精品解析：四川省巴中市巴州区巴中中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

巴中中学2024年春初2022级期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下面所列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知．下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点O顺时针旋转后，得到，下列说法正确的是（ ） A. 点B的对应点是点C B. C. D. 6. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（ ） A B. 或 C. D. 或 7. 已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 10. 如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向左平移得到，若四边形的面积为15，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为（ ） A. 0 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若，则代数式的值为______． 14. 函数中自变量x取值范围是______. 15. 将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 16. 关于x值不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为_______． 17. 若a，b，c是的三边，且满足，则是______三角形． 18. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与、重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是________． 三、解答题（共84分） 19. 计算： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 20. 已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数． （1）试求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值． 21. 按下列要求在平面直角坐标系中画图并解答． （1）画出关于点O对称的； （2）若绕某点逆时针旋转后，边对应线段为（点A与点对应）． ①补全； ②该点（旋转中心）的坐标是_________． 22. 我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路•三农情•中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计拟共租8辆车，租金总费用不超过3000元． （1）参加此次研学活动老师和学生各有多少人？ （2）学校共有几种租车方案？最少租车费用多少？ 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 23. 如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）在上取一点，使，连接，若，求的面积． 24. 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． （1）探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． （2）探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． （3）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标； （3）在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中中学2024年春初2022级期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下面所列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、B、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A、B、D不是中心对称图形，不符合题意； C能找到一点，使C绕该点旋转180度后与原来图形重合，故C是中心对称图形，符合题意； 故选：C． 2. 已知．下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴变形错误，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴变形正确，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∴变形错误，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴变形错误，选项D不符合题意． 故选：B． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，实数的性质，命题与逆命题，真假命题的判断，先写出各命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是锐角三角形的逆命题是：锐角三角形是等边三角形，逆命题是假命题，所以A不符合题意； B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，逆命题是假命题，所以B不符合题意； C、两直线平行，同位角相等的逆命题：同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，所以C符合题意； D、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，逆命题是假命题，所以D不符合题意； 故选：C． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式转化为几个整式（单项式或多项式）的乘积形式的变形过程．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是单项式，故不是因式分解，不符合题意； B、中不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是整式的乘积，故不是因式分解，不符合题意． 故选：C ． 5. 如图，将绕点O顺时针旋转后，得到，下列说法正确的是（ ） A. 点B的对应点是点C B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质，旋转的性质，解题关键是对应边和对应角都相等．旋转得到全等三角形，对应边和对应角相等，直接判断即可． 【详解】解：由题可知， 点B的对应点是点D，故A不符合题意； ，无法确定的度数，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意． 故选：D． 6. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 7. 已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 8. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向左平移得到，若四边形的面积为15，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与平移．熟练掌握平移的性质，得到四边形为平行四边形，是解题的关键．根据平移的性质，得到四边形为平行四边形，进而得到四边形的面积，进而求出的长，即可得到平移距离，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵把沿x轴向左平移到， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴沿x轴向左平移5个单位得到，点为点A平移后的对应点， ∴， 即：； 故选：C． 11. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 故选C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型问题探究－点坐标．根据含30度的直角三角形三边的关系得；；，于是可得到，再根据2024与4的商和余数判断出点与位置相同，在轴的负半轴上，从而得解． 【详解】解：，， 在中，， 则， 同理可得；，， ， ， 点与位置相同，在轴的负半轴上， 点的纵坐标为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若，则代数式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式化简求值，平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式并能灵活运用是解决此题的关键．将转化为，再将代入代数式，通过展开与化简，即可得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 函数中自变量x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 15. 将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．先根据点坐标平移的规律得到点的坐标，再由轴上点的横坐标为求解即可． 【详解】解：将点向左平移个单位得到， ， 在轴上， ，解得， ， 的坐标是． 故答案为： ． 16. 关于x值不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确得到关于m的不等式组是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解∶ ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴ ∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7， ∴符合要求的所有整数m的和为． 故答案为：18． 