专题04 圆（考点串讲，3个常考点+23种重难点题型+3个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

九年级新人教版数学上册期中考点大串讲 专题04 圆 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理，也可用思维导图 二十三大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题 精选7道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：圆的有关性质 例1如图，在☉ O 中， AB 是直径，弦 AC ＝5，∠ BAC ＝∠ D ，则 AB 的长为(　C　) A. 5 B. 10 C. 5 D. 10 C 考点透视 【变式1-1】如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB 是☉ O 的直径，点 C 为 的中点，弦 CE ⊥ AB 于点 F ，与 BD 交于点 G . (1)求证： BG ＝ CG ； (1)证明：∵点 C 为 的中点，∴ ＝ . ∵弦 CE ⊥ AB ， AB 是☉ O 的直径， ∴ ＝ .∴ ＝ ＝ . ∴∠ CBD ＝∠ BCE . ∴ BG ＝ CG . 如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB 是☉ O 的直径，点 C 为 的中 点，弦 CE ⊥ AB 于点 F ，与 BD 交于点 G . (2)若 OF ＝1，求 AD 的长. (2)解：过点 O 作 OM ⊥ BD ，垂足为 M . ∵ ＝ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ， 即 ＝ .∴ BD ＝ CE . ∵ OM ⊥ BD ， OF ⊥ CE ， ∴ OM ＝ OF ＝1， DM ＝ BM . ∵ OA ＝ OB ，∴ OM 是△ ABD 的中位线. ∴ OM ＝ AD . ∴ AD ＝2 OM ＝2. 【变式1-2】[2023合肥一模]如图，☉ O 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足 为 E ， AE ＝2， CD ＝8. (1)求☉ O 的半径； 解：(1)连接 OD . 设☉ O 的半径为 r . ∵ AB ⊥ CD ，∴∠ OED ＝90°， DE ＝ CE ＝ CD ＝ ×8＝4. 在Rt△ ODE 中， OE ＝ r －2， OD ＝ r ， DE ＝4， ∴( r －2)2＋42＝ r2，解得 r ＝5，即☉ O 的半径为5. [2023合肥一模]如图，☉ O 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足 为 E ， AE ＝2， CD ＝8. (2)连接 BC ，作 OF ⊥ BC 于点 F ，求 OF 的长. 解：(2)在Rt△ BCE 中， CE ＝4， BE ＝ AB － AE ＝8， ∴ BC ＝ ＝4 . ∵ OF ⊥ BC ，∴ BF ＝ BC ＝2 ，∠ OFB ＝90°. 在Rt△ OBF 中， OF ＝ ＝ ＝ . 考点二：点、直线与圆的位置关系 例2在数轴上，点 A 所表示的实数为5，点 B 所表示的实数为 a ，☉ A 的半径为3，要使点 B 在☉ A 内，则实数 a 的取值范围是(　D　) A. a ＜2 B. a ＜8 C. a ＞8 D. 2＜ a ＜8 D 【变式2-1】如图， PA ， PB 分别切☉ O 于点 A ， B ，并与☉ O 的切线 分别相交于点 D ， C ，已知△ PCD 的周长等于10 cm，则 PA ＝ ⁠cm. 5　 【变式2-2】[2023徐州]如图，在☉ O 中，直径 AB 与弦 CD 交于点 E . ＝2 ，连接 AD ，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于 点 F . 若∠ AFB ＝68°，则∠ DEB ＝ ⁠°. 66　 点思路：根据切线的性质得出∠ ABF ＝90°，结合∠ AFB ＝68°可求出∠ BAF 的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠ DEB 的度数. 【变式2-3】如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 O 在 AC 上，以 OA 长为半径的半圆 O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，过点 D 作半圆 O 的切线 DF ，交 BC 于点 F . (1)求证： BF ＝ DF ； (1)证明：如图，连接 OD . ∵ DF 是☉ O 的切线， ∴∠ ODF ＝90°. ∴∠ ADO ＋∠ BDF ＝90°. ∵ OA ＝ OD ， ∴∠ OAD ＝∠ ODA . ∴∠ OAD ＋∠ BDF ＝90°. ∵∠ C ＝90°，∴∠ OAD ＋∠ B ＝90°. ∴∠ B ＝∠ BDF . ∴ BF ＝ DF . (2)若 AC ＝4， BC ＝3， CF ＝1，求半圆 O 的半径. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 O 在 AC 上，以 OA 长为半径的半圆 O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，过点 D 作半圆 O 的切线 DF ，交 BC 于点 F . (2)解：如图，连接 OF . 设半圆 O 的半径为 r ，则 OD ＝ OA ＝ r . ∵ AC ＝4， BC ＝3， CF ＝1，∴ OC ＝ 4－ r ， DF ＝ BF ＝3－1＝2. 由勾股定理得 OD2＋ DF2＝ OF2＝ OC2＋ CF2，∴ r2＋22 ＝(4－ r )2＋12.∴ r ＝ .故半圆 O 的半径为 . 考点三：弧长和扇形面积 例3[2023镇江二模]如图，正方形 ABCD 的边长是2，延长 AB 到点 E ，以点 A 为圆心， AE 长为半径的弧恰好经过正方形的顶点 C ，则 的长为 ⁠. 　 点拨：连接 AC . 由勾股定理得 AC ＝ ＝2 . ∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠ EAC ＝45°. ∴ 的长为 ＝ . 【变式3-1】[2023杭州一模]如图，在菱形 ABCD 中，分别以点 B ， D 为圆心， BD 长为半径画弧，分别交边 BC ， AD 于点 E ， F . 若 AB ＝4，∠ BAD ＝60°，则图中阴影部分的面积为 .(结果不取近似值) 　 【变式3-2】[2024苏州期末]如图，☉ O 的圆心 O 与正三角形 ABC 的 中心重合，已知☉ O 的半径和扇形 ABC 的半径都是6 . (1)若将扇形 ABC 围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h . ①求扇形 ABC 的弧长； 解：(1)①∵△ ABC 是正三角形， ∴∠ BAC ＝60°. ∴ l扇形 ABC ＝ ＝2 π. ② h 的值为 ⁠； 　 (2)☉ O 上任意一点到正三角形 ABC 上任意一点的距离的最小值为 ⁠. 6 －6　 [2024苏州期末]如图，☉ O 的圆心 O 与正三角形 ABC 的中心重合，已知☉ O 的半径和扇形 ABC 的半径都是6 . 点拨：连接 OB 并延长，交☉ O 于点 D ，作 OE ⊥ BC 于 E ， 则 OB 是点 O 到△ ABC 边上最长的线段. ∵☉ O 的半径和扇形 ABC 的半径都是6 ， ∴ OD ＝6 ， AB ＝6 . 又∵△ ABC 为正三角形，∴ BC ＝ AB ＝6 . ∵ O 是正三角形 ABC 的中心， OE ⊥ BC ， ∴∠ OBE ＝30°，∠ OEB ＝90°， BE ＝ BC ＝3 . ∴ OB ＝2 OE . ∴ OB2－ OB2＝(3 )2，解得 OB ＝6(负值已舍去). ∴ DB ＝6 －6. ∴☉ O 上任意一点到正三角形 ABC 上任意一点的距离的 最小值为6 －6. 题型一：直接运用勾股定理计算 例4如图，☉ O 的直径 CD ＝10， AB 是☉ O 的弦， AB ⊥ CD ，垂足为 M ， OM ＝ OD ，求弦 AB 的长. 题型剖析 解：连接 OA . ∵☉ O 的直径 CD ＝10， ∴ OA ＝ OD ＝5. ∵ OM ＝ OD ， ∴ OM ＝3. ∵ AB ⊥ CD ，且 CD 为☉ O 的直径， ∴ AM ＝ ＝4， AB ＝2 AM . ∴ AB ＝8. 题型二：运用“单勾股”列方程 例5如图， AB 是☉ O 的一条弦，点 C 是 AB 的中点，连接 OC 并延长交☉ O 于点 D ，连接 OB ， DB . 若 AB ＝4， CD ＝1，求△ BOD 的面积. 解：设☉ O 的半径是 r ，则 OB ＝ OD ＝ r ， ∴ OC ＝ OD － CD ＝ r －1. ∵点 C 是 AB 的中点， OC 过圆心 O ， ∴ BC ＝ AB ＝2， OC ⊥ AB . ∴∠ OCB ＝90°. ∵在Rt△ OBC 中， OB2＝ OC2＋ BC2， ∴ r2＝( r －1)2＋22. ∴ r ＝ . ∴ OD ＝ . ∴ S△ BOD ＝ OD · BC ＝ × ×2＝ . 题型三：运用“双勾股”列方程 例6[2023武汉月考]如图，在☉ O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于点 E ，连接 AD . 若 AD ＝4 ， OE ＝3，求 CD 的长. 解：连接 OD . ∵ AB ⊥ CD ，且 AB 是☉ O 的直径，∴ CE ＝ DE . 设☉ O 的半径为 R . ∵在Rt△ ODE 中， OE ＝3， OD ＝ R ， ∴ DE2＝ R2－9. ∵在Rt△ ADE 中， AD ＝4 ， AE ＝ R ＋3， ∴ DE2＝(4 )2－( R ＋3)2. ∴ R2－9＝(4 )2－( R ＋3)2，解得 R ＝5或 R ＝－8(不合 题意，舍去).∴ DE ＝4. ∴ CD ＝2 DE ＝8. 题型四：作圆心到弦的垂线段构造直角三角形 例7[2023广州期中]如图，☉ O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E ，∠ DEB ＝30°， AE ＝2， EB ＝6，求 CD 的长. 解：过点 O 作 OF ⊥ CD 于点 F ，连接 OD ， 则 F 为 CD 的中点，即 CF ＝ DF . ∵ AE ＝2， EB ＝6， ∴ AB ＝ AE ＋ EB ＝2＋6＝8. ∴ OD ＝ OA ＝4. ∴ OE ＝ OA － AE ＝4－2＝2. ∵在Rt△ OEF 中，∠ DEB ＝30°， ∴ OF ＝ OE ＝1. ∵在Rt△ ODF 中， OF ＝1， OD ＝4， ∴ DF ＝ ＝ ＝ . ∴ CD ＝2 DF ＝2 . 题型五：弧、弦之间的关系 例8[2023苏州模拟]如图，正方形 ABCD 内接于☉ O ， ＝ . 求证： BM ＝ CM . 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ CD . ∴ ＝ . ∵ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ＋ ，即 ＝ . ∴ BM ＝ CM . 题型六：圆周角、弧之间的关系 例9[2023无锡模拟]如图，已知四边形 ABCD 内接于☉ O ， ＝ ， AD ， BC 的延长线相交于点 E ， AF 为直径，连接 BF . 若∠ BAF ＝32°，∠ E ＝40°，则∠ CBF 的度数为(　D　) A. 16° B. 24° C. 12° D. 14° D 【变式9-1】如图， AB 是☉ O 的直径， CD 是弦，连接 AC ， AD . 若 ∠ BAC ＝40°，则∠ D ＝ ⁠°. 50　 【变式9-2】[2023深圳]如图，在☉ O 中， AB 为直径， C 为圆上一点， ∠ BAC 的平分线与☉ O 交于点 D ，若∠ ADC ＝20°，则∠ BAD ＝ ⁠. 35°　 题型七：弦、圆心角之间的关系 例10如图，在同圆中，若∠ AOC ＝2∠ BOD ，则 AC 2 BD . (填“＞”“＜”或“＝”) ＜　 题型八：弦、弧、圆心角之间的关系 例11如图， AB 是☉ O 的直径， AC ＝ BD ，∠ COD ＝60°.求证： (1) ＝ ； 证明：(1)∵ AC ＝ BD ， ∴ ＝ . ∴ ＋ ＝ ＋ .∴ ＝ . 如图， AB 是☉ O 的直径， AC ＝ BD ，∠ COD ＝60°.求证： (2) OC ∥ BD . 证明：(2)∵ ＝ ，∴∠ COA ＝∠ BOD . ∵∠ COD ＝60°，∴∠ COA ＝∠ BOD ＝60°. ∵ OB ＝ OD ，∴△ BDO 是等边三角形. ∴∠ COD ＝∠ ODB ＝60°.∴ OC ∥ BD . 题型九：补短法在圆中的应用 例12从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图， PA ， PB 组成☉ O 的一条折弦. C 是劣弧 AB 的中点，直线 CD ⊥ PA 于点 E ，则 AE ＝ PE ＋ PB . 证明该结论是否成立.请写出证明过程.(提示：可连接 AD ， BD ，延长 DB ， AP 相交于点 F ) 证明：如图，连接 AD ， DB ，延长 DB ， AP 相交于点 F . ∵四边形 ADBP 是☉ O 的内接四边形，∴∠ PBF ＝∠ A . ∵ C 是劣弧 AB 的中点， ∴ ＝ .∴∠ CDA ＝∠ CDF . 易得△ AFD 为等腰三角形， ∴∠ F ＝∠ A . ∴∠ PBF ＝∠ F . ∴ PB ＝ PF . ∵ CD ⊥ PA ，△ AFD 是等腰三角形， ∴ AE ＝ EF . ∵ EF ＝ PE ＋ PF ， ∴ AE ＝ PE ＋ PB . ∴该结论成立. 【变式12-1】如图， M 是等边△ ABC 的外接圆 上的一点，判断 MA ， MB ， MC 之间的关系，并给出证明过程. ∴ AC ＝ BC ，∠ BAC ＝60°. ∴∠ CMN ＝60°.∴△ CMN 是等边三角形. ∴∠ BNC ＝60°. 易知∠ AMC ＝60°，∴∠ AMC ＝∠ BNC . 在△ MAC 和△ NBC 中， ∠ AMC ＝∠ BNC ，∠ MAC ＝∠ NBC ， AC ＝ BC ， ∴△ MAC ≌△ NBC . ∴ MA ＝ NB . ∴ MA ＝ MB ＋ MN ＝ MB ＋ MC . ∵△ ABC 是等边三角形， 解： MA ＝ MB ＋ MC . 证明：延长 BM 到点 N ，使 MN ＝ MC ，连接 CN ，如图. 题型十：截长法在圆中的应用 例13如图，等腰△ ABC 中， AC ＝ BC ，☉ O 为△ ABC 的外接圆， D 为☉ O 上一点， CE ⊥ AD 于点 E ，求证： AE ＝ BD ＋ DE . 证明：如图，在 AE 上截取 AF ＝ BD ，连接 CF ， CD . 在△ ACF 和△ BCD 中 ∴△ ACF ≌△ BCD . ∴ CF ＝ CD . ∵ CE ⊥ AD 于点 E ，∴ EF ＝ DE . ∴ AE ＝ AF ＋ EF ＝ BD ＋ DE . 【变式13-1】如图，△ ABC 内接于☉ O ， AC ＝ BC ， CD 是☉ O 的一条弦，且 ＝ ，过点 A 作 AP ⊥ CD ，分别交 CD ，☉ O 于点 E ， P ，连接 BP ，若 CD ＝6，△ ABP 的周长为13， 求 AE 的长. 解：如图，在 AE 上截取 AF ＝ BP ，连接 CF ， PC . ∵ AC ＝ BC ，∠ CAF ＝∠ CBP ， ∴△ CAF ≌△ CBP . ∴ CF ＝ CP . ∵ CD ⊥ AP ，∴ EF ＝ PE . ∴ AE ＝ AF ＋ FE ＝ PB ＋ PE . ∵ ＝ ，∴ ＝ .∴ AB ＝ CD ＝6. ∵ AC ＝ BC ，∴ ＝ . ∵△ ABP 的周长是13， ∴ AP ＋ PB ＝13－6＝7. ∵ AE ＝ PE ＋ PB ， ∴2 AE ＝ AP ＋ PB ＝7. ∴ AE ＝ . 题型十一：有公共点：连半径，证垂直 方法 1 利用勾股定理的逆定理证垂直 例14[2023芜湖月考]如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，4)， B (4，4)， C (6，2). (1)仅用无刻度的直尺，找出经过 A ， B ， C 三点的圆弧所在圆的圆心 P ，并直接写出圆心 P 的坐标为 ⁠； (2， 0) 解：(1)作点 P 如图. [2023芜湖月考]如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，4)， B (4，4)， C (6，2). (2)点 D 的坐标为(8，－2)，连接 CD ，求直线 CD 与☉ P 的位置关系. 解：(2)如图，连接 PC ， PD . 易知 PC2＝42＋22＝20， CD2＝42＋22＝20， PD2＝62＋22＝40， ∴ PD2＝ PC2＋ CD2.∴∠ PCD ＝90°. 又∵ PC 为☉ P 的半径，∴直线 CD 与☉ P 相切. 方法 2 通过特殊角的计算证垂直 例15如图，已知 AB 是☉ O 的直径， AC 是☉ O 的弦，过点 C 的直线与 AB 的延长线相交于点 P ，且 AC ＝ PC ，∠ P ＝30°. 求证： PC 是☉ O 的切线. 证明：连接 OC . ∵ AC ＝ PC ，∠ P ＝30°， ∴∠ A ＝∠ P ＝30°. ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ A ＝∠ OCA . ∴∠ BOC ＝2∠ A ＝60°. ∴∠ PCO ＝180°－∠ P －∠ POC ＝90°， 即 OC ⊥ PC . ∵ OC 是☉ O 的半径，∴ PC 是☉ O 的切线. 方法 3 借助等角代换证垂直 例16[2024盐城开学考试]如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是 BC 上一点，以 BD 为直径的☉ O 过点 A ，连接 AD ，∠ CAD ＝∠ C . (1)求证： AC 是☉ O 的切线； 2 3 5 6 7 8 1 (1)证明：连接 OA ，∵ OA ＝ OB ， ∴∠ OBA ＝∠ OAB . ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ OBA ＝∠ C . ∴∠ OAB ＝∠ C . ∵∠ CAD ＝∠ C ，∴∠ OAB ＝∠ CAD . ∵ BD 是☉ O 的直径，∴∠ BAD ＝90°. ∴∠ OAC ＝∠ BAD －∠ OAB ＋∠ CAD ＝90°. ∴ OA ⊥ AC . ∵ OA 是☉ O 半径，∴ AC 是☉ O 的切线. [2024盐城开学考试]如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是 BC 上一点，以 BD 为直径的☉ O 过点 A ，连接 AD ，∠ CAD ＝∠ C . (2)若 AC ＝6，求☉ O 的半径. (2)解：由(1)可知∠ OAC ＝90°， ∠ AOD ＝2∠ B ＝2∠ C . ∴3∠ C ＝180°－∠ OAC ＝90°. ∴∠ C ＝30°.∴ OC ＝2 OA . 在Rt△ OAC 中， OA2＋ AC2＝ OC2. 又∵ AC ＝6，∴ OA ＝2 ，即☉ O 的半径为2 . 【变式16-1】如图，四边形 ABCD 是正方形，点 A ， B 在☉ O 上，边 DA 的延长线交☉ O 于点 E ，对角线 DB 的延长线交☉ O 于点 F ，连接 EF 并延长至点 G ，使∠ FBG ＝∠ FAB . (1)求证： BG 与☉ O 相切； (1)证明：如图，连接 BE . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BAD ＝∠ BAE ＝90°. ∴ BE 是☉ O 的直径. ∵∠ FAB ＋∠ EAF ＝90°， ∠ EAF ＝∠ EBF ，∠ FBG ＝∠ FAB ， ∴∠ FBG ＋∠ EBF ＝90°. ∴∠ OBG ＝90°，即 EB ⊥ BG . ∵ EB 是☉ O 的直径，∴ BG 是☉ O 的切线. 【变式16-2】如图，四边形 ABCD 是正方形，点 A ， B 在☉ O 上，边 DA 的延长线交☉ O 于点 E ，对角线 DB 的延长线交☉ O 于 点 F ，连接 EF 并延长至点 G ，使∠ FBG ＝∠ FAB . (2)若☉ O 的半径为1，求 AF 的长. (2)解：如图，连接 OA ， OF . ∵四边形 ABCD 是正方形， DB 是其对角线， BE 是☉ O 的直径， ∴∠ EFD ＝90°，∠ FDE ＝45°. ∴∠ FED ＝45°.∴∠ AOF ＝2∠ FED ＝90°. ∵ OA ＝ OF ＝1， ∴ AF2＝ AO2＋ FO2.∴ AF ＝ . 方法 4 利用平行线证垂直 例17如图， AB 是☉ O 的直径， AE 是弦， C 是 的中点，过 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， CD 交 AE 于点 F ，过 C 作 CG ∥ AE 交 BA 的延长线于点 G . (1)求证： CG 是☉ O 的切线； 证明：(1)如图，连接 OC . ∵ C 是 的中点， ∴ OC ⊥ AE . ∵ CG ∥ AE ，∴ CG ⊥ OC . ∵ OC 是☉ O 的半径，∴ CG 是☉ O 的切线. 如图， AB 是☉ O 的直径， AE 是弦， C 是 的中点，过 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， CD 交 AE 于点 F ，过 C 作 CG ∥ AE 交 BA 的延长线于点 G . (2)求证：点 F 在 AC 的中垂线上. 证明：(2)如图，连接 AC ， BC . ∵ AB 是☉ O 的直径， ∴∠ ACB ＝90°.∴∠2＋∠ BCD ＝90°. ∵ CD ⊥ AB ，∴∠ B ＋∠ BCD ＝90°.∴∠ B ＝∠2. ∵ C 是 的中点， ∴ ＝ .∴∠1＝∠ B . ∴∠1＝∠2. ∴ AF ＝ CF . ∴点 F 在 AC 的中垂线上. 方法 5 利用全等证垂直 例18如图， AB 为☉ O 的直径，过圆上一点 D 作☉ O 的切线 CD 交 BA 的延长线于点 C ，过点 O 作 OE ∥ AD 交 CD 的延长 线于点 E ，连接 BE . (1)直线 BE 与☉ O 相切吗？请说明理由. 解：(1)直线 BE 与☉ O 相切. 理由：连接 OD ， ∵ CD 与☉ O 相切于点 D ， ∴∠ ODE ＝90°. ∵ AD ∥ OE ，∴∠ ADO ＝∠ DOE ，∠ DAO ＝∠ EOB . ∵ OD ＝ OA ，∴∠ ADO ＝∠ DAO . ∴∠ DOE ＝∠ EOB . ∵ OD ＝ OB ， OE ＝ OE ，∴△ DOE ≌△ BOE . ∴∠ OBE ＝∠ ODE ＝90°.∴ OB ⊥ BE . ∵ OB 是☉ O 的半径，∴直线 BE 与☉ O 相切. 如图， AB 为☉ O 的直径，过圆上一点 D 作☉ O 的切线 CD 交 BA 的延长线于点 C ，过点 O 作 OE ∥ AD 交 CD 的延长线于点 E ，连接 BE . (2)若 CA ＝2， CD ＝4，求 DE 的长. 解：(2)设☉ O 的半径为 r ， 在Rt△ ODC 中， OD2＋ DC2＝ OC2， ∴ r2＋42＝( r ＋2)2.∴ r ＝3. ∴ AB ＝2 r ＝6.∴ BC ＝ AC ＋ AB ＝2＋6＝8. 由(1)知△ DOE ≌△ BOE ，∴ DE ＝ BE . 在Rt△ BCE 中， BC2＋ BE2＝ CE2， ∴82＋ DE2＝(4＋ DE )2.∴ DE ＝6. 题型十二：无切点：作垂直，证半径 方法 6 利用角平分线性质证半径 例19如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AB 边的中点，点 O 在 AC 边上，☉ O 经过点 C 且与 AB 边相切于点 E ，∠ FAC ＝ ∠ BDC . (1)求证： AF 是☉ O 的切线； (1)证明：如图，作 OH ⊥ FA ，垂足为点 H ，连接 OE . ∵∠ ACB ＝90°， D 是 AB 的中点， ∴ CD ＝ AD ＝ AB . ∴∠ CAD ＝∠ ACD . ∴∠ BDC ＝∠ CAD ＋∠ ACD ＝2∠ CAD . 又∵∠ FAC ＝ ∠ BDC ，∴∠ FAC ＝∠ CAD ， 即 AC 是∠ FAB 的平分线. ∵☉ O 与 AB 相切于点 E ， ∴ OE ⊥ AB ，且 OE 是☉ O 的半径. 又∵ 点 O 在 AC 上， OH ⊥ FA ，∴ OH ＝ OE ，即 OH 是☉ O 半径.∴ AF 是☉ O 的切线. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AB 边的中点，点 O 在 AC 边上，☉ O 经过点 C 且与 AB 边相切于点 E ，∠ FAC ＝ ∠ BDC . (2)若 BC ＝6， AB ＝10，求☉ O 的半径长. (2)解：在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝6， AB ＝10， ∴ AC ＝ ＝ ＝8. ∵ BE ， BC 是☉ O 的切线，∴ BC ＝ BE ＝6. ∴ AE ＝10－6＝4. 设☉ O 的半径为 r ，则 OC ＝ OE ＝ r ， 在Rt△ OEA 中， OE2＋ AE2＝ OA2， ∴ r2＋16＝(8－ r )2，解得 r ＝3.∴☉ O 的半径长为3. 方法 7 利用全等三角形证半径 例20如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝90°， AD ＋ BC ＝ CD ，以 AB 为直径作☉ O . 求证： CD 与☉ O 相切. 证明：如图，连接 CO 并延长，交 DA 的延长线于点 H ， 过点 O 作 OE ⊥ CD 于点 E ， ∵∠ DAB ＝∠ B ＝90°，∠ AOH ＝∠ BOC ， AO ＝ BO ， ∴△ AOH ≌△ BOC . ∴ AH ＝ BC ， HO ＝ CO . ∵ AD ＋ BC ＝ CD ， AH ＋ AD ＝ HD ， ∴ CD ＝ DH . ∴∠ H ＝∠ DCH . ∵∠ OAH ＝∠ OEC ＝90°， HO ＝ CO ， ∴△ AHO ≌△ ECO . ∴ AO ＝ OE . ∴ OE 为☉ O 的半径. 又∵ OE ⊥ EC ，∴ CD 与☉ O 相切. 题型十三：作差法求面积 例21如图，∠ AOB ＝90°，∠ B ＝30°，以点 O 为圆心， OA 长为半径作弧，交 AB 于点 C ，交 OB 于点 D ，若 OA ＝4，则阴影部分的面积为(　A　) A A. B. ＋4 C. 4 D. 4 － 【变式21-1】如图， C ， D 是以 AB 为直径的半圆上的两点，∠ CAB ＝∠ DBA ，连接 BC ， CD . (1)求证： CD ∥ AB ； (1)证明：∵ ＝ ， ∴∠ ACD ＝∠ DBA . 又∵∠ CAB ＝∠ DBA ， ∴∠ CAB ＝∠ ACD . ∴ CD ∥ AB . 如图， C ， D 是以 AB 为直径的半圆上的两点，∠ CAB ＝∠ DBA ， 连接 BC ， CD . (2)若 AB ＝4，∠ ACD ＝30°，求阴影部分的面积. ∵∠ ACD ＝30°，∴∠ AOD ＝60°. ∴∠ BOD ＝120°，∠ ODE ＝30°. ∵ AB ＝4，∴ OB ＝ OD ＝2. ∴ S扇形 BOD ＝ ＝ π， OE ＝1. 在Rt△ ODE 中， DE ＝ ＝ ＝ ， ∴ S△ BOD ＝ OB · DE ＝ ×2× ＝ . ∴ S阴影＝ S扇形 BOD － S△ BOD ＝ π－ . (2)解：如图，连接 OD ，过点 D 作 DE ⊥ AB ，垂足为 E . 题型十四：等积法求面积 例22如图，在半径为5的扇形 AOB 中，∠ AOB ＝90°， C 是 上一点， CD ⊥ OA ， CE ⊥ OB ，垂足分别为 D ， E ，若 CD ＝ CE ，则图中阴影部分的面积为(　B　) A. B. C. D. B 点拨：连接 OC . ∵∠ AOB ＝90°， CD ⊥ OA ， CE ⊥ OB ， ∴∠ AOB ＝∠ ODC ＝∠ OEC ＝90°. ∴四边形 OECD 是矩形. 又∵ CD ＝ CE ，∴四边形 OECD 是正方形. ∴∠ DCE ＝∠ CEO ＝90°，∠ CED ＝∠ EOC ＝45°. 又∵ CD ＝ EC ，∴△ CDE ≌△ ECO . ∴ S△ CDE ＝ S△ ECO . ∴ S阴影＝ S△ DCE ＋ S半弓形 BCE ＝ S△ OCE ＋ S半弓形 BCE ＝ S扇形 COB ＝ ＝ ，故选B. 【变式22-1】 如图，等边三角形 ABC 内接于☉ O ，若☉ O 的半径为2， 则图中阴影部分的面积等于(　C　) A. B. π C. π D. 2π C 【变式22-2】[2023保定期末]如图， AB 是☉ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ， 交 AB 于点 E ，连接 AC ，∠ CDB ＝30°， CD ＝4 . (1)∠ CAB ＝ ⁠； 30°　 [2023保定期末]如图， AB 是☉ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，交 AB 于点 E ， 连接 AC ，∠ CDB ＝30°， CD ＝4 . (2)求半径 OC 的长； 解：(2)∵ AB 是☉ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ， CD ＝4 ，∴ CE ＝ CD ＝2 . ∵∠ COE ＝2∠ CAB ＝60°，∴∠ OCE ＝30°. ∴设 OE ＝ x ，则 OC ＝2 x .根据勾股定理，得 x2＋(2 )2＝(2 x )2，解得 x ＝2(负值已舍去).∴ OC ＝4. [2023保定期末]如图， AB 是☉ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，交 AB 于点 E ， 连接 AC ，∠ CDB ＝30°， CD ＝4 . (3)求 的长； 解：(3) 的长为 ＝ π. [2023保定期末]如图， AB 是☉ O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，交 AB 于点 E ， 连接 AC ，∠ CDB ＝30°， CD ＝4 . (4)求阴影部分的面积. 