第十五章 轴对称（复习课件）数学人教版2024八年级上册

小结复习 第十五章 轴对称 人教版八年级上册 学习目标 1.系统地梳理轴对称单元的知识点，学生能够熟练运用轴对称的性质解决相关的几何计算和证明问题，提高解题能力； 2.通过回顾和总结，培养学生归纳总结的能力，构建完整的知识体系。经历对典型例题的分析和解答，提升学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力； 3.让学生在复习过程中，感受数学知识的系统性和连贯性，增强学习数学的自信心。培养学生严谨的治学态度. PART 02 1 思维导图 2 考点串讲 3 考点解析 5 布置作业 4 针对训练 目录 思维导图 轴对称 等腰三角形 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 最短路径问题 轴对称变换 轴对称图形和轴对称 成轴对称的两个图形的对称轴的画法 线段的垂直平分线 轴对称 综合与实践 画轴对称图形 等边三角形 等腰三角形 定义 判定(1)定义；(2)等角对等边 性质(1)等边对等角；(2)三线合一 定义 判定(1)三边都相等的三角形(2)三个角都相等三角形 (3)有一个角是60°的等腰三角形 性质(1)三边都相等；(2)三个角相等，且每个角都是60° 考点串讲 轴对称图形定义： 如果____________沿一条直线折叠,直线 两旁的部分能够_________,这个图形叫 做__________.这条直线就是它的_______. 也说这个图形关于这条直线对称。 一个图形 互相重合 轴对称图形 对称轴 考点串讲 轴对称定义： 如果两个图形沿着某一直线对折后，这两个图形 能够完全重合，那么就说这两个图形__________， 这条直线叫_________。成轴对称的两个图形全等成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称 对称轴 考点串讲 轴对称图形 轴对称 区别 对象不同 一个图形 两个图形 意义不同 一个形状特殊的图形 两个图形之间的位置关系 对称点位置不同 对称点在同一个图上 对称点分别在两个图形上 对称轴位置不同 对称轴经过图形内部 有可能在两个图形的内部或外部或经过两个图形的公共点(边) 对称轴数量不同 一条，多条或无数条 只有一条 联系：（1）都能沿某条直线折叠后互相重合 （2）若把成轴对称的两个图形看成一个整体，则它是一个轴对称图形，若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于这条直线成轴对称 考点串讲 垂直平分线 定义：经过线段_______并且_______于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 几何语言： ∵MN⊥AB， AC＝BC， ∴PA＝PB 中点 垂直 性质：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 考点串讲 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上. P A B C 几何符号表示为： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 考点串讲 这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 考点串讲 作轴对称图形 若设点M) M点关于X轴的对称点M1____________ M点关于Y轴的对称点M2_____________ M点关于原点O的对称点M3___________ M点关于直线y=x的对称点M4_________ M点关于直线y=-x的对称点M5_________ 考点串讲 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； A B C 几何符号表示为： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 考点串讲 等腰三角形的性质 (2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). A B C D 几何符号表示为： ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD． 或∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ， ∴BD=CD, AD⊥BC． 或∵AB=AC， BD=CD， ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD． 考点串讲 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)。 A B C 几何符号表示为： ∵∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC ． 考点串讲 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三边相等； (2)等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°. 几何符号表示为： ∵△ABC为等边三角形， ∴． 考点串讲 等边三角形的判定 (1)三边相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； 几何符号表示为： (1)∵ ， ∴△． (2) ∵， ∴△． 考点串讲 等边三角形的判定 (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何符号表示为： ∵ ，， ∴△． 或∵ ，， ∴△． 考点串讲 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 几何符号表示为： ∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， ∴BC =AB．　　　 A B C 考点解析 考点一、轴对称图形 例1.以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（    ） A B C D C 针对训练 1.在下列图形中，不一定是轴对称图形的是（   ） A．角 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2.下列汉字的字形是轴对称图形的是（    ） A．泰 B．州 C．早 D．茶 3.下列图形中对称轴最多的是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形 C C B 针对训练 4.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A B C D D 针对训练 4.在边长为的方格纸上作出如图所示图形，则图中阴影部分面积是 ． 例1.如图，四边形与四边形关于对称． (1)与A，B，C，D的对称点分别是 ， 线段的对应线段分别是 ， ， ， ； 考点二、轴对称 考点解析 ，，， ， 例1.如图，四边形与四边形关于对称． (2)连接与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段有何关系？ 考点二、轴对称 考点解析 考点解析 解（2）：，根据对应点的连线互 相平行或共线，这里不共线，所以平行； （3）：对称轴垂直平分．理由是 对称轴垂直平分对称点的连线段． 例2.如图所示，，,点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、， =则 的度数为________,______ 的度数为________,______ 考点解析 考点二、轴对称 针对训练 1.下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 B 2. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．与的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，， 三条线段不仅平行而且相等 D 针对训练 针对训练 3.如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若 ，，，则线 段的长为 ． 针对训练 4.如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 针对训练 5.如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与交于点，若 ，则的度数为 ． 6.如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若．(1)求的长度； 解（1）：与关于直线对称， ， ， ． 针对训练 6.如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若．(2)求的度数． 解（2）与关于直线对称， ， ， ， ． 针对训练 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例1.如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． D 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例2.(1)如图，在中，分别以点和点 为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相 交于点，，作直线，交于点， 连接．若，，则 的周长为______ (2)如图，在中，，垂足为 点，垂直平分，交于点，交 于点，连接，若，的 周长为，，则的长为______ 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例3.如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． 解(1)：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例3. (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由; 解(2)：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 例3. (3)若，求的度数； 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 解(3)： 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ， 在四边形中，， ， ， ， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ； 例3. (4)若，，求． 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 解(4)： ，， ， 是的垂直平分线，，， 在和中,, ， ， 同理可证：， ， ． 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例4.已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； 证明(1)： ， ， 又 ，； 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例4.已知，如图，，点分别为垂足，，． (2)试说明平分； 证明（2）， 平分； 考点解析 考点三、线段垂直平分线的性质与判定 例4.已知，如图，，点分别为垂足，，． (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 证明(3)： （），， ,，即， 又， 垂直平分线． 针对训练 1.如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 C 针对训练 2.如图，点D、F分别为的边、的中点，，，的周长为16，，则 ． 3.如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 针对训练 4.如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则_______ 方法点拨 遇垂直平分线必连垂直平分线上的点到两个端点的距离 针对训练 5.如图，在锐角 中，，和分别垂直平分边、，求的度数． 解：连接、 ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴． 针对训练 6.已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)线段和有什么数量关系，为什么？ 解(1)：，理由如下：如图，连接、， 平分，，， ， 又 垂直平分， ， 在和中， ， ； 针对训练 6. (2)若，，求的长． 解（2）在和中 ， ， 设，则， ， ，解得， 即． 针对训练 7.如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 证明：∵，∴， 在和中，， ∴， ∴，∴点在垂直平分线上， ∵，∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 考点解析 考点四、逆命题 例1.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D 1.下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 2.下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ D 针对训练 B 3.写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 解：(1)如果，那么的逆命题为：如果，那么； (2)同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； (3)如果，那么的逆命题为：如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 针对训练 考点解析 考点五、画轴对称的图形 例1.（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） C A B C D 例2.已知点，； (1)若点A，B关于轴对称，求的值； (2)若点A，B关于轴对称，求的值． 考点解析 考点五、画轴对称的图形 解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴， 解得，∴，； (2)∵点A、B关于y轴对称，∴， 解得，∴． 例3.如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请写出关于x轴对称的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的． 考点解析 考点五、画轴对称的图形 解：（1）如图所示，， ∴； （2）如图所示，即为所求 1.如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为________ 针对训练 针对训练 2.已知点，，，其中点M与点P关于x轴对称，点N与点P关于y轴对称，求的值． 解：∵关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得 ，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵 坐标相等，可得， 进而可得，解得, ∴． 针对训练 3.已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），求M点的坐标. 解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：，∴，∴， ∵点M与点N关于x轴对称，∴； 针对训练 4.如图，△ABC和△A′B′C′的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A′B′C′关于直线m成轴对称． （1）直接写出△ABC的面积； 解：（1）△ABC的面积为：； 针对训练 （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m． 解：（2）如图所示，连接BB′、CC′，中垂线即为直线m． 针对训练 5.如图，已知各顶点的坐标分别为 ，直线l经过点，并且与y轴平行，与 关于直线l对称． (1)画出， 点的坐标为________， 点的坐标为_________； 解：如图所示，即为所求， 针对训练 (2)若点是内一点，点是内与点P对应的点，求点坐标． 解（2）：点是内一点， 点是内与点P对应的点， ∴， ∴， 即点坐标为 针对训练 6.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． 解：(1)如图，即为所求． 针对训练 6. (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 解：(2)如图，即为所求 解：(3)点关于直线对称点的纵坐标 为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 例1.如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． 证明(1)：∵，∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． 解(2)：，理由如下： ∵，∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 (3)证明：． 证明(3)：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 例2.如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点， 求证：(1) 是等腰三角形； 解：(1)∵是的角平分线，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 例2.如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点， 求证： (2) ； 证明：由(1)同理可得：， ∴， 方法点拨： 平行+平分=等腰三角形 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 例2.如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点， (3)若；求的度数. 解(3)∵，∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ 考点解析 考点六、等腰三角形的性质与判定 例3.如图，的面积为，平分，，求的面积 解：延长交于，如图， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， ． 方法点拨： 垂直+平分=等腰三角形三线合一 针对训练 1.在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.如图，在中， 是角平分线，则图中的等腰三角形 共有________个 C 8 针对训练 3.如图，一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处，此时灯塔在处的北偏西方向上，从灯塔望点的视角，则处到灯塔的距离为 海里． 4.如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 30 针对训练 5.如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为____ 6.如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 8 9 7.一个长，宽的长方形，沿对角线对折后，得到一个新的图形（如图），其中阴影部分的周长是_______． 16 8.如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； 解（1）， ， ， 是的平分线，， ， ， 是的中点， ； 针对训练 (2)若，，求的长． 解（2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 针对训练 9.如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 证明：延长，相交于点Q，如图． ，，， ． 在和中，， ， 平分，， ，． 在和中， ，． 针对训练 考点解析 考点七、等边三角形的性质和判定 例1.如图，为等边三角形，D是边上一点，在边上取一点F，使，在上取一点E，使，求的度数． 解：∵等边，∴， ∵，∴， ∴， ∵， ， ∴， 考点解析 考点七、等边三角形的性质和判定 例2.如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，求的长． 解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形，， ， ， 是等边三角形，， 点P为中点，， 在和中，， ，， ，，， 设，则， ，解得：， . 针对训练 1.如图，等腰直角三角形和等边三角形的边，则的度数为________ 2.如图，设和都是等边三角形，且，则 ． 3.如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论： ； ； ．其中正确的有_________ ①②③ 针对训练 针对训练 4.如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 证明：平分，， ， ， ， ， 是等边三角形． 5.如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； 证明(1)：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ 针对训练 (2)求的度数 解(2)：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 针对训练 6.如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)与是否相等，请说明理由． 证明(1)：相等，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ，即． 在和中， ， ； 针对训练 (2)请直接写出的度数； 解（2） 是等边三角形， ， 由（1）知，， ， ， ； 针对训练 (3)求证：平分． 证明(3)：过点分别作于点，于点， 由（1）知，， ，， ， ， 又，， 平分． 针对训练 考点解析 考点八、30°的直角三角形 例1.(1)如图，在中，，点D在上，，则的长为___________ (2)在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是______ 例2.如图，在等腰中，，， 求的面积 解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中， ，       考点解析 考点八、30°的直角三角形 例3.如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、 (1)_______；用含的代数式表示 考点解析 考点八、30°的直角三角形 (2)求证：≌； 考点解析 考点八、30°的直角三角形 证明(2)：，， ， ． 在和中， ≌． (3)当为何值时，是等边三角形？说明理由； 考点解析 考点八、30°的直角三角形 解（3）， 当是等边三角形时，是等边三角形． ， ． ，， ， ，即当为时，是等边三角形． (4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 考点解析 考点八、30°的直角三角形 解（4）， 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，， 即，解得：； 当时，， 即，解得：． 综上所述：当为或时，为直角三角形． 针对训练 1.如图，已知，点在边上，，点、点在边上，．若，则等于 ． 2.如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点，连接．若，则的长为 ． 针对训练 3.如图，已知中，，是高，，若，求的长． 解： ，，， ，， 是高， ， ， ． 针对训练 4.如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明． 解：，理由如下： ∵在等边中，，是中线， ∴，， ，， ∴，， ∴． 针对训练 5.如图，在△中，，点为上一点，以为腰作等腰△，且，，连接． (1)求证： ; 解(1)：∵， ∴， 即， 在与中，， ∴． 针对训练 (2)若，求的面积． 解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴的面积为． 6.点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； 解(1)：由题意得，，∴当时，， ∵等边， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 针对训练 (2)当 时，是直角三角形？ 解（2）由（1）可知：， ∴， 当时， ∵，∴， ∴，即：，解得； 当时，则：， ∴，即：，解得； 综上：当或4时，是直角三角形； 针对训练 (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 解（3）不变， ∵，∴， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 针对训练 考点解析 考点九、最短路径问题 模型一、两定一动 异侧 同侧 例1如图，平面直角坐标系中有两点，． (1)在y轴上画出一点M，使得的值最小； (2)在x轴上画出一点N，使得的值最大． 解：如图，点就是所求的点； 如图，点就是所求的点． 考点解析 考点九、最短路径问题 例2.如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 11 考点解析 考点九、最短路径问题 1.如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 7 针对训练 2.如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则_________ 10 针对训练 3.如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为_________ 7cm 针对训练 考点解析 考点九、最短路径问题 模型二、一定两动 “回原地”：双对称 “不回原地”：单对称+垂直 例3.如图所示，是一条河流，是一片菜田，张大伯每天从家(A点处)去河流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中． 请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短． 下列四个方案中你认为符合要求的是（    ） 沿路线行走 沿路线行走 沿路线行走 沿路线行走 考点解析 考点九、最短路径问题 A B C D D 例4.如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为______________ 4 考点解析 考点九、最短路径问题 针对训练 4.如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 120 6 针对训练 5.如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________ 针对训练 6.如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______ 4.8 针对训练 7.如图，在中，平分，分别是上的动点，连接， 若，则的最小值为________． 4 8.如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别 为线段、线段上的动点，则的最小值 为_______ 5 针对训练 9.如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是 ． 考点解析 考点九、最短路径问题 模型三、两定两动 河流 草地 B营地 A地 · · 例5.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边m饮马，然后到位于直线l上的草场上喂马，最后回到B地，请帮他设计一条路线，使其行走的路程最短． 解：作点A作关于直线m的对称点，作点B作关于直线l的对称点，连接交直线m于点C，交直线l于点D，则行走路程最短的路线如图所示． 考点解析 考点九、最短路径问题 10.如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为_____ 针对训练 考点解析 考点九、最短路径问题 模型四、选址造桥 B A A1 M N 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 考点解析 考点九、最短路径问题 例6.直线l1，l2，表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥EF(桥EF与河的两岸l1，l2垂直)，使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小，则下列图中满足条件的是（　　） A B C D A 针对训练 11.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为 ． （作出点E、F的位置即可，无需求值） 解：如图，作关于AB的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小. 针对训练 12.将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)；队伍长为，沿河排开(从点到点)；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队(即选择点和)，可以使得将军走的总路程最短？ 解：如图，作，使得，作 点关于的对称点，连接交于 点，在上截取，连接，线 路时，的值最小. 13.如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置． 针对训练 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向 右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸 相交于点，；过点作于点D，过点作 于点，则，即为两桥的位置． 考点解析 考点十、折叠问题 例1.按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 C 考点解析 考点十、折叠问题 例2.如图，把长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若三角形的周长为，三角形的周长为4，则长方形纸片的周长为 ． 例3.如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都为点． (1)若，求的度数． 考点解析 考点十、折叠问题 解(1)：由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)当时，帽子比较美观，求此时的度数． 考点解析 考点十、折叠问题 解(2):由(1)知,， ∵，∴， 由折叠可知，， ∴， 同理可得：， ∵，∴，∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． 针对训练 1.把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠．若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． D 2.如图，长方形中(对边相等，四个角都是直角)，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，则的长为 ． 针对训练 3.如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ． 4.将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 5.在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． 针对训练 （1）如图1，①若，求的面积； 解（1）①由题可知， ， ∴ ． 针对训练 （1）②求证：平分． 解②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M，由题可知，， ∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∴平分． 针对训练 【拓展应用】（2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 解（2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接，由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴ ， 即 ，解得 ． 针对训练 布置作业 P91.练习1、2 P92.练习5、6、7 P93.练习10、11、12 一套在手，备课无忧！ 人教版 八年级上册 谢谢观看 $