17. 若a，b，c是的三边，且满足，则是______三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用．已知等式分解因式后，利用等式的性质即可求解． 【详解】解：为等腰三角形，理由如下： ，，分别为的三边， ，即， 已知等式整理得：， 分解因式得：，即， ，即， 则为等腰三角形． 故答案为：等腰． 18. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与、重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于图形的旋转，考核了旋转的性质，勾股定理，垂线段最短，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，得到，利用垂线段最短，当时，的长度最小，然后利用面积法求出，从而得到线段长度的最小值．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴长度最小时，线段的长度最小， ∵当时，的长度最小， 此时， ∴， 即的最小值为， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共84分） 19. 计算： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握提公因式法因式分解，公式法因式分解． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可； （2）先将当作整体，利用完全平方公式因式分解，然后再次利用完全平方公式因式分解即可； （3）根据一元一次不等式组的解法直接求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 20. 已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数． （1）试求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解为，然后根据x为非负数、y为负数，即，列出不等式组求解即可； （2）先把原不等式移项得到．根据不等式不等式的解为，可得，由此结合（1）所求进行求解即可． 【小问1详解】 解：解方程组 用①+②得：，解得③， 把③代入②中得：，解得， ∴方程组的解为：． ∵x为非负数、y为负数，即， ∴． 解得； 【小问2详解】 移项得：． ∵不等式的解为， ∴， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是． 又∵m是整数， ∴m的值为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟知相关求解方法． 21. 按下列要求在平面直角坐标系中画图并解答． （1）画出关于点O对称的； （2）若绕某点逆时针旋转后，边的对应线段为（点A与点对应）． ①补全； ②该点（旋转中心）的坐标是_________． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）①根据旋转的性质，找出旋转中心，找出点C的对应点，然后顺次连接即可； ②根据图形求出旋转中心的坐标即可． 【小问1详解】 解：即为所求作的三角形，如图所示： 小问2详解】 解：①如图，即为所求作的三角形； ②旋转中心M的坐标为． 22. 我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路•三农情•中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计拟共租8辆车，租金总费用不超过3000元． （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人 （2）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意得到研学活动的老师和学生的人数． （1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设设租甲型客车m辆，则乙型客车辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w元，根据租车总费用=400×租用甲型客车的数量+320×租用乙型客车的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动老师有x人，学生有y人， 依题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人； 【小问2详解】 解：设租甲型客车m辆，则乙型客车辆， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴共有4种租车方案． 设租车总费用为w元，则， ∵80＞0， ∴w的值随m值的增大而增大， ∴当时，w取得最小值． ∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 23. 如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）在上取一点，使，连接，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，即，结合，即，等量代换可得，，从而证得，可得，等量代换可得，从而得证； （2）根据等腰三角形三线合一可得，进而结合角平分线的性质可求得的度数，即可得到的度数，根据外角的性质和等腰直角三角形的性质，结合角的等量代换可求得，证得，从而得证； （3）过点作于点，结合角平分线的性质，易得，易证是等腰直角三角形，，利用锐角三角函数求得的长，进而依次求得、、的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：把绕点逆时针旋转到， ，，即， ，即， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 证明：，，， ， 平分， ， ，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， 平分，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为． 24. 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． （1）探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． （2）探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． （3）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】（1） （2）；；； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值，利用提公因式法分解因式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）分别表示出长方体的长宽高，从而根据长方体的体积公式分别表示出对应的体积，最后利用大正方体的体积减去小正方体的体积等于三个长方体的体积之和，并利用提公因式法因式分解即可； （3）由（）的结论结合完全平方公式因式分解，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 即因此可得一个多项式的因式分解为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，则得到的几何体的体积为：； ，，， 长方体的体积为， ，，， 长方体的体积为， ， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为． 故答案为：；；；． 【小问3详解】 解：由（）可知，， ∵，， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标； （3）在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解一次函数的表达式即可； （2）分两种情况讨论：当点在延长线上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，则点，根据， ，，列方程求解即可；当点在线段上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，先利用待定系数法求解直线的解析式，从而可以表示出点的坐标，进而表示出的长，根据， ，，列方程求解即可； （3）根据、点坐标分别求出、、的长，可得是等边三角形，根据旋转的性质可得是等边三角形，分：当点在之间时，当点在之间时，两种情况讨论，利用三角形内角和等于以及角之间的等量关系等量代换求得的度数，再结合等角对等边求得的长，进而可求得时间的值． 【小问1详解】 解：将点，代入一次函数中得： ，解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， ， 当点在延长线上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，则点， ， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 当点在线段上时，如图所示，过点作轴交于点， 设点，直线的解析式为， 则有，解得， ， ， ， ， ，， ， 解得， 点的坐标为，由于点位于第二象限，不符合题意，故舍去； 综上，点坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 由（）可知，点的坐标为， ， ，，， ， 是等边三角形， ，即， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，，即 ， 是等边三角形，， 在和中， ， ， ， 当点在之间时，即当时，如图，记与轴的交点为， ，， ， ， ， 当以、、为顶点的三角形是直角三角形，有， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 当点在之间时，即当时，如图， ， ， ， 不存在以、、为顶点的三角形是直角三角形． 综上，存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，一次函数与三角形面积问题，灵活应用相关性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $