专题03 期中真题百练通关（15大热考题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版

专题03 期中真题百练通关（70题15大热考题型） 题型一 概念理解问题 题型九 实数/二次根式的混合运算 题型二 利用算术平方根的非负性求解 题型十 实数/二次根式的应用 题型三 利用平方根/立方根解方程 题型十一 与实数/二次根式有关的新定义问题 题型四 平方根与立方根的综合 题型十二 利用二次根式的性质化简 题型五 与算术平方根/立方根有关的规律探索问题 题型十三 同类二次根式/最简二次根式的判断 题型六 无理数的估算 题型十四 分母有理化 题型七 实数的性质 题型十五 二次根式的化简求值 题型八 实数的比较大小 题型一 概念理解问题（共5小题） 1．（22-23八年级上·全国·期中）下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 1的平方根是，该选项错误，不符合题意； B.负数没有平方根，该选项错误，不符合题意； C. ，的平方根是，该选项正确，符合题意； D. 0的平方根为0，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·宁夏·期中）下列计算结果正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根、立方根，逐项计算即可得出答案． 【详解】解：，A选项计算结果错误； ，B选项计算结果错误； ，C选项计算结果错误； ，D选项计算结果正确； 故选D． 3．（22-23八年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．的算术平方根是4 B．25的平方根是5 C．的立方根是 D．立方根等于本身的数有，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根等内容，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用求一个数的算术平方根，平方根，立方根的运算法则，进行逐项判断即可． 【详解】解：A．，4的算术平方根是2，该选项错误，不符合题意； B．25的平方根是，该选项错误，不符合题意； C．∵， ∴，所以该选项正确，符合题意； D．立方根等于本身的数还有0，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②一个正数的算术平方根小于它本身； ③负数没有立方根； ④16的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系、平方根、立方根、绝对值、相反数、算术平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据相关的定义逐个分析说法的正确性即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②一个正数的算术平方根不一定小于它本身，例如，当正数为1时，算术平方根等于1；当正数为0.25时，算术平方根0.5大于0.25，因此原说法错误； ③负数有立方根，如的立方根为，因此原说法错误； ④16的平方根是，用式子表示是，故原说法错误； ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确． 综上，错误的有②③④，一共3个， 故选：B． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）下列说法错误的是（    ） A．0的算术平方根是0 B．实数包括正实数，0，负实数 C．的相反数是 D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、实数的分类、实数与数轴、相反数的定义，根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、0的算术平方根是0，正确，不符合题意； B、实数包括正实数，0，负实数，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示实数，不一定是有理数，原说法错误，符合题意， 故选：D． 题型二 利用算术平方根的非负性求解（共3小题） 6．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如果，则的值是 ． 【答案】17 【分析】利用算术平方根的非负性可确定x的值，然后可进一步确定y的值，最后计算的值． 【详解】根据根式的意义，， ∴，则． 将代入中得， ． ∴， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性与求代数式的值，解题的关键是根据算术平方根的非负性确定x的值． 7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，算术平方根的非负性，把看做一个整体，则可根据解一元二次方程的方法得到或，即或，再由算术平方根的非负性可得，则． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2022七年级下·上海·专题练习）已知实数a、b、x、y满足，，求的值． 【答案】17 【分析】利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，进而求出 x 与 y 的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，   ，，， ，    ． 【点睛】此题考查了实数的运算，解题的关键是注意非负性质的应用． 题型三 利用平方根/立方根解方程（共4小题） 9．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，化简二次根式，先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得或． 10．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，根据完全平方公式得出，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 11．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答． 【详解】解：， 或， 解得：． 12．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】两边同时除以，然后根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】 即 ∴ 解得： 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 题型四 平方根与立方根的综合（共4小题） 13．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平方根的性质求出的值即可求解； （）利用算术平方根和立方根的意义求出，再根据算术平方根的意义解答即可； 本题考查了平方根，算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解： 27的立方根是3， ， ； 12的算术平方根是， ， ； ， ， c是的整数部分， ； ， 的平方根为． 16．（22-23八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 题型五 与算术平方根/立方根有关的规律探索问题（共2小题） 17．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 18．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 题型六 无理数的估算（共4小题） 19．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，根据、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，可以求得的主要值．解题的关键是明确题意，估算出处于哪两个整数之间． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的主要值是． 故答案为：． 20．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ． 【答案】 【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可． 【详解】∵ ，且，为的小数部分， ∴； ∵ ，且，为的小数部分， ∴； ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键． 21．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后求出S，代入公式即可求S，再根据二次根式比较大小的方法，即可求解． 【详解】解：∵三角形的三边长为a、b、c，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为5，6，7时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵S介于整数n和之间， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查二次根式的应用，估算二次根式的值，解题的关键是理解题意，求出，S；掌握二次根式比较大小的方法． 22．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，， ，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 题型七 实数的性质（共6小题） 23．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、实数的性质、立方根的意义等知识点，难度不大，熟记各相关知识点是解题的关键． 原式各项利用算术平方根、实数的性质、立方根的意义进行计算得到结果，即可进行判断． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 故选：C． 24．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了实数的性质，根据题意确定出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且、为有理数， 得到； ； 故选：A． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 26．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）当时， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，把原式变形为，再根据化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 27．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 28．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质、化简与混合运算，准确化简各式是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可； （2）先计算出的值，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由数轴知：， ， ； （2）由， ， ． 题型八 实数的比较大小（共4小题） 29．（22-23八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】将原式变形，判断与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出x的解集． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型． 30．（22-23八年级上·上海闵行·期中）比较大小： ．（填“>”“<”“=”） 【答案】 【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记两个负实数比较大小的方法是解题的关键． 31．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足， (1)求的值； (2)试比较的值与3的大小． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小． （1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可； （2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 32．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 题型九 实数/二次根式的混合运算（共6小题） 33．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握二次根式性质，零指数幂运算法则，分母有理化法则，是解题的关键．根据二次根式性质，零指数幂运算法则，分母有理化法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 34．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行零指数幂，分数指数幂，分母有理化的运算，再进行加减运算即可，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式． 35．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关键二次根式加减乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，分母有理化计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）） ． 36．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 37．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 题型十 实数/二次根式的应用（共5小题） 38．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积 ， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 39．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1)该楼层落地时的速度为 (2)不正确，见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简． （1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：把，， 代入得： ， ∴该楼层落地时的速度为； （2）不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的2倍， ∴， 将的值代入公式中得： v小明 ， ∴2， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 40．（24-25八年级下·山东济宁·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间（s）和高度（）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空洛到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)不正确，见解析 (3)，启示见解析 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可， （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：把代入公式可得： ； （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 不正确； （3）解：当时，， 解得． 鸡蛋产生的动能． 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 41．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植蔬菜的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据矩形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由矩形空地的面积减去矩形水池的面积得到种植蔬菜的面积即可求解． 【详解】（1）解∶ ， 答：矩形空地的周长为； （2）解∶ ， 答：种植蔬菜的面积为． 42．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 题型十一 与实数/二次根式有关的新定义问题（共7小题） 43．（24-25八年级上·上海闵行·期中）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据，，代入求得，根据，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ，即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 44．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或30 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义运算，理解新定义是解题的关键，注意分类讨论． 用因式分解法求出一元二次方程的解，再分类讨论即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴或， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或30． 45．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 46．（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 47．（24-25八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①画图见解析，② 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 48．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）①根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；②运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）中②的方法构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：， 解得， 即的取值范围是； ②∵ ， 而， ∴； （2）解：由（1）得， 而， 两式相加得到， 即， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； 49．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 题型十二 利用二次根式的性质化简（共6小题） 51．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，那么可化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 52．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 53．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 54．（24-25八年级上·上海·期中）当时，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的运算法则、完全平方公式和平方差公式求解即可． 【详解】解： 55．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，找到有理化因式是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可 （2）根据题意分母有理化即可 （3）根据题意分母有理化，在合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 56．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 57．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 题型十三 同类二次根式/最简二次根式的判断（共5小题） 57．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 58．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，利用完全平方公式、提公因式进行化简是解题的关键，化简后根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A．是最简二次根式，符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 59．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 60．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故答案为9． 61．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 题型十四 分母有理化（共3小题） 62．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：已知，求的值 【答案】， 【分析】先将的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 【详解】解：  ，     ∴．     原式                .     当时，原式=. 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 63．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，达到了分母有理化的要求，即∶．请仿照这种方法化简∶ 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，关键是正确理解所给例题，利用平方差公式进行分母有理化． 仿照例题，将分子、分母同时乘以，即可利用平方差公式进行分母有理化． 【详解】解： 64．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 题型十五 二次根式的化简求值（共6小题） 65．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 66．（22-23八年级上·上海·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据的大小化简是解题的关键．先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式 当时 原式 67．（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【详解】解：∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 68．（21-22八年级上·上海·期中）化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)；20 (2)； 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入数据即可求解； （2）利用完全平方公式和提公因式分解因式，再代入数据即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴原式 ； （2）解：， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力． 69．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；． （2）解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． （3）解：， ， ，，即 70．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 【详解】（1）解：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2）解：把代入①，得， ∴． 则 ． 1．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 2．对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)厘米 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算等知识点． （1）由题意设长方形彩纸的长为，宽为，根据长方形面积公式列方程，然后根据平方根的性质解方程求出，再求出长和宽即可求解周长； （2）设圆的半径为，则，利用平方根的性质解方程求出半径，在求出直径与长方形的宽比较即可． 【详解】（1）解：由题意设长方形彩纸的长为厘米，宽为厘米， 则， 解得：或（舍）， ∴长为（厘米），宽为（厘米）， ∴周长为：（厘米） （2）解：不能剪出想要的圆形纸片，理由如下： 设圆的半径为厘米， 则， 则， ∵ ∴直径大于厘米，此时直径大于长方形的宽， ∴不能剪出想要的圆形纸片． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1)1 (2)0 (3)2 (4) (5)3 (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握绝对值，零指数幂，开平方，开立方，负整数指数幂的运算是解题的关键， （1）根据绝对值，零指数幂，开平方的运算，计算即可得到答案； （2）根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂的运算，计算即可得到答案； （3）根据绝对值，零指数幂，开平方的运算，计算即可得到答案； （4）根据负指数幂，开平方的运算，计算即可得到答案； （5）根据绝对值，零指数幂，开平方，开立方的运算，计算即可得到答案； （6）根据绝对值，零指数幂，开平方的运算，计算即可得到答案； （7）根据平方根，绝对值，开立方的运算，计算即可得到答案； （8）根据绝对值，完全平方公式的运算，计算即可得到答案； （9）根据开平方，开立方，零指数幂，绝对值的运算，计算即可得到答案； （10）根据绝对值，负指数幂，开立方，零指数幂的运算，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． （10）解： ． 5．如图，在数轴上点分别表示实数，，和． (1)点与点之间的距离为___________． (2)将点向右移动2个单位长度至点，求点表示的数与点表示的数的积． (3)若将数轴沿点和点剪开后将中间一段折叠，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，请直接写出最左端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）根据数轴上点的平移规律，得到点表示的数为，再结合平方差公式计算求解，即可解题； （3）根据折叠性质，计算出第一次对折的折痕与数轴的交点表示的数，第二次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数，第三次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数，第四次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数，，据此找出规律求解，即可解题． 【详解】（1）解：在数轴上点分别表示实数，． 点与点之间的距离为； 故答案为：； （2）解：点向右移动2个单位长度至点，则点表示的数为， 点表示的数与点表示的数的积为； （3）解：点分别表示实数和． 则第一次对折的折痕与数轴的交点表示的数为， 第二次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， 第三次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， 第四次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， ，依次类推，第次对折最左端的折痕与数轴的交点表示的数为． 【点睛】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，二次根式的运算，平方差公式，折叠性质，找规律，解题的关键在于找出折叠时，最左端的折痕与数轴的交点表示的数的规律． 6．成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；（2）13；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）根据题意，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形，则，，利用勾股定理即可求得答案； （2）同（1）解决问题即可； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，则线段的长为的最大值． 【详解】解：（1）如图1，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图2，取线段，分别过B、D作，，且，，连接， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小， ∴线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为13； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，点C为的延长线的一点，连接，， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最大， ∴线段的长即为的最大值， 过点A作交于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， 根据勾股定理得，， ∴最大值为． 7．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ． (2)利用上面所提供的解法，请化简的值． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的知识点是二次根式的分母有理化以及利用倒数法比较二次根式的大小． （）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差； （）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算就可以了； （）通过求两个二次根式差的倒数，将比较两个二次根式差的大小转化为比较它们倒数的大小，进而得出原二次根式差的大小关系，体现了利用倒数法比较二次根式大小的思路． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）根据（）中得出规律化简， ； （3）， ， ∵， ∴根据两个正数，倒数大的反而小， ∴． 8．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 9．如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 【答案】(1)；2． (2)①；②每秒个单位长度． 【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度． （1）根据正方形面积计算出边长，即是点到原点的距离，且点在原点右侧，注意符号；是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可以求出长度． （2）①甲虫爬行的距离可以根据图像将甲虫走过的线段长度求和； ②根据相遇位置，求出甲虫所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫走过的距离，求出甲虫的爬行速度． 【详解】（1）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 点表示的数为． 为等腰直角三角形， ． 故答案为：，2． （2）解：①根据题意，甲虫爬行的距离； ②甲虫，相遇时，甲虫爬行距离为， 则甲虫爬行时间为秒， 甲虫爬行距离为， 爬行速度为， 甲虫的爬行速度为每秒个单位长度． 10．（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值． 下面是小明的部分解题过程： 解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则… 请你将上述过程补充完整； （2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）11或13 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式有意义的条件、三角形三边关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意得，且，进而可得，然后代入求出y的值进而计算可以得解； （2）依据题意得，且，从而可得，再求出b，最后分类讨论计算可以判断得解． 【详解】解：由题意得，，且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，且， ∴， ∴； ∵a，b分别为等腰三角形的两条边长， ∴①是底，则腰为． ， ∴3，5，5能组成三角形， ∴此三角形的周长为． ②是底，则腰为． ， ∴3，3，5能组成三角形， ∴此三角形的周长为． 综上所述，三角形的周长为11或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期中真题百练通关（70题15大热考题型） 题型一 概念理解问题 题型九 实数/二次根式的混合运算 题型二 利用算术平方根的非负性求解 题型十 实数/二次根式的应用 题型三 利用平方根/立方根解方程 题型十一 与实数/二次根式有关的新定义问题 题型四 平方根与立方根的综合 题型十二 利用二次根式的性质化简 题型五 与算术平方根/立方根有关的规律探索问题 题型十三 同类二次根式/最简二次根式的判断 题型六 无理数的估算 题型十四 分母有理化 题型七 实数的性质 题型十五 二次根式的化简求值 题型八 实数的比较大小 题型一 概念理解问题（共5小题） 1．（22-23八年级上·全国·期中）下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 2．（23-24八年级上·宁夏·期中）下列计算结果正确的是 （   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．的算术平方根是4 B．25的平方根是5 C．的立方根是 D．立方根等于本身的数有，1 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②一个正数的算术平方根小于它本身； ③负数没有立方根； ④16的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）下列说法错误的是（    ） A．0的算术平方根是0 B．实数包括正实数，0，负实数 C．的相反数是 D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 题型二 利用算术平方根的非负性求解（共3小题） 6．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如果，则的值是 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，则 ． 8．（2022七年级下·上海·专题练习）已知实数a、b、x、y满足，，求的值． 题型三 利用平方根/立方根解方程（共4小题） 9．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 10．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）解方程：． 11．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）解方程：． 12．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）解方程： 题型四 平方根与立方根的综合（共4小题） 13．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 16．（22-23八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型五 与算术平方根/立方根有关的规律探索问题（共2小题） 17．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 18．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   题型六 无理数的估算（共4小题） 19．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ． 20．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ． 21．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 22．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 题型七 实数的性质（共6小题） 23．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，其中为有理数，则的值为（    ） A．5 B．0 C．1 D． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）当时， ． 27．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 28．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： （2）已知，求的值． 题型八 实数的比较大小（共4小题） 29．（22-23八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 30．（22-23八年级上·上海闵行·期中）比较大小： ．（填“>”“<”“=”） 31．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足， (1)求的值； (2)试比较的值与3的大小． 32．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 题型九 实数/二次根式的混合运算（共6小题） 33．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）计算：． 34．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 35．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）计算： (1)； (2)． 36．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： 37．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 题型十 实数/二次根式的应用（共5小题） 38．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 39．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 40．（24-25八年级下·山东济宁·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间（s）和高度（）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空洛到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 41．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植蔬菜的面积． 42．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 题型十一 与实数/二次根式有关的新定义问题（共7小题） 43．（24-25八年级上·上海闵行·期中）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 44．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 45．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 46．（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 47．（24-25八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 48．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 49．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 题型十二 利用二次根式的性质化简（共6小题） 51．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知，那么可化简为 ． 52．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 53．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 54．（24-25八年级上·上海·期中）当时，化简：． 55．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 56．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 57．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 题型十三 同类二次根式/最简二次根式的判断（共5小题） 57．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 58．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 60．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 61．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 题型十四 分母有理化（共3小题） 62．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：已知，求的值 63．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，达到了分母有理化的要求，即∶．请仿照这种方法化简∶ 64．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 题型十五 二次根式的化简求值（共6小题） 65．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 66．（22-23八年级上·上海·期中）先化简再求值：，其中． 67．（24-25八年级上·上海·期中）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 68．（21-22八年级上·上海·期中）化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 69．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 70．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 1．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 2．对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 3．灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 5．如图，在数轴上点分别表示实数，，和． (1)点与点之间的距离为___________． (2)将点向右移动2个单位长度至点，求点表示的数与点表示的数的积． (3)若将数轴沿点和点剪开后将中间一段折叠，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，请直接写出最左端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含的代数式表示） 6．成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 设，则，， 设，则，， 7．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ． (2)利用上面所提供的解法，请化简的值． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 8．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 9．如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 10．（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值． 下面是小明的部分解题过程： 解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则… 请你将上述过程补充完整； （2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 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