精品解析：江浙皖高中（县中）发展共同体2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题

2025学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月 联考数学 命题：命题专家 审题：长兴中学 姜堰中学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，则中的元素个数为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A. B. C. D. 5. 若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A. B. C. D. 6. 若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率为（　　） A. B. C. D. 1 7. 若，则的最大值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 8. 已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（　　） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 10. 一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去100天的日销售营业额（单位：万元）并将数据整理下表 日销售额 频数 5 20 40 30 5 据表中数据，结论中正确的是（　　） A. 100天日销售营业额的中位数小于250万元 B. 100天日销售营业额的平均值为230万元 C. 100天日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间 D. 100天日销售营业额的极差介于150~250之间 11. 在正四棱柱中，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 对角线与底面所成的角为 D. 四面体的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则___________． 13. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，则___________． 14. 一袋中有4个白球和3个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表： 身高 性别 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 （1）在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义． 附 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列满足． （1）若，求； （2）若是公差为的等差数列，求的取值范围． 17. 如图，在直四棱柱中，平面平面，且，． （1）求证：四点共面； （2）若，求二面角的正弦值 18. 设椭圆的离心率为,是的右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点是上的两点，且． （i）设直线斜率为，求直线的方程； （ii）求面积最大值与最小值． 19. 已知函数． （1）若是一个极值点． （i）求的值： （ii）判断在处取得极大值还极小值，并说明理由； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月 联考数学 命题：命题专家 审题：长兴中学 姜堰中学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，则中的元素个数为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集运算求出，可得结果. 【详解】， 所以集合有6个元素. 故选：C． 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法，结合复数的几何意义求解判断. 【详解】依题意，， 所以对应的点位于第二象限. 故选：B 3. 某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高一、高二、高三学生人数及抽样人数求出抽样比，然后用组合数表示抽样结果种数即可. 【详解】由题可知该校高一、高二、高三年级学生比例为， 所以需从这三个年级分别抽40、30、30名学生， 则不同抽样结果种数有：. 故选:D． 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线和离心率的求法即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，即，离心率. 故选：C. 5. 若函数的最小正周期为2，则正实数（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式得，最后根据周期公式即可得到答案. 【详解】， 其周期，解得． 故选：A． 6. 若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，令，根据瞬时变化率定义求出即可. 【详解】由条件，得， 令，得． 故选：D． 7. 若，则的最大值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对应用基本不等式化简，再根据范围求出最大值. 详解】由. 等号在，，时成立. 故选：B. 8. 已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，由题可得，从而可得点在圆上，直线与圆相交或相切，据此可得答案. 【详解】取的中点，因为，所以，所以，又， 所以点在圆上， 又在直线上，所以直线与圆相交或相切， 所以直线到圆圆心距离小于等于5，又圆心坐标为. 则，所以. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合向量共线的坐标运算，举例判断AB；利用向量垂直的坐标运算判断CD. 【详解】当时，，，，故，故A正确； 因为，，所以时，与不共线，故B错误； 向量，，则，即， 所以当或时，，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去100天的日销售营业额（单位：万元）并将数据整理下表 日销售额 频数 5 20 40 30 5 据表中数据，结论中正确的是（　　） A. 100天日销售营业额的中位数小于250万元 B. 100天日销售营业额的平均值为230万元 C. 100天日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间 D. 100天日销售营业额的极差介于150~250之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频数分布表所给数据，分别找出中位数、第75百分位、极差所在位置，计算平均值，即可判断选项. 【详解】对于A，根据频数分布表可知，营业额大于或等于250的天数共有天，故中位数一定小于250，故A正确； 对于B，日销售营业额的平均值为230，故B正确； 对于C，因为，所以第75百分位数不小于250，故C错误； 对于D，因为极差最大值小于，最小值大于， 所以极差介于150~250之间，故D正确． 故选：ABD． 11. 在正四棱柱中，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 对角线与底面所成的角为 D. 四面体的体积是 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理即可判断选项A；由线面垂直的判定定理即可判断选项B；依题意可得为对角线与底面所成的角，进而求出的正切值即可判断选项C；先证明平面，再根据求出四面体的体积，进而即可判断选项D. 【详解】对于选项A，因为，平面平面， 所以平面，故A正确； 对于选项B，因为为中点，且，，则， 则，， 则，所以， 又在正四棱柱中，有平面，且平面， 所以， 又，且，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C，在正四棱柱中，有平面， 所以为对角线与底面所成的角， 又，，则， 则，所以，故C错误； 对于选项D，在正四棱柱中，有， 又平面，所以平面， 所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合给定切线列式求解. 【详解】设切点为，由求导得，由直线是曲线的切线， 得，则，所以. 故答案为： 13. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再利用三角形内角和定理结合两角和的正余弦公式化简求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 又， 所以， 所以，即， 所以，又，所以. 故答案为：. 14. 一袋中有4个白球和3个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：根据题意写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； 方法二：设次操作后白球的个数为，可得，由初始条件，即可求得. 【详解】方法一：由题意可知，， ， ， 所以 方法二：设次操作后白球的个数为， 则第次操作后白球的个数的期望为， 因为袋中有4个白球和3个黑球，共7个球， 则第次取出白球的概率为则， 则第次取出黑球的概率为则， 此时白球的个数为则， 则， 因为初始条件，则， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表： 身高 性别 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 （1）在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义． 附 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联．实际意义见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解，即得答案； （2）计算的值，根据独立性检验的原理，即可得结论. 小问1详解】 设两名学生身高均不低于的事件为， 由古典概率计算公式得 【小问2详解】 零假设为：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 则， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联． 所得结论的实际含义是：在犯错误的概率不超过0.001的前提下， 认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联， 即男生身高不低于170cm的比例远高于女生，女生身高低于170cm的比例远高于男生. 16. 已知数列满足． （1）若，求； （2）若是公差为的等差数列，求的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件分析得，再根据即可得到答案； （2）首先分析，再利用得，再证明其充分性成立即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 且等号成立的条件为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以公差. 由，得，所以， 当时，， 所以满足，故的取值范围为. 17. 如图，在直四棱柱中，平面平面，且，． （1）求证：四点共面； （2）若，求二面角的正弦值 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出以平面，再结合勾股定理得出，进而得出即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再应用余弦公式计算，最后结合同角三角函数关系求解. 【小问1详解】 因平面平面，平面平面平面， 所以平面； 因为平面，所以， 由，得， 所以，所以， 又因为，所以， 故、、、四点共面. 【小问2详解】 以为轴，为轴，为轴，为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 则， 设平面的法向量为， 则 令，则，得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则 ， 令，则，则， 设二面角平面角为，则， 所以，二面角的正弦值为. 18. 设椭圆的离心率为,是的右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点是上的两点，且． （i）设直线的斜率为，求直线的方程； （ii）求面积的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由已知可得关于的方程组，求解即得椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程为，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用韦达定理结合，即可得到答案；（ii）设根据在椭圆上，所以， 得，， 表示 令，则，则，进而求出面积的最大值与最小值． 【小问1详解】 由题意可知： 解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，直线的方程为：， 联立，消去整理得： 由，可得， 由韦达定理，，(*)， 则（**）， 因为，所以， 即. 将(*)，（**）代入整理得：，解得或． 经检验或都满足， 故直线的方程为：或. （ii）不妨设．则， ，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得：， 解得，或（负值舍去）， 同理可得：， 故， 令，则，且， 则， 因在上单调递减，故， 故，即． 当时，即时，； 当时，即时．. 面积的最大值为，最小值为. 19. 已知函数． （1）若是的一个极值点． （i）求的值： （ii）判断在处取得极大值还是极小值，并说明理由； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii）极小值，理由见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据导数与函数极值的关系，即可求得答案；（ii）取合适的区间，判断在附近区间内的符号，即可判断出结论. （2）分类讨论，结合导数的表达式，分、、三种情况，判断对任意是否恒成立，即可确定答案. 【小问1详解】 （i）由题意，得 所以，解得； （ii）当， 令， 当时，，，函数在上单调递增， 则，， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 所以，， 当时，， 所以在处取得极小值，其极小值为， 同时也说明了（i）中符合题意. 【小问2详解】 当时，显然对任意. 当时，， 所以在上单调递增，． 当时，令， 则， 所以在上单调递增，而， 所以存在，使得当时，有， 此时在上为单调减函数，从而， 故恒大于等于0不成立． 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $