 三角形的内切圆与外接圆 题型十 C 【变式1】（2025春•宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（　　） A．52° B．62° C．68° D．72° 解：如图，连接BD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝90°﹣76°＝14°， 由圆周角定理得：∠DCA＝∠DBA＝14°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝76°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCA＝76°﹣14°＝62° 三角形的内切圆与外接圆 题型十 B 【典例2】（2025春•叶县期中）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 三角形的内切圆与外接圆 题型十 解：如图，连接AI，BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI， ∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， ∴DI∥AC，EI∥BC， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB， ∴DA＝DI，EB＝EI， ∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．所以图中阴影部分的周长为4． D 【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴， ∴∠CAD＝∠CBD＝25°， 三角形的内切圆与外接圆 题型十 C 正多边形和圆 题型十一 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用 【典例1】（2025春•泗阳县期中）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度数是（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 解：∵正六边形ABCDEF， ∴∠ABC＝∠C120°， 又∵正方形ABHG，AH是对角线， ∴∠HAB＝45°， 在四边形ABCM中， ∠HMC＝360°－120°－120°－45°＝75°， 正多边形和圆 题型十一 B 【变式1】（2025春•富顺县期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 解：连接OA、OE， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠AOE360°＝72°， ∵P为上一点， ∴∠APE∠AOE72°＝36°， 正多边形和圆 题型十一 B 【变式2】（2025春•固安县期中）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若CE＝2，则正六边形的周长为　 　 ． 解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F， ∵∠EBF是正六边形的外角， ∴∠EBF60°， ∵∠ECF是正八边形的外角， ∴∠ECF45°， 在Rt△ECF中， EC＝2，∠ECF＝45°， ∴EF＝FCEC， 正多边形和圆 题型十一 F ∟ 在Rt△EBF中， EF，∠EBF＝60°， ∴BE， ∴正六边形的周长为6＝4． 扇形的弧长与面积 题型十二 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用 【典例1】（2025春•乌当区校级期中）如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧AC的长度为（　　） A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm 解：∵圆饼的直径为20cm， ∴圆饼的半径为10cm， ∵圆弧AC的圆周角为45°， ∴圆弧AC的圆心角为90°， ∴圆弧AC的长度为：， 扇形的弧长与面积 题型十二 D 【变式1】（2025春•宝山区校级期中）如图所示，将一个半径OA＝10cm，圆心角∠AOB＝90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上，则点O运动的路线长为 　　 cm．（计算结果不取近似值） 解：点O运动的路径为： ， 扇形的弧长与面积 题型十二 15π 【典例2】（2025春•重庆校级期中）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 解：由圆周角定理可知∠AOB＝2∠ACB＝80°， 根据扇形面积公式计算可得： ， 扇形的弧长与面积 题型十二 A 【变式1】（2025春•新野县期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 扇形的弧长与面积 题型十二 解：∵∠DAB＝30°， ∴∠DOE＝2∠DAB＝60°， ∴∠ODE＝30°． 又∵OE＝2， ∴OD＝4，DE， 则⊙O的半径为4， ∴△AOD的面积为： ． ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE， ∠AOB＝∠BOD＝60°， ∴下面阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为： ． D 圆锥侧面积与全面积的计算 题型十三 解｜题｜技｜巧 熟记相关计算公式并应用，注意原图形与展开图之间的对应关系不能混淆。 【典例1】（2025春•杨浦区校级期中）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．18πcm2 B．18cm2 C．24cm2 D．24πcm2 解：设底面圆的半径为rcm．由题意：π•r2＝16π， ∴r＝4（负根已经舍弃）， ∴圆锥的侧面积•2π•4•6＝24π（cm2）， 圆锥侧面积与全面积的计算 题型十三 D 【变式1】（2025春•祁东县期中）将圆心角为90°，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　 ． 解：设这个圆锥的底面圆半径为r． 根据题意，得2πr2π×16， 解得r＝4，∴这个圆锥的底面圆半径为4． 4 【变式2】（2025春•杨浦区校级期中）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为　 　 cm2． 解：设圆锥的底面圆的半径为r cm 根据题意得， 解得r， 即该圆锥底面圆的半径为， ∴， 所以该圆锥的全面积为cm2． 圆锥侧面积与全面积的计算 题型十三 （跨章节/学科题型） 题型十四 解｜题｜技｜巧 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 　 　 cm．（结果保留π） 解：砝码被提起了：4π（cm）． （跨章节/学科题型） 题型十四 4π 【典例2】物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为 　 　 ． 解：设滑轮上点A转过的度数为n°， 由题意可知，点A转过的弧长为4πcm， ∴，解得n＝60， ∴滑轮上点A转过的度数为60°， 60° 【典例3】苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为 　 ． 解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝EF， ∠BAF＝∠AFE120°， ∴△BAF≌△AFE（SAS）， ∴∠ABF＝∠FAE， ∴∠1＝∠ABF+∠BAE ＝∠FAE+∠BAE ＝∠BAF ＝120°． （跨章节/学科题型） 题型十四 120° 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练 1．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（　　） A．2 B． C． D． 解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD， ∴CD＝AB＝3+7＝10， 过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M， 连接OC，OB， 则∠CNO＝∠BMO＝90°， M ∟ M ∟ ∵ON⊥CD，OM⊥AB， ON和OM斗过圆心O， ∴AM＝BM＝5， CN＝DN＝5， ∵ON2＝OC2﹣CN2， OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB， ∴ON＝OM， ∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB， ∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°， ∴四边形ONEM是正方形， ∴NE＝EM＝ON＝OM ＝AM﹣AE＝5﹣3＝2， A 期中基础通关练 2．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 解：如图，取圆心点O，连接OA、OD、OE、OF． O D F E ∵∠AOD＝2∠1，∠DOE＝2∠2， ∠EOF＝2∠3，∠BOF＝2∠4， ∴∠AOD+∠DOE+∠EOF+∠BOF ＝2（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°． B 期中基础通关练 3．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形． A．5 B．7 C．9 D．10 解：如图，设正五边形的两边交于点O， 正五边形的外角为， ∴∠1＝180°﹣2×72°＝36°， ∵， ∴要完成这一圆环还需要正五边形 10﹣3＝7（个） O B 1 期中重难突破练 1．如图AB，CD是⊙O中两条互相垂直的弦，BD＝6，AC＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 解：作直径AE、DF，连接CE、BF，如图， ∵AE、DF为直径， ∴∠ACE＝∠FBD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠AMD＝90°， ∴∠ADC+∠DAB＝90°， ∵∠ADC＝∠AEC， ∠DAB＝∠DFB， ∴∠AEC+∠DFB＝90°， ∵∠AEC+∠EAC＝90°， ∠EAC＝∠DFB， E F 在△ACE和△FBD中， ， ∴△ACE≌△FBD（AAS）， ∴CE＝BD＝6， 在Rt△ACE中， AE2， ∴⊙O的半径为． A 期中重难突破练 2.如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 解：如图所示，△ACB为四个全等的直角三角形其中之一， DH⊥AB，EG⊥AB，DI⊥EG，EF∥AB．DJ⊥AC，DK⊥CB． 易得四边形EFGB和DHGI均是矩形． 由于“弦图”为中心对称图形， 故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心， 构成的四边形为正方形．根据题意， EF＝DH＝IG＝6，OE＝OD， 则DEOE． 根据对称性可得AH＝FB＝EG． 设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 在Rt△ACB中，⊙D为内切圆， 易得四边形CJDK为边长等于6的正方形． 由切线长定理可得AJ＝AH，BK＝BH． ∴AB＝AH+BH＝AJ+BK+CJ+CK，即c＝a+b﹣12． 又∵AC＝AJ+CJ＝b，AB＝AH+GB+HG＝c， ∴HG＝DI＝c﹣（AH+GB） ＝c﹣（AJ+CJ）＝c﹣b． ∴EI＝EG﹣DH＝AC﹣CJ﹣DH ＝b﹣2×6＝b﹣12． 在Rt△DIE中，DE2＝EI2+DI2， 即（c﹣b）2+（c﹣a）2＝340． 整理得：2c2+a2+b2﹣2c（a+b）＝340． ∵a2+b2＝c2，a+b＝c+12． ∴c2﹣24c﹣340＝0，解得c＝34． D 92 期中重难突破练 3.如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） 解：作OD⊥BC交BC与点D， ∵∠COA＝60°， ∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°． ∴S扇形AOC； S扇形BOC． 在三角形OCD中，∠OCD＝30°， ∴OD，CD，BCR， D ∟ A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 B ∴S△OBC， S弓形， ， ∴S2＜S1＜S3． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $