专题02 整式及其加减（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 整式及其加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的定义及其书写规则 理解代数式的定义，能够正确的判断代数式，掌握代数式的书写规则 基础常考点，经常出现在选填题前三道中 代数式中求值问题 能对代数式进行简单变形，利用整体带入等方法求解 高频易错点，在选择题、填空题均可以出现。 单项式和多项式的基本概念，升幂或降幂排列 理解单项式与多项式的基本定义，掌握它们的系数，指数等，能给对多项式进行正确的升幂或降幂排列 高频考点，经常出现在选填题中， 同类项以及合并同类项 正确的认识同类项并且能够准确的对同类项进行合并 高频考点，通常作为化简整式的桥梁，再整个考试试卷中都可能出现 整式的化简求解类问题 正确的对整式进行化简，并根据题目意思得出正确的值 必考题，通常出现在解答题中 整式加减的实际应用 准确的讲整式的加减跟实际应用联系起来。 期中常考题，整式加减的实际应用往往出现在解答题中 知识点01 代数式的定义及其书写规则 ①代数式的定义：由 或表示 用运算符号连接所成的式子，叫做 。单独的一个 或一个 也是代数式。 ②代数式的书写规则 （1）式子中出现的乘号，通常写作“•”或者省略不写，如5×n通常写作5•n或5n； （2）数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，如5n一般不写作n5； （3）式子中有加减运算，且后面有单位时，式子要加上括号，如（5m+2n）元； （4）除法运算通常写成分数形式，如1500÷t（t≠0）通常写作 ③代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做 。 知识点02 单项式中相关概念 ①由 与 的乘积组成的代数式叫做 ，单独的 或 也是单项式。 ②单项式中的 叫做这个单项式的系数。 ③一个单项式中，所有字母的指数的 叫做这个单项式的次数。 知识点03 多项式中相关概念 ①几个单项式的 叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 。 ②一个多项式含有几项，就叫做 ，特别地，只含一项就是单项式。多项式中，次数 的次数，就是这个多项式的次数，例如，多项式3x2-2x+5是一个二次多项式。 知识点04 整式的相关概念 和 统称为整式。 知识点05 升幂排列和降幂排列 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按照这个字母的 。把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的 。 注意：①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列。 知识点06 同类项相关知识 ①同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做 。 ②合并同类项的法则：把同类项的系数 ，所得的结果作为和的系数，字母和字母指数保持不变。 知识点07 去（添）括号法则 ①括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都 正负号； ②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都要 正负号； ③所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都 正负号； ④所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都 正负号 知识点08 整式的加减 整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项。 题型一 判断代数式的书写是否符合要求 解｜题｜技｜巧 代数式的书写规范主要包括以下六点： ①数字与字母相乘：在一个表示数和字母相乘的式子中，数字应该写在字母的前面。 ②省略乘号：表示数与字母相乘或者字母与字母相乘时，通常把乘号省略不写，或用·（应该写在居中的位置）表示相乘，但表示数与数相乘时，通常都要写上×。 ③带分数与字母相乘：式中字母前面是带分数时，要把带分数化为假分数。 ④幂的表示：相同字母相乘时，一般不要把每个因数都写出来，像a·a、a·a·a可记作a^2，a^3。 ⑤除法运算的书写：在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的形式来书写。 ⑥带有单位的代数式书写：在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，将单位名称写在代数式后面即可；如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在后面，如s千米、（10x+5y）元。 【典例1】(24-25七上·湖南岳阳·期中)下列式子中，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·新疆喀什第十中学·期中)下列代数式中，①；②；③；④千米．符合代数式书写要求的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】(24-25七上·广西桂林宝贤中学·期中)下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．元 D． 题型二 列代数式 【典例2】某商品进价为每件a元，商店将价格提高作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时该商品每件的售价为（    ） A．a元 B．元 C．元 D．元 【变式1】(23-24七上·山西临汾曲沃县·期中)吉县苹果和隰县玉露香梨是我们临汾的特产．已知一斤苹果a元，一斤梨b元，妈妈购买了5斤苹果和3斤梨．请用代数式表示妈妈一共花费了多少元（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·福建泉州实验中学·期中)小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 题型三 已知字母的值，求代数式的值 解｜题｜技｜巧 常见的两种题型 1.与绝对值、相反数、倒数结合，先根据绝对值、相反数和倒数的性质求出字母的字，再代入代数式中求解。 2.直接告诉字母的值代入进行求解 注意：在对绝对值进行相关计算时，去掉绝对值需要添加正负，例如|x|=3，则x=±3 【典例3】若与互为相反数，且的倒数是2，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州第十六中·期中)当时，代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，，其中，则的值为（   ） A． B．6或 C．或2 D．或 题型四 已知式子的值，求代数式的值 解｜题｜技｜巧 已知式子的值，求代数式的值主要题型 1.已知一个等式的值，利用“整体带入”代进后面的代数式即可，一般情况后面的代数式会是前面等式的倍数关系； 2.可以通过已知的代数式求值字母的值，再代入所求代数式即可。 【典例4】(24-25七上·陕西西安·期中)已知，则代数式的值为（   ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【变式1】(23-24七上·宁夏银川第四中学·期中)已知当时，代数式的值是5，则当时，这个代数式的值是（　　） A． B． C．3 D． 【变式2】(24-25七下·广东深圳福田区九校期中联考·期中)已知，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型五 程序流程图与代数式 【典例5】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八下·四川乐山马边县·期中)如图是一个计算过程，若输出的值为，则输入的值为（    ） A． B． C．1或 D．或 【变式2】(24-25七上·青海西宁二中教育集团·期中)按如图所示的运算程序，当时输出的结果为（   ） A． B．6 C．5 D．7 题型六 代数式中规律探索 【典例6】现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 【变式1】观察下列等式： 第 1 层： 第 2 层： 第 3 层： 第 4 层： … 按照上述规律，第层左边第一个数是（ 　） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 【变式3】(23-24七下·宁夏吴忠第六中学·期中)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 题型七 单项式和多项式相关求解 解｜题｜技｜巧 单项式的系数是单项式中数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和。值得注意的是含有π的单项式，π是数字因数属于单项式的系数。单独的字母如x，它的系数为1. 【典例7】(24-25七上·天津市河东区·期中)下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【变式1】关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【变式2】(24-25七上·甘肃武威古浪县第四中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是五次三项式 D．是单项式 题型八 判断是否为整式 【典例8】(24-25七上·河北张家口·期中)在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】(24-25七上·广东广州荔湾区第四中学·期中)关于下列各式，说法正确的一项是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．①④⑥是单项式 B．②⑤⑦是多项式 C．①②③④⑤⑥⑦是整式 D．①②③④⑤⑥⑦是代数式 【变式2】(23-24七上·上海浦东新区川沙中学南校·期中)在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型九 升幂排列和降幂排列 解｜题｜技｜巧 升幂排列是指按照某个字母的指数从小到大依次排列的方式。 ①在升幂排列中，字母的指数逐渐增大，且相同指数的项按照字母顺序排列。 ②在排列时，要注意原来各项的符号，不要在移动过程中弄错符号，对于含有两个以上字母的多项式，一般可按其中的主要字母或次次要字母进行升幂排列。 降幂排列是指按照某个字母的指数从大到小进行排序的方式。 ①在降幂排列中，指数越大的项越靠前。 ②在进行降幂排列时，同样需要注意保持原来各项的符号正确。 【典例9】(23-24七上·湖南益阳·期中)已知多项式，按照y的降幂排列 ． 【变式1】(24-25七上·湖南益阳沅江第四中学·期中)把多项式是 次 项式，按字母x的指数由小到大排列是 ． 【变式2】(24-25七上·陕西渭南大荔县冯翊初级中学·期中)已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【变式3】(24-25七·四川乐山马边彝族自治县·期中)将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 题型十 同类项的判定 解｜题｜技｜巧 同类项的判定主要看以下2点 1.看所含字母是否相同 2.再看所含字母的次数是否相同即可，满足以上2点就是同类项，单项式的系数与字母的顺序不影响同类项的判定。 【典例10】下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)下列式子中互为同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 题型十一 已知是同类项求参数的值 【典例11】(24-25七上·甘肃兰州·期中)已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（   ） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 【变式1】(24-25七上·福建福州台江区·期中)已知与是同类项，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式2】(24-25七上·四川南充南部县第二中学·期中)若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 题型十二 判断合并同类项是否正确 解｜题｜技｜巧 合并同类项是代数中的一项基本技能，它可以帮助我们简化表达式。以下是详细的步骤： ①找出同类项并做标记：首先，我们需要识别出哪些项是同类项。同类项是指具有相同未知数的项，且它们的指数部分也相同。 ②运用交换律、结合律将同类项合并：在找到同类项之后，我们可以使用交换律和结合律将它们集中在一起。 ③合并同类项：接下来，我们将同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，而字母和指数保持不变。 ④按同一个字母的降幂或者升幂排列：最后，我们可以按照字母的顺序（降幂或升幂）重新排列表达式，使其更加整洁。 【典例12】(24-25七上·宁夏灵武·期中)下列各式中，合并同类项正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·福建福州台江区·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·福建福州师大附中·期中)下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 去括号和添括号 解｜题｜技｜巧 （1）去括号法则 去括号时，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号内的各项符号都不变；如果括号前面是减号，那么去掉括号后，括号内的各项符号都会发生变化（通常是加号变减号，减号变加号） （2）添括号法则 添括号时，如果括号前面是加号或乘号，那么括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号或除号，那么括到括号里的各项都改变符号 【典例13】(24-25七上·贵州遵义·期中)算式去括号后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八上·四川德阳中江县·期中)在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·广东清远阳山县·期中)下列去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 题型十四 整式的加减运算（计算题） 解｜题｜技｜巧 整式的加减运算顺序主要包括以下几个步骤： ①去括号：根据去括号法则，如果括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；如果括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号。括号前有系数的，应先进行乘法分配律运算，再去括号。 ②合并同类项：同类项指的是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变。 在进行整式的加减运算时，需要注意的是，整式的加减实际上就是去括号和合并同类 【典例14】(24-25七上·四川德阳·期中)化简： (1)； (2)． 【变式1】(24-25七上·广西柳州鹿寨县·期中)化简 (1) (2) 【变式2】化简： (1)； (2)． 题型十五 整式加减中化简求值 【典例15】(24-25七上·浙江温州·期中)化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 【变式1】先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． 【变式2】(24-25七上·甘肃兰州东方学校·期中)先化简，再求值：，其中x，y满足． 题型十六 整式加减中无关类题型 【典例16】(24-25七上·福建福州·期中)某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求 ．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 【变式1】(24-25七上·浙江金华丽泽中学·期中)已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【变式2】(24-25七上·安徽合肥瑶海区行知学校·期中)已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 题型十七 带字母的绝对值化简 解｜题｜技｜巧 ①看坐标轴，分别得出各字母与0的大小关系 ②判断绝对值里面的数或式子与0的大小，如果大于0，则直接去掉绝对值；如果小于0，则先把绝对值里面的数变为相反数，再把绝对值去掉。 ③开括号，合并同类项即可。 【典例17】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州中国科学院兰州分院中学·期中)已知a，b，c在数轴上的位置如图． (1)____0，____0， ____0；（请用“”或“”填空） (2)化简： 【变式2】(24-25七下·贵州安顺关岭县花江中学·期中)已知a，b，c的大致位置如图所示： (1)比较大小：a b，a c，b c； (2)化简． 题型十八 整式加减的实际应用 【典例18】(24-25七下·山西榆林·期中)如图是一块长方形空地，左边空白部分是以长方形的宽为半径的圆的四分之一，右边空白部分是一个三角形，阴影部分种植草坪（单位：米）． (1)这块长方形空地的长是__________米； (2)用含的代数式表示图中种植草坪的面积．（结果保留） 【变式1】(24-25七上·广东中山一中集团·调研)中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 【变式2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表注（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过6立方米的部分 2 超过6立方米的部分但不超过10立方米的部分 4 超过10立方米的部分 8 (1)若某户居民2月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米（），则应收水费多少元？（用含x的式子表示） 【变式3】(23-24七上·吉林吉林龙潭区吉化六中·期中)某班组织去方特参加秋季社会实践活动，其中第一小组有人，第二小组的人数比第一小组人数的少30人． (1)两个小组共有多少人？ (2)如果从第二小组调出10人到第一小组，那么调动后，第一小组的人数比第二小组多多少人？ (3)当时，两个小组一共有多少人？ 题型十九 整式加减中规律探索解答题 【典例19】观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 【变式1】(24-25八上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)探索规律：， ， 根据规律，回答下列问题． (1)_____； (2)_____； (3)求的值；（请写出解题过程） (4)若，请直接写出的值，并直接写出的个位数字． 【变式2】(24-25七上·广东东莞松山湖北区学校·期中)仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【变式3】(24-25七上·河南信阳第九中学·期中)如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及其加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的定义及其书写规则 理解代数式的定义，能够正确的判断代数式，掌握代数式的书写规则 基础常考点，经常出现在选填题前三道中 代数式中求值问题 能对代数式进行简单变形，利用整体带入等方法求解 高频易错点，在选择题、填空题均可以出现。 单项式和多项式的基本概念，升幂或降幂排列 理解单项式与多项式的基本定义，掌握它们的系数，指数等，能给对多项式进行正确的升幂或降幂排列 高频考点，经常出现在选填题中， 同类项以及合并同类项 正确的认识同类项并且能够准确的对同类项进行合并 高频考点，通常作为化简整式的桥梁，再整个考试试卷中都可能出现 整式的化简求解类问题 正确的对整式进行化简，并根据题目意思得出正确的值 必考题，通常出现在解答题中 整式加减的实际应用 准确的讲整式的加减跟实际应用联系起来。 期中常考题，整式加减的实际应用往往出现在解答题中 知识点01 代数式的定义及其书写规则 ①代数式的定义：由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 ②代数式的书写规则 （1）式子中出现的乘号，通常写作“•”或者省略不写，如5×n通常写作5•n或5n； （2）数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，如5n一般不写作n5； （3）式子中有加减运算，且后面有单位时，式子要加上括号，如（5m+2n）元； （4）除法运算通常写成分数形式，如1500÷t（t≠0）通常写作 ③代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 知识点02 单项式中相关概念 ①由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 ②单项式中的数因数叫做这个单项式的系数。 ③一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 知识点03 多项式中相关概念 ①几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ②一个多项式含有几项，就叫做几项式，特别地，只含一项就是单项式。多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数，例如，多项式3x2-2x+5是一个二次多项式。 知识点04 整式的相关概念 单项式和多项式统称为整式。 知识点05 升幂排列和降幂排列 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按照这个字母的降幂排列。把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列。 注意：①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列。 知识点06 同类项相关知识 ①同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项。 ②合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母指数保持不变。 知识点07 去（添）括号法则 ①括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号； ②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都要改变正负号； ③所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号； ④所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号 知识点08 整式的加减 整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项。 题型一 判断代数式的书写是否符合要求 解｜题｜技｜巧 代数式的书写规范主要包括以下六点： ①数字与字母相乘：在一个表示数和字母相乘的式子中，数字应该写在字母的前面。 ②省略乘号：表示数与字母相乘或者字母与字母相乘时，通常把乘号省略不写，或用·（应该写在居中的位置）表示相乘，但表示数与数相乘时，通常都要写上×。 ③带分数与字母相乘：式中字母前面是带分数时，要把带分数化为假分数。 ④幂的表示：相同字母相乘时，一般不要把每个因数都写出来，像a·a、a·a·a可记作a^2，a^3。 ⑤除法运算的书写：在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的形式来书写。 ⑥带有单位的代数式书写：在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，将单位名称写在代数式后面即可；如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在后面，如s千米、（10x+5y）元。 【典例1】(24-25七上·湖南岳阳·期中)下列式子中，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式书写方法，熟练掌握代数式书写方法是解题的关键：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．根据代数式书写方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不能出现带分数，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； B.，字母与字母相乘，乘号应该省略，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； C.，不用“”号，而应写成分数的形式，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； D.，符合代数式书写格式，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】(24-25七上·新疆喀什第十中学·期中)下列代数式中，①；②；③；④千米．符合代数式书写要求的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查代数书写方法，解题的关键是掌握代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．据此依次分析进行判断． 【详解】解：①：带分数应转化为假分数，正确写法为； ②：在含有字母的除法中，一般写成分数形式，正确写法为； ③：该代数式书写符合规范； ④千米：单位应加在整个表达式后，需用括号括起，正确写法为千米； 综上所述，符合书写要求的只有③，共个． 故选：A． 【变式2】(24-25七上·广西桂林宝贤中学·期中)下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．元 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：A、应写为，数字需在字母前且省略乘号，故错误，不符合题意； B、符合规范，分数形式正确，故正确，符合题意； C、应写为元，代数式带单位需加括号，故错误，不符合题意； D、带分数应化为假分数，故错误，不符合题意； 故选：B． 题型二 列代数式 【典例2】某商品进价为每件a元，商店将价格提高作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时该商品每件的售价为（    ） A．a元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式．解决问题的关键是熟练掌握零售价与进价和提高率的关系，销售价与零售价和折扣率的关系．根据可得销售旺季的售价，再乘可得促销时的售价． 【详解】解：依题意可得：（元）． 故选：． 【变式1】(23-24七上·山西临汾曲沃县·期中)吉县苹果和隰县玉露香梨是我们临汾的特产．已知一斤苹果a元，一斤梨b元，妈妈购买了5斤苹果和3斤梨．请用代数式表示妈妈一共花费了多少元（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，由一斤苹果a元，一斤梨b元，即可得5斤苹果和3斤梨花费元． 【详解】解：∵一斤苹果a元，一斤梨b元， ∴5斤苹果和3斤梨花费元； 故选：B． 【变式2】(24-25七上·福建泉州实验中学·期中)小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，用含m的代数式表示出小明还差的钱即可． 【详解】解：由题知， 苹果的总价为元． 因为微信里全部余额元，且扫码付款时提示余额不足， 所以他还差的钱为元． 故选：C． 题型三 已知字母的值，求代数式的值 解｜题｜技｜巧 常见的两种题型 1.与绝对值、相反数、倒数结合，先根据绝对值、相反数和倒数的性质求出字母的字，再代入代数式中求解。 2.直接告诉字母的值代入进行求解 注意：在对绝对值进行相关计算时，去掉绝对值需要添加正负，例如|x|=3，则x=±3 【典例3】若与互为相反数，且的倒数是2，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查相反数、倒数的概念以及有理数的运算．解决本题的关键是理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据相反数、倒数的概念求出相关的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵的倒数是2， ∴， ∴， ， ， 故选：A． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州第十六中·期中)当时，代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值是解题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：C． 【变式2】已知，，其中，则的值为（   ） A． B．6或 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，代数式求值，由，可得，，结合，可得，，分情况讨论，代入求值即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 因为， 所以，， 当，时，， 当，时，， 所以的值为或， 故选D． 题型四 已知式子的值，求代数式的值 解｜题｜技｜巧 已知式子的值，求代数式的值主要题型 1.已知一个等式的值，利用“整体带入”代进后面的代数式即可，一般情况后面的代数式会是前面等式的倍数关系； 2.可以通过已知的代数式求值字母的值，再代入所求代数式即可。 【典例4】(24-25七上·陕西西安·期中)已知，则代数式的值为（   ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】A 【分析】此题主要考查由已知代数式求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 首先将已知代数式转换形式，然后代入所求代数式，即可得解． 【详解】解：由已知，得 ∴ 故选：A． 【变式1】(23-24七上·宁夏银川第四中学·期中)已知当时，代数式的值是5，则当时，这个代数式的值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键. 直接把x的值代入得出，进而得出答案． 【详解】解：∵当时，代数式的值是5， ∴， 则， 当时， ． 故选：B． 【变式2】(24-25七下·广东深圳福田区九校期中联考·期中)已知，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：D． 题型五 程序流程图与代数式 【典例5】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值，理解程序中的框图以及能找到输出值的规律是解题的关键．把代入程序中计算，以此类推得到一般性的规律，即可确定出第2024次输出的结果． 【详解】解：当时， 第一次的输出结果为， 第二次的输出结果为， 第三次的输出结果为， 第四次的输出结果为， 第五次的输出结果为， 第六次的输出结果为， 第七次的输出结果为， 第八次的输出结果为， ， 从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次， ， 第2024次的结果与第2次的结果一样， 第2024次输出的结果是． 故选：B． 【变式1】(24-25八下·四川乐山马边县·期中)如图是一个计算过程，若输出的值为，则输入的值为（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据流程代入数据计算是关键．根据流程，输出A的值是，分两种情况分析计算即可． 【详解】解：依题意，当输入的的值使时，则， 解得； 则， 故符合题意； 当输入的的值使时，则， 解得； ∵ ∴（舍去） 综上：输入的值为 故选：A． 【变式2】(24-25七上·青海西宁二中教育集团·期中)按如图所示的运算程序，当时输出的结果为（   ） A． B．6 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，根据可得输出结果为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：D． 题型六 代数式中规律探索 【典例6】现有一列数，其中，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索． 根据题意可知，则，再求解即可． 【详解】解：∵任意相邻三个数的和为同一个常数， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】观察下列等式： 第 1 层： 第 2 层： 第 3 层： 第 4 层： … 按照上述规律，第层左边第一个数是（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点和每层的数字个数，写出数据相应的层数．根据题目中的数据，可以发现每层第一个数的特点和每层的数的个数，然后即可求解． 【详解】解：第 1 层左边第一个数是， 第 2 层左边第一个数是， 第 3 层左边第一个数是， … ∴第层左边第一个数是． 故选：A． 【变式2】(24-25七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 第n个图案，用根小棒； ∴第个图案中木棒的根数为：， 故选：D． 【变式3】(23-24七下·宁夏吴忠第六中学·期中)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了图形及数字变化规律，由题意得到三角形数的第个图中点的个数为，正方形数的第个图中点的个数为，再把下列数代入即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图①可知，三角形数的第个图中点的个数为：， 由图②可知，正方形数的第个图中点的个数为：， A、由无整数解， ∴不是正方形数，故选项不符合题意； B、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； C、由， ∴， ∴是三角形数， 又∵， ∴是正方形数，故选项符合题意； D、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； 故选：C． 题型七 单项式和多项式相关求解 解｜题｜技｜巧 单项式的系数是单项式中数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和。值得注意的是含有π的单项式，π是数字因数属于单项式的系数。单独的字母如x，它的系数为1. 【典例7】(24-25七上·天津市河东区·期中)下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念．A、选项均根据单项式的次数和系数的定义，进行判断即可；C．根据多项式的有关概念进行判断即可；D．根据整式、多项式和单项式的有关定义进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．单项式的次数是，系数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．多项式是三次三项式， 此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．在中，整式有，，，，共个， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式1】关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】(24-25七上·甘肃武威古浪县第四中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是五次三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式和单项式的知识，解题的关键是学会识别多项式和单项式，根据多项式和单项式的定义即可解答． 【详解】解：A、整式包括多项式和单项式，原说法错误，不符合题意； B、是单项式，原说法正确，符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D、是多项式，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 题型八 判断是否为整式 【典例8】(24-25七上·河北张家口·期中)在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【来源】河北省张家口市怀安县2024--2025学年上学期七年级数学期中试卷 【分析】本题考查了整式的识别，解题的关键在于准确理解整式的定义，即分母中不含变量的代数式为整式，并能正确判断每个代数式是否符合这一条件．根据整式的定义（分母不含字母的代数式），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解： ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：分母含字母，是分式，不是整式； ：分母为数字，可化简为，是多项式，属于整式． 综上，整式共有5个， 故选：C． 【变式1】(24-25七上·广东广州荔湾区第四中学·期中)关于下列各式，说法正确的一项是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．①④⑥是单项式 B．②⑤⑦是多项式 C．①②③④⑤⑥⑦是整式 D．①②③④⑤⑥⑦是代数式 【答案】A 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握单项式、多项式、代数式的定义是解题的关键．根据整式、代数式的定义判断即可． 【详解】解：①0是单项式，是整式，是代数式， ②是多项式，是整式，是代数式， ③是分式，不是整式，是代数式， ④是单项式，是整式，是代数式， ⑤是多项式，是整式，是代数式， ⑥是单项式，是整式，是代数式， ⑦ 是等式，既不是整式也不是代数式； 故选：A． 【变式2】(23-24七上·上海浦东新区川沙中学南校·期中)在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．据此进行判断即可． 【详解】解：在0、x、、、、、这些代数式中，整式有：0、x、、、，共5个， 故选：D 题型九 升幂排列和降幂排列 解｜题｜技｜巧 升幂排列是指按照某个字母的指数从小到大依次排列的方式。 ①在升幂排列中，字母的指数逐渐增大，且相同指数的项按照字母顺序排列。 ②在排列时，要注意原来各项的符号，不要在移动过程中弄错符号，对于含有两个以上字母的多项式，一般可按其中的主要字母或次次要字母进行升幂排列。 降幂排列是指按照某个字母的指数从大到小进行排序的方式。 ①在降幂排列中，指数越大的项越靠前。 ②在进行降幂排列时，同样需要注意保持原来各项的符号正确。 【典例9】(23-24七上·湖南益阳·期中)已知多项式，按照y的降幂排列 ． 【答案】 【来源】湖南省益阳市白石塘乡中学2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试题 【分析】此题考查了多项式的次数排列，本题降幂排列即从y的最高次幂排到最低次幂． 先分清各项，然后按降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按y降幂排列为 故答案为：． 【变式1】(24-25七上·湖南益阳沅江第四中学·期中)把多项式是 次 项式，按字母x的指数由小到大排列是 ． 【答案】 五 四 【分析】本题考查了多项式的定义，以及多项式的重新排列，根据多项式的定义解答空1，根据多项式的重新排列解答空2即可． 【详解】解：多项式是五次四项式，按字母x的指数由小到大排列是， 故答案为：五，四，． 【变式2】(24-25七上·陕西渭南大荔县冯翊初级中学·期中)已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 【变式3】(24-25七·四川乐山马边彝族自治县·期中)将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念． （1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案． （2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为： （2）解：多项式按的升幂排列： 题型十 同类项的判定 解｜题｜技｜巧 同类项的判定主要看以下2点 1.看所含字母是否相同 2.再看所含字母的次数是否相同即可，满足以上2点就是同类项，单项式的系数与字母的顺序不影响同类项的判定。 【典例10】下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合同类项的定义，是同类项，符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； C、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 故选：A． 【变式1】(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)下列式子中互为同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的判断，理解同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A． 与是同类项，符合题意； B． 与相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； C． 与，字母不同，不是同类项，不符合题意； D． 与，字母不同，不是同类项，不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 题型十一 已知是同类项求参数的值 【典例11】(24-25七上·甘肃兰州·期中)已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（   ） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项及同类项的定义，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．根据同类项的定义得出关于m，n的方程，计算求出m，n即可． 【详解】解：∵单项式与可以合并同类项， ∴． ∴． 故选：A． 【变式1】(24-25七上·福建福州台江区·期中)已知与是同类项，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式2】(24-25七上·四川南充南部县第二中学·期中)若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【答案】B 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：关于x，y的单项式与的和是单项式， ， ∴． 故选：B． 题型十二 判断合并同类项是否正确 解｜题｜技｜巧 合并同类项是代数中的一项基本技能，它可以帮助我们简化表达式。以下是详细的步骤： ①找出同类项并做标记：首先，我们需要识别出哪些项是同类项。同类项是指具有相同未知数的项，且它们的指数部分也相同。 ②运用交换律、结合律将同类项合并：在找到同类项之后，我们可以使用交换律和结合律将它们集中在一起。 ③合并同类项：接下来，我们将同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，而字母和指数保持不变。 ④按同一个字母的降幂或者升幂排列：最后，我们可以按照字母的顺序（降幂或升幂）重新排列表达式，使其更加整洁。 【典例12】(24-25七上·宁夏灵武·期中)下列各式中，合并同类项正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选C． 【变式1】(24-25七上·福建福州台江区·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】(24-25七上·福建福州师大附中·期中)下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的法则逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：，但选项A结果为，错误． 选项B：．选项B结果正确． 选项C：为不是同类项，无法合并，结果非，错误． 选项D：，但与非同类项，无法合并为，错误． 故选：B 题型十三 去括号和添括号 解｜题｜技｜巧 （1）去括号法则 去括号时，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号内的各项符号都不变；如果括号前面是减号，那么去掉括号后，括号内的各项符号都会发生变化（通常是加号变减号，减号变加号） （2）添括号法则 添括号时，如果括号前面是加号或乘号，那么括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号或除号，那么括到括号里的各项都改变符号 【典例13】(24-25七上·贵州遵义·期中)算式去括号后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】(24-25八上·四川德阳中江县·期中)在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断，确定其变形是否正确．本题主要考查了去括号和添括号的法则，熟练掌握“去括号和添括号时，括号前符号对括号内各项符号的影响”是解题的关键． 【详解】解： ，故A项正确，不符合题意． ，故B项正确，不符合题意． ，故C项错误，符合题意． ，故D项正确，不符合题意． 故选： ． 【变式2】(24-25七上·广东清远阳山县·期中)下列去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号．解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，若括号前是“”， 去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”， 去括号后，括号里的各项都改变符号．据此进行解答即可． 【详解】解：A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项错误，不合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 题型十四 整式的加减运算（计算题） 解｜题｜技｜巧 整式的加减运算顺序主要包括以下几个步骤： ①去括号：根据去括号法则，如果括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；如果括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号。括号前有系数的，应先进行乘法分配律运算，再去括号。 ②合并同类项：同类项指的是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变。 在进行整式的加减运算时，需要注意的是，整式的加减实际上就是去括号和合并同类 【典例14】(24-25七上·四川德阳·期中)化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据合并同类项法则合并同类项即可； （）去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】(24-25七上·广西柳州鹿寨县·期中)化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算： （1）先移项，再合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式      【变式2】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （）先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十五 整式加减中化简求值 【典例15】(24-25七上·浙江温州·期中)化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤： 先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，合并同类项是解题关键． （1）合并同类项化为最简的多项式； （2）合并同类项化为最简的多项式，把，，代入最简的多项式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时，原式． 【变式1】先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查整式的加减求值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题； （2）合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题； （3）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： 当时，原式． （3）解： 当时， 原式 【变式2】(24-25七上·甘肃兰州东方学校·期中)先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，偶次方以及绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据非负性得出的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵x，y满足， ∴且， ∴，， ∴原式． 题型十六 整式加减中无关类题型 【典例16】(24-25七上·福建福州·期中)某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求 ．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据当x取任意数值，的值是一个定值得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2） ∵当x取任意数值，的值是一个定值， ∴， ∴． 【变式1】(24-25七上·浙江金华丽泽中学·期中)已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 代数式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式2】(24-25七上·安徽合肥瑶海区行知学校·期中)已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 题型十七 带字母的绝对值化简 解｜题｜技｜巧 ①看坐标轴，分别得出各字母与0的大小关系 ②判断绝对值里面的数或式子与0的大小，如果大于0，则直接去掉绝对值；如果小于0，则先把绝对值里面的数变为相反数，再把绝对值去掉。 ③开括号，合并同类项即可。 【典例17】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州中国科学院兰州分院中学·期中)已知a，b，c在数轴上的位置如图． (1)____0，____0， ____0；（请用“”或“”填空） (2)化简： 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查数轴，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）观察数轴可知，根据有理数的加减法运算法则即可解答； （2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， 故答案为：； （2） 解：∵， ∴， ∴ ． 【变式2】(24-25七下·贵州安顺关岭县花江中学·期中)已知a，b，c的大致位置如图所示： (1)比较大小：a b，a c，b c； (2)化简． 【答案】(1)>，<，< (2) 【分析】（1）根据a，b，c的大致位置确定它们的大小关系； （2）先判断绝对值内式子的符号，再去绝对值，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由a，b，c的大致位置可得，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型十八 整式加减的实际应用 【典例18】(24-25七下·山西榆林·期中)如图是一块长方形空地，左边空白部分是以长方形的宽为半径的圆的四分之一，右边空白部分是一个三角形，阴影部分种植草坪（单位：米）． (1)这块长方形空地的长是__________米； (2)用含的代数式表示图中种植草坪的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2)（平方米） 【分析】本题考查了列代数式，读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据圆的半径相等，即可知道长的表示方式； （2）先把空白部分的面积依次表示出来，左边空白部分的面积是，右边空白部分根据三角形的面积表示出来是，再用长方形的面积减去两块空白部分的面积，最后化简即可． 【详解】（1）解：因为圆的半径相等，所以由图可知这块长方形空地的长是 米， 故答案为：． （2）解：种植草坪的面积为：（平方米）． 【变式1】(24-25七上·广东中山一中集团·调研)中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 【答案】(1)该户型商品房的面积为，方案一中购买一套该户型商品房的总金额为万元，方案二中购买一套该户型商品房的总金额为万元 (2)方案二更优惠，优惠万元 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出该户型商品房的面积，再根据两种方案分别列式计算即可； （2）把分别代入两种方案表示总金额的整式计算即可． 【详解】（1）解：该户型商品房的面积为（）； 方案一中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）； 方案二中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）； （2）解：当时， （万元）， （万元）， （万元）， 所以方案二更优惠，优惠万元． 【变式2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表注（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过6立方米的部分 2 超过6立方米的部分但不超过10立方米的部分 4 超过10立方米的部分 8 (1)若某户居民2月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米（），则应收水费多少元？（用含x的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)当时，应收水费元，当时，应收水费元． 【分析】本题主要考查列代数式及代数式求值． （1）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算； （2）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算； （3）利用用水量的范围确定单价分段计算． 【详解】（1）解：由题意得，水费元， 答：该户居民2月份用水立方米，则应收水费元． （2）解：由题意得，水费（元） 答：该户居民3月份用水立方米，则应收水费元． （3）解：当时，则应收水费（元）， 当时，则应收水费（元）， 答：该户居民4月份共用水x立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元． 【变式3】(23-24七上·吉林吉林龙潭区吉化六中·期中)某班组织去方特参加秋季社会实践活动，其中第一小组有人，第二小组的人数比第一小组人数的少30人． (1)两个小组共有多少人？ (2)如果从第二小组调出10人到第一小组，那么调动后，第一小组的人数比第二小组多多少人？ (3)当时，两个小组一共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)多人 (3)150人 【分析】本题考查了整式加减的应用，代数式求值，正确列出代数式是解答本题的关键． （1）先表示出第二小组的人数，然后再求和即可； （2）用变动后第一小组人数减去变动后的第二小组人数，即可得出答案； （3）把代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵第一小组有人，第二小组的人数比第一小组人数的少30人， ∴第二小组的人数为人， ∴两个小组共有人； （2）解： 人， ∴第一小组人数比第二小组多人 （3）解：当时， （人）， 答：当时，两个小组共有150人． 题型十九 整式加减中规律探索解答题 【典例19】观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 【答案】(1)25；6； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算，解题的关键是能找到式子的规律． （1）观察已知算式即可得结果； （2）观察给出的算式，可得规律； （3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（1）④， ∴式子④中，， 故答案为：25；6； （2）由（1）给出的算式可得第n个等式：； （3）原式 ． 【变式1】(24-25八上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)探索规律：， ， 根据规律，回答下列问题． (1)_____； (2)_____； (3)求的值；（请写出解题过程） (4)若，请直接写出的值，并直接写出的个位数字． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，乘方的末位数字规律，尾数特征，解题的关键是从简单情形入手，发现规律，解决问题． （1）根据题目中给出的规律进行计算即可； （2）根据题干给出的规律进行计算即可； （3）令，，则，根据，得出，即可得出答案； （4）先求出，的末位数字是3，的末位数字为9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是3……，得出的末位数字是以3，9，7，1四个数字一循环，求出的末位数字是7，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为： （3）解：令， 则， ∴， ∴， ∴； （4）解：解：∵， ∴ ， ∴ 的末位数字是3，的末位数字为9，的末位数字是7，的末位数字是1，的末位数字是3……， ∴的末位数字是以3，9，7，1四个数字一循环， ， ∴的末位数字是7，的末位数字是3 【变式2】(24-25七上·广东东莞松山湖北区学校·期中)仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键； （1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据题意列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是 ，，， 故答案为：，，． （2）解：各组的第n个数分别为， 故答案为：． （3）解：每组数的第10个数，分别为， 其和为． 【变式3】(24-25七上·河南信阳第九中学·期中)如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】(1)37,46，55 (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有163个，空心圆圈有81个． 【分析】本题考查了规律探究问题以及代数式的列写与求值，涉及根据圆环个数与总圆圈数的变化关系补全表格、推导含字母的代数式，以及代入具体数值计算总数和特定圆圈数量． 解题的关键是先找出圆环个数与总圆圈数的变化规律（每增加1个圆环，实心与空心圆圈总个数增加9个），再依据规律列写总个数的代数式，最后结合“偶数个圆环时实心圆圈比空心圆圈多1个”的特殊关系，求解具体数量． （1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 37 46 55 … （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个个． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $