1.11有理数的乘方讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

1.11有理数的乘方 学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，能正确读写有理数的乘方。 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，能熟练进行有理数的乘方运算。 3. 经历探索有理数乘方意义的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法。 4. 通过乘方的学习，感受数学的简洁美，培养数感和符号意识，提高运算能力和解决问题的能力。 知识点讲解 1. 乘方的定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方 (involution)。 乘方的结果叫做幂 (power)。 一般地，把n个相同的因数a相乘，即个a)，记作。 在中，a叫做底数 (base number)，n叫做指数 (exponent)，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 例如：，读作“2的3次方”或“2的3次幂”，其中底数是2，指数是3，幂是8。 2. 乘方的读写： · 通常读作“a的平方”或“a的二次方”。 · 通常读作“a的立方”或“a的三次方”。 · 对于≥ 4)，读作“a的n次方”。 · 当底数是负数或分数时，书写乘方时一定要把底数用括号括起来，例如：，，以避免歧义。 3. 有理数乘方运算的符号法则： · 正数的任何次幂都是正数。 例如：，，。 · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 例如：指数3是奇数，结果为负)，指数4是偶数，结果为正)。 · 0的任何正整数次幂都是0。 例如：，。 · 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 例如：，，。 4. 注意事项： · 乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法），运算时要先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 · 区分与：表示a的n次方的相反数，底数是a；表示n个(-a)相乘，底数是(-a)。 例如：，而。 · 任何非零数的0次幂都等于1（这是一种规定，七年级阶段暂不深入探究其原因）。例如：，。0的0次幂没有意义。 例题解析 例题1：计算下列各题。 1) 2) 3) 解： 1) (2) (3) （4） 例题2：计算下列各题。 1) 2) 3) 解： 1) （2） (3) 例题3：计算下列各题。 1) 2) 解： 1) (2) 例题4：当n为正整数时，计算和的值，并说明理由。 解： 因为n为正整数，所以2n是偶数，2n+1是奇数。 根据负数的偶次幂是正数，可得 根据负数的奇次幂是负数，可得 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 的结果是 A. -6 B. 6 C. -9 D. 9 2. 下列各式中，正确的是 A.... 3. 下列各数中，互为相反数的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 一个数的平方等于它本身，则这个数是 A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或 -1 二、填空题 1. 的底数是 ______，指数是 ______，结果是 ______。 2. 计算：；。 3. 平方等于的数是 ______；立方等于 -8 的数是 ______。 4. 用“>”、“<”或“=”填空： ； 。 5. 如果，那么。 三、解答题 1. 计算下列各题： 1) 2) 3) 4) 2. 计算下列各题： 1) 2) 3) 3. 已知 ( a = -2 )，( b = 3 )，求下列各式的值： 1) 2) 巩固练习答案 一、选择题 1. D 解析：，故选D。 2. B 解析：A.；B.，正确；C.；D.。故选B。 3. C 解析：A.，，不互为相反数；B.，，相等；C.，，互为相反数；D.，，相等。故选C。 4. C 解析：，，。所以平方等于它本身的数是0或1。故选C。 二、填空题 1. -3，2，9 解析：的底数是-5，指数是3，结果是。 （原答案填写处写的是“-3，2，9”，这明显与题目不符，应为笔误。正确答案应为：底数是-5，指数是3，结果是-125。） 2. ，-1 解析：；。 3. ，-2 解析：因为，所以平方等于的数是；因为，所以立方等于-8的数是-2。 4. ，< 解析：，，所以 ( 0.01 > -0.01 )；，，所以 ( -8 < 9 )。 5. 9 解析：因为，且，，所以 ( a - 2 = 0 )，( b + 3 = 0 )，即 ( a = 2 )，( b = -3 )。所以。 三、解答题 1. 计算下列各题： 1) (2) (3) (4) 2. 计算下列各题： 1) (2) (3) 3. 已知 ( a = -2 )，( b = 3 )，求下列各式的值： 1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.11有理数的乘方 学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，能正确读写有理数的乘方。 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，能熟练进行有理数的乘方运算。 3. 经历探索有理数乘方意义的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法。 4. 通过乘方的学习，感受数学的简洁美，培养数感和符号意识，提高运算能力和解决问题的能力。 知识点讲解 1. 乘方的定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方 (involution)。 乘方的结果叫做幂 (power)。 一般地，把n个相同的因数a相乘，即个a)，记作。 在中，a叫做底数 (base number)，n叫做指数 (exponent)，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 例如：，读作“2的3次方”或“2的3次幂”，其中底数是2，指数是3，幂是8。 2. 乘方的读写： · 通常读作“a的平方”或“a的二次方”。 · 通常读作“a的立方”或“a的三次方”。 · 对于≥ 4)，读作“a的n次方”。 · 当底数是负数或分数时，书写乘方时一定要把底数用括号括起来，例如：，，以避免歧义。 3. 有理数乘方运算的符号法则： · 正数的任何次幂都是正数。 例如：，，。 · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 例如：指数3是奇数，结果为负)，指数4是偶数，结果为正)。 · 0的任何正整数次幂都是0。 例如：，。 · 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 例如：，，。 4. 注意事项： · 乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法），运算时要先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 · 区分与：表示a的n次方的相反数，底数是a；表示n个(-a)相乘，底数是(-a)。 例如：，而。 · 任何非零数的0次幂都等于1（这是一种规定，七年级阶段暂不深入探究其原因）。例如：，。0的0次幂没有意义。 例题解析 例题1：计算下列各题。 1) 2) 3) 例题2：计算下列各题。 1) 2) 3) 例题3：计算下列各题。 1) 2) 例题4：当n为正整数时，计算和的值，并说明理由。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 的结果是 A. -6 B. 6 C. -9 D. 9 2. 下列各式中，正确的是 A.... 3. 下列各数中，互为相反数的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 一个数的平方等于它本身，则这个数是 A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或 -1 二、填空题 1. 的底数是 ______，指数是 ______，结果是 ______。 2. 计算：；。 3. 平方等于的数是 ______；立方等于 -8 的数是 ______。 4. 用“>”、“<”或“=”填空： ； 。 5. 如果，那么。 三、解答题 1. 计算下列各题： 1) 2) 3) 4) 2. 计算下列各题： 1) 2) 3) 3. 已知 ( a = -2 )，( b = 3 )，求下列各式的值： 1) 2) 学科网（北京）股份有限公司 $