解：(4)根据题意可知， S阴影＝ S扇形 BOC ＝ ＝ π. 题型十五：割补法求面积 例23如图，已知☉ O 的半径为1， AB 是直径，分别以点 A ， B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧.两弧相交于 C ， D 两点， 求图中阴影部分的面积. 解：如图，连接 BC ， AC ， CO . 由题意可知 AC ＝ BC ＝ AB ＝2. ∴△ ACB 为等边三角形.∴∠ BAC ＝60°. ∵ O 是 AB 的中点， ∴ CO ⊥ AB . ∴∠ OCA ＝30°.易得 OC ＝ . ∴ S弓形 BC ＝ S扇形 BAC － S△ ABC . ∴ S阴影＝4 S弓形 BC ＋2 S△ ABC － S☉ O ＝4( S扇形 BAC － S△ ABC ) ＋2 S△ ABC － S☉ O ＝4 S扇形 BAC －2 S△ ABC － S☉ O ＝4× －2× ×2× －π×12＝ π－2 . 题型十六：平移法求面积 例24如图，在两个半圆中，点 O 的大半圆的圆心，长为4的弦 AB 与直径 CD 平行且与小半圆相切，求图中阴影部分的面积. 解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所 示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积. 作 OP ⊥ AB 于 P (易知 P 为切点)，连接 OB ，则 BP ＝ AB ＝2. ∴ S阴影＝ · OB2－ π· OP2＝ π( OB2－ OP2)＝ π· BP2＝ π·22＝2π. 【变式24-1】如图，在平面直角坐标系中，以点 A (5，1)为圆心，2个单 位长度为半径的☉ A 交 x 轴于点 B ， C ，解答下列问题： (1)将☉ A 向左平移 个单位长度与 y 轴首次相切，得到☉A'，此时点A'的坐标为 ，阴影部分的面积 S ＝ ⁠； 3　 (2，1)　 6　 (2)求 BC 的长. 如图，在平面直角坐标系中，以点 A (5，1)为圆心，2个单位长度为半径的☉ A 交 x 轴于点 B ， C ，解答下列问题： 由 A (5，1)可得 AD ＝1. 又∵☉ A 的半径 AC ＝2， ∴在Rt△ ADC 中， 解：如图，连接 AC ，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，则 BC ＝2 DC . DC ＝ ＝ ＝ . ∴ BC ＝2 . 题型十七：化零为整法求面积 例25如图，三个小正方形的边长都为1，图中阴影部分都是半径为1的扇形，求图中阴影部分的面积.(结果保留π) 解：如图，由题意得∠1＋∠2＝180°－90°－45°＝45°， ∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°. ∴图中阴影部分的圆心角的和是180°－45°＝135°. ∴ S阴影＝ ＝ . 题型十八：半径的计算 例26如图，已知 AB 为☉ O 的直径， CD 是弦，且 AB ⊥ CD 于 点 E ，连接 AC ， OC ， BC . (1)若∠ ACO ＝25°，求∠ BCD 的度数； 解：(1)∵ AB 为☉ O 的直径， CD 是弦， 且 AB ⊥ CD 于点 E ， ∴ ＝ ， CE ＝ ED ，∠ CEO ＝90°. ∴∠ BCD ＝∠ BAC . ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ OAC ＝∠ OCA . ∴∠ BCD ＝∠ ACO ＝25°. 如图，已知 AB 为☉ O 的直径， CD 是弦，且 AB ⊥ CD 于点 E ， 连接 AC ， OC ， BC . (2)若 EB ＝4 cm， CD ＝16 cm，求☉ O 的半径. 解：(2)设☉ O 的半径为 r cm. ∵ CE ＝ ED ，∴ CE ＝ CD ＝ ×16＝8(cm). ∵ EB ＝4 cm，∴ OE ＝( r －4)cm. 在Rt△ CEO 中， OC2＝ OE2＋ CE2， ∴ r2＝( r －4)2＋82.∴ r ＝10.∴☉ O 的半径为10 cm. 题型十九：弧长的计算 例27如图，在▱ ABCD 中，∠ D ＝60°，对角线 AC ⊥ BC ，☉ O 经过点 A ， B ，与 AC 交于点 M ，连接 AO 并延长，与☉ O 交于点 F ，与 CB 的延长线交于点 E ， AB ＝ EB . (1)求证： EC 是☉ O 的切线； (1)证明：如图，连接 OB . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ ABC ＝∠ D ＝60°. ∵∠ ABC ＝∠ E ＋∠ BAE ＝60°， BE ＝ AB ， ∴∠ E ＝∠ BAE ＝30°. ∵ OA ＝ OB ， ∴∠ ABO ＝∠ OAB ＝30°. ∴∠ OBC ＝30°＋60°＝90°，即 OB ⊥ CE . ∵ OB 是☉ O 的半径，∴ EC 是☉ O 的切线. 如图，在▱ ABCD 中，∠ D ＝60°，对角线 AC ⊥ BC ，☉ O 经过点 A ， B ，与 AC 交于点 M ，连接 AO 并延长，与☉ O 交于点 F ，与 CB 的延 长线交于点 E ， AB ＝ EB . (2)若 AD ＝3 ，求弧 AM 的长(结果保留π). (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ BC ＝ AD ＝3 . 如图，连接 OM ，过点 O 作 OH ⊥ AM 于点 H ，则四边形 OBCH 是矩形， ∠ AOM ＝2∠ AOH . ∴ OH ＝ BC ＝3 ， OH ∥ BC . ∴∠ AOH ＝∠ AEC ＝30°. 设 AH ＝ x ，则 OA ＝2 x . 在Rt△ AOH 中， x2＋(3 )2＝(2 x )2， 解得 x ＝3(负值已舍去).∴2 x ＝6.∴ OA ＝6. ∵∠ AOM ＝2∠ AOH ＝60°，∴弧 AM 的长为 ＝2π. 题型二十：面积的计算 例28如图，已知 AB 是☉ O 的直径，半径 OD ⊥弦 BC 于点 E ， ∠ BOD ＝60°. (1)求证： OE ＝ DE ； (1)证明：连接 BD . ∵∠ BOD ＝60°， OB ＝ OD ， ∴△ OBD 是等边三角形. 又∵ OD ⊥ BC ，∴ OE ＝ DE . 如图，已知 AB 是☉ O 的直径，半径 OD ⊥弦 BC 于点 E ，∠ BOD ＝60°. (2)若 OE ＝1，求图中阴影部分的面积. (2)解：连接 OC . ∵ OD ⊥ BC ， OC ＝ OB ， ∴∠ COE ＝∠ BOE ＝60°. ∴∠ OCE ＝30°，∠ AOC ＝60°. ∴ OC ＝2 OE ＝2. ∴ CE ＝ ＝ ＝ . ∴ S阴影＝ S扇形 AOC ＋ S△ COE ＝ ＋ × ×1＝ ＋ . 题型二十一：实际应用中的计算 应用 1 利用垂径定理解决拱桥问题 例29[2024泰州期末]如图是一座圆弧形拱桥的截面示意图，若桥面跨度 AB ＝48 m，拱高 CD ＝16 m( C 为 AB 的中点， D 为弧 AB 的中点)，则拱桥所在圆的半径为 ⁠m. 26　 应用 2 利用圆周角定理推论解决航行问题 例30[教材P91习题T17变式]如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠ C ＝65°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔 A ， B 的张角∠ ASB 应满足的条件是(　D　) A. ∠ ASB ＞32.5° B. ∠ ASB ＞65° C. ∠ ASB ＜32.5° D. ∠ ASB ＜65° D 应用 3 利用直线与圆的位置关系解决范围问题 例31某省将地处 A ， B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便 A ， B 两地师生的交通，学校准备在相距2.732 km的 A ， B 两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段 AB ).经测量，在 A 地的北偏东60°方向与 B 地的北偏西45°方向交汇处 C 处有一个半径为 0.7 km的公园，问：计划修筑的 这条公路会不会穿过公园？为什 么？( ≈1.732) 解：计划修筑的这条公路不会穿过公园.理由如下： 过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为点 D . 由题意可得∠ CAB ＝30°，∠ CBA ＝45°. 在Rt△ CDB 中， ∠ BCD ＝90°－∠ CBD ＝45°， ∴∠ CBD ＝∠ BCD . ∴ BD ＝ CD . 在Rt△ ACD 中，∠ CAB ＝30°，∴ AC ＝2 CD . 设 CD ＝ DB ＝ x km，则 AC ＝2 x km. 由勾股定理得 AD ＝ ＝ ＝ x (km). ∵ AB ＝ AD ＋ DB ＝2.732 km， ∴ x ＋ x ＝2.732. ∴ x ≈1，即 CD ≈1 km＞0.7 km， 即以点 C 为圆心，0.7 km为半径的圆与 AB 相离. ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园. 应用 4 利用弧长公式解决滑轮问题 例32【新趋势 跨学科】如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm(结果保留π). 5π　 应用 5 利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题 例32某工厂生产一批漏斗，工人师傅要把一块矩形铁皮加工成底面圆半径为20 cm，高为40 cm的圆锥形漏斗，并且要求只有一条接缝(接缝忽略不计).请问：选长、宽分别为多少的矩形铁皮(如图所示)，才能最节约成本(即用料最少)？ 解：根据圆锥的底面圆半径为20 cm，高为40 cm，得侧面展开扇形的半径为 ＝60(cm)，弧长为2π×20＝40π(cm). ∴扇形的圆心角为 ＝120°. 如图，在矩形铁皮内画出一半径为60 cm，圆心角为120°的扇形. 在矩形 ABCD 中，∠ B ＝90°，∠ AFG ＝120°， AD ＝ AF ＝ FG ＝60 cm. ∴∠ FGB ＝∠ AFG －∠ B ＝120°－90°＝30°. ∴ FB ＝ FG ＝30 cm. ∴ AB ＝ AF ＋ FB ＝60＋30＝90(cm). ∴选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮才能最节约成本. 题型二十二：分类讨论思想 例33[2023杭州期中]已知△ ABC 的边 BC ＝4 cm，且△ ABC 内接于半径为4 cm的☉ O ，求∠ A 的度数. ①当△ ABC 是锐角三角形时，连接 OB ， OC ，过点 O 作 OD ⊥ BC 于点 D ，如图所示，则∠ ODB ＝90°， BD ＝ BC ＝2 cm，∠ BOD ＝ ∠ BOC . 在Rt△ BOD 中， OB ＝4 cm， OB2＝ OD2＋ BD2， ∴42＝ OD2＋(2 )2，∴ OD ＝2 cm(负值已舍去). ∴ BD ＝ OD . ∴∠ BOD ＝45°. ∴∠ BOC ＝90°.∴∠ A ＝ ∠ BOC ＝45°； 解：分两种情况： ②当△ ABC 是钝角三角形时，∠ A ＝180°－45°＝135°. 综上所述，∠ A 的度数为45°或135°. 题型二十三：方程思想 例34如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB 为☉ O 的直径，过点 C 作 CE ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 E ，延长 EC ， AB 交于点 F ，∠ ECD ＝∠ BCF . (1)求证： CE 为☉ O 的切线； (1)证明：如图，连接 OC . ∵ OB ＝ OC ， ∴∠ OCB ＝∠ OBC . ∵四边形 ABCD 内接于☉ O ，∴∠ CDE ＝∠ OBC . ∴∠ CDE ＝∠ OCB . ∵ CE ⊥ AD ，∴∠ CDE ＋∠ ECD ＝90°. 又∵∠ ECD ＝∠ BCF ，∴∠ OCB ＋∠ BCF ＝90°， 即 OC ⊥ EF . ∵ OC 是☉ O 的半径，∴ CE 为☉ O 的切线. 如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB 为☉ O 的直径，过 点 C 作 CE ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 E ，延长 EC ， AB 交于点 F ，∠ ECD ＝∠ BCF . (2)若 DE ＝1， CD ＝3，求☉ O 的半径. 又∵ CE ⊥ AE ， OC ⊥ EF ，∴易得四边形 OGEC 是 矩形.∴ OC ＝ EG ， OG ＝ EC . 设☉ O 的半径为 x ，则 EG ＝ OC ＝ OD ＝ x ， ∴ GD ＝ x －1. 在Rt△ CDE 中， CD ＝3， DE ＝1， ∴ EC ＝ ＝2 .∴ OG ＝2 . 在Rt△ OGD 中，由勾股定理得 OD2＝ OG2＋ DG2， 即 x2＝(2 )2＋( x －1)2，解得 x ＝4.5. ∴☉ O 的半径是4.5. (2)解：如图，过点 O 作 OG ⊥ AE 于点 G ，连接 OD ， 则∠ OGE ＝90°. 易错易混 C A D 押题预测 1.（2023秋•思明区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是( ____ ) A.30° B.60° C.80° D.120° B 【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°， ∴∠BAD=180°-120°=60°． 故选：B． 2.（2023秋•香洲区校级期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m,轮子的吃水深度CD为2m,则该桨轮船的轮子半径为( ____ ) A.2m B.3m C.4m D.5m 【解析】解：由题意得：AB=8m,OC⊥AB， ∴AD=BD= AB=4m, D 设该桨轮船的轮子半径为r m,则OD=(r-2)m, 在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+(r-2)2=r2， 解得：r=5， 即该桨轮船的轮子半径为5m, 故选：D． 124 3.（2023秋•天宁区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=36°，则∠ADC的度数为( ____ ) A.36° B.45° C.54° D.72° 【解析】解：如图，连接BC． C ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=54°， ∴∠ADC=∠ABC=54°， 故选：C． 125 4.（2023秋•海门市期中）如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是( ____ ) A. B. C. D.(2，4) 【解析】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME， ∵正六边形OABCDE的边长是4， ∴OH=HE=2，△OME为等边三角形， ∠OMH=30°， ∴MO=2OH=4， ∴ ∴点M的坐标为： 故选：A． A 126 5.（2023秋•霞山区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=8，CD=15，则四边形ABCD的周长为 ____ ． 【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图， ___ ∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG， ∴AD+BC=AB+CD=23， ∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=23+23=46， 46 故答案为：46． 127 6.（2023秋•西湖区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，∠BCA=30°，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　　． ____ 128 ∵∠ABC=90°，AB=2，∠BCA=30°， ∴AC=2AB=4， ，∠BAD=60°， ∵以点B为圆心，AB的长为半径作弧， ∴BD=AB=2，∴△ABD是等边三角形， ∴AD=2，∴DC=AC-AD=2，∴△BDC是等腰三角形，∴∠DBC=30°， ∴ ，∠ABD=60°， ∴S阴影=S扇形ABD-S△ABD+S△BDC-S扇形BDE =S扇形ABD-(S△ABC-S△BDC)+S△BDC-S扇形BDE = = = ， 故答案为： ． 【解析】解：连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图所示， 129 7.（2023秋•房县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F． (1)求证：DF⊥AC； (2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积． 【解析】(1)证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC， ∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC． (2)解：连接OE， ∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°， ∵⊙O的半径为4， ∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8， ∴S阴影=4π-8． 130 $$