重难点33 圆锥曲线中的参数范围及最值问题（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点33 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 【全国通用】 【题型1 弦长的最值及范围问题】 2 【题型2 离心率的取值范围问题】 2 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 3 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 5 【题型5 斜率的最值及范围问题】 5 【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】 7 【题型7 参数的取值范围问题】 8 1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题 圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，考查方式灵活多变，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解. 知识点1 圆锥曲线中的最值问题及其解题策略 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注】：若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题 1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略： 结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即可得出所求参数的范围. 【题型1 弦长的最值及范围问题】 【例1】（2025·河南郑州·三模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2025·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【变式1-3】（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【题型2 离心率的取值范围问题】 【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-1】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【变式3-3】（2025·江西南昌·模拟预测）在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 【例4】（2025·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-2】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【变式4-3】（2025·河南·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值. 【题型5 斜率的最值及范围问题】 【例5】（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【变式5-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【变式5-2】（2025·广东·模拟预测）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】 【例6】（24-25高二上·天津和平·期末）已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式6-1】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式6-2】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【变式6-3】（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【题型7 参数的取值范围问题】 【例7】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2025·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围． 【变式7-2】（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【变式7-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， (1)求双曲线的标准方程； (2)若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·三模）已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（   ） A．24 B．18 C．16 D．12 8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 的焦点是圆 的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·山西·三模）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 10．（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的面积为8 B．若Q为圆上的一动点，则的最小值为3 C．的最小值为 D．四边形面积的最小值为 三、填空题 12．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 13．（2025·江西·模拟预测）过点的直线与抛物线交于，两点，曲线在，两点处的切线相交于点，则面积的最小值为 ． 14．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 16．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点在曲线上，若直线与曲线交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离． 17．（2025·福建厦门·三模）焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 18．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围. 19．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点33 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 【全国通用】 【题型1 弦长的最值及范围问题】 2 【题型2 离心率的取值范围问题】 6 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 9 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 14 【题型5 斜率的最值及范围问题】 18 【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】 23 【题型7 参数的取值范围问题】 28 1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题 圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，考查方式灵活多变，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解. 知识点1 圆锥曲线中的最值问题及其解题策略 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注】：若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题 1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略： 结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即可得出所求参数的范围. 【题型1 弦长的最值及范围问题】 【例1】（2025·河南郑州·三模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值. 【解答过程】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为， 由消去y得， 则，. ∴ ， ∴当时，取得最大值， 故选:D. 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到，，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到，再对条件合理变形，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可. 【解答过程】方法一：由已知得，直线的斜率不为0， 如图，设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得到，且易得， 则由韦达定理得，， 由弦长公式得， 故当时，取最小值，且该值为2，故C正确. 故选：C． 方法二：由二级结论得，易得， 而 ，当且仅当时等号成立，故C正确. 故选：C． 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确. 故选：C． 【变式1-2】（2025·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 【变式1-3】（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线：，且，联立方程，设，，由韦达定理结合椭圆弦长公式得到，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）因为的离心率为，且焦距为， 可得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部， 设直线：，且， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 因此 ， 由，可得，即， 所以的取值范围为. 【题型2 离心率的取值范围问题】 【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【解答过程】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 【变式2-1】（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义可得，在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，由双曲线的定义可知，， 又四边形为等腰梯形，且，则， 则 ， 在中，由余弦定理可得， ， 即， 化简可得，即，解得， 又，所以. 故选：D. 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解. 【解答过程】设， 的中点为，由， 得， 而， 故， 即， 整理得， 因为的任意性，此不等式恒成立， 故，即， 解得. 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案. 【解答过程】不妨设椭圆：，双曲线：， 与的离心率分别为，， 由椭圆的定义，有：，由，故， 由双曲线的定义，有：，故， 因此，两边同时除以，有，故， 由于，故， 所以， 不妨令，， 所以原式等于，在时，单调递减，故. 故选：D. 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据离心率求出，进而可求，当点A在椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大. 【解答过程】由题可知椭圆的焦点在轴上，， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大， 此时的最大面积为， 故选：B. 【变式3-1】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解答过程】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B.      【变式3-2】（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【解题思路】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可. 【解答过程】（1）如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. （2）有第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 【变式3-3】（2025·江西南昌·模拟预测）在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）的取值范围为 【解题思路】（1）由题意可得动点Q到点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可求轨迹方程； （2）（ⅰ）设，利用点在曲线上，可得，同理求得，结合已知可得，进而结合已知可得，结合直线的方程可求定点；（ⅱ）设，且，由题意可得，利用换元法可求得的取值的范围. 【解答过程】（1）依题意可知动点Q到点的距离等于到直线的距离， 所以动点Q的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以C的方程为； （2）（ⅰ）设， 因为在曲线上，所以，两式相减得：， 则理可得，， 因为为直角三角形，所以， 所以，即， 则， 又因为的重心G在x轴上，则有，即， 所以，直线的方程为， 所以直线的方程为，所以直线过定点； （ⅱ）设，且， 因为是的重心，所以， 不妨设，所以，， 所以，又因为， 所以，令，所以， 又因为在的下方，所以，即，即， 令，即， 设，则在为增函数， 所以，即. 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 【例4】（2025·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解. 【解答过程】设过点P分别与直线平行的直线为，如图： 设，，，则，， 显然四边形为平行四边形，故与的中点重合， 则，即， 又因P为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，即，所以当时，. 故选：C. 【变式4-1】（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果. 【解答过程】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6， 故选：A. 【变式4-2】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【解答过程】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 【变式4-3】（2025·河南·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题干条件列出关于的方程组，解出即得椭圆的方程； （2）易知直线不与轴垂直，故可设其方程为，与椭圆方程联立，表示出，又在上可得到为定值，从而得到为定值，进一步解出的值，即直线过定点，则当时，点到直线的距离取得最大值. 【解答过程】（1）由题意，得， 解得，， 所以的方程为； （2）由，不同于，，当直线垂直于轴时，与异号，不满足题意， 所以直线不与轴垂直，设其方程为，，， 联立，得， ，即， 则，. 又因为，，所以，，直线的斜率， 由在上，得，即， 因此， 因为，所以， 由 ，解得， 此时，对任意实数恒成立， 直线的方程为，所以直线过定点， 又因为，则当时，点到直线的距离取得最大值， 即点到直线的距离的最大值为. 【题型5 斜率的最值及范围问题】 【例5】（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线，联立方程组由，求得， 设，得到，再由和的方程，求得和，结合，得到，将和，代入化简得到，求得，进而得到答案. 【解答过程】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 可得，解得，椭圆. （2）设直线，联立方程组，整理得， 则且，可得，所以， 设，则， 则直线的方程为，与直线交于点， 直线的方程为，与直线交于点， 当时，且，则， 将， 代入可得 ，所以，解得， 所以斜率的取值范围为． 【变式5-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案； （3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案. 【解答过程】（1）由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. （2）设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. （3）设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 【变式5-2】（2025·广东·模拟预测）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入 得到，解不等式即可. 【解答过程】（1） 易知点是抛物线的焦点，， 依题意， 所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4， 设该椭圆的方程为， 则， ， 故点的轨迹的方程为. （2）易知直线1的斜率存在， 设直线1：， 由得：， ， 即 ①又， 故，将，代， 得：， 将②代入①，得：， 即， 即，即， 且， 即的取值范围为或. 【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可； （2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】 【例6】（24-25高二上·天津和平·期末）已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解题思路】由题意可求出椭圆的标准方程，设，求出的表达式，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【解答过程】由题意可知，则，， 点在椭圆上，则，结合， 解得，故， 设，则， 则 ， 当且仅当时，取最大值， 即的最大值为， 故选：B. 【变式6-1】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解题思路】过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，利用题中条件得，结合进行求解即可. 【解答过程】    由题意知圆心与抛物线的焦点重合为，抛物线的准线为， 过作抛物线准线的垂线，垂足为，则， 由，则为中点，故，， 又圆的半径为，则可得，    又， 当三点共线时，取得最小值为， 则可得， 故选：D． 【变式6-2】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【变式6-3】（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1），，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. （2）直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 【题型7 参数的取值范围问题】 【例7】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 【变式7-1】（2025·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可知，以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，进而可求出，，由此能求出椭圆的方程； （2）先研究直线的斜率不存在时，点在椭圆内，再研究直线的斜率存在时，以为直径的圆的圆心为，联立直线方程与椭圆方程，结合根的判别式、韦达定理、弦长公式及，由此能求出的取值范围. 【解答过程】（1）如图所示，    由题意知，，即， 故以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，且边长为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 如图所示，    此时为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以. 当直线的斜率存在时，设的方程为. 如图所示，    由方程组得， 因为直线与椭圆有两个公共点，即，得； 设，则，. 设的中点，则，， 所以.所以， ， 因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立， 所以， 化简，得，整理得， 而（当且仅当时等号成立）所以， 由，得， 综上，的取值范围是. 【变式7-2】（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（） (3) 【解题思路】（1）首先求出点坐标，再由焦半径公式得到方程，求出，即可得解； （2）设，根据三点共线求出，设，由，得，，代入抛物线方程，即可得解； （3）推导可得，，设，，由面积公式及不等关系得到，设，即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由，可得，所以， 由抛物线的准线方程为，所以. 解得（其中舍去）.所以的方程为. （2）由题意，知. 设，则. 因为P，，F三点共线，所以，即. 设，由，得，， 所以，即（）. 所以的轨迹方程（）. （3）因为，所以. 因为， 所以.同理. 设，， 则， . 所以，解得. 又，设，有.于是， 解得，即的取值范围是. 【变式7-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， (1)求双曲线的标准方程； (2)若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程； （2）①由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证； ②由得到，结合①中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围. 【解答过程】（1）由题意得，， 则当l与x轴垂直时，不妨设， 由，得， 将代入方程，得，解得， 所以双曲线E的方程为． （2）①设，，， 由与，得， 即，，将代入E的方程得：， 整理得：①， 同理由可得②． 由①②知，，是方程的两个不等实根． 由韦达定理知，所以为定值． ②又，即， 整理得：， 又，且，所以，则， 整理得，又，故， 而由①知，，故， 代入， 令 ，得， 由双勾函数在上单调递增，得， 所以m的取值范围为． 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【解答过程】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 2．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 3．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围． 【解答过程】解：双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线有两个不同的交点， 又直线过原点，则 则的取值范围是. 故选：B． 4．（2025·江苏苏州·三模）已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的定义将所求距离之和转化为抛物线上的动点到焦点与定直线的距离之和加1，结合图形，判定当且仅当三点共线时，取得最小值即可. 【解答过程】 由可知抛物线的焦点为，准线方程为：， 如图过点作于点，作于点，交直线于点，则， 由图知，，则M到直线和的距离之和为： ， 因点M是抛物线上的动点，故当且仅当三点共线时，取得最小值， 即点到直线的距离，为，此时取得最小值为， 即M到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 5．（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【解答过程】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则 ， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【解答过程】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选：. 7．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（   ） A．24 B．18 C．16 D．12 【答案】B 【解题思路】由题设得，设点，，直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求面积最小值. 【解答过程】由题知，，解得，所以抛物线，， 设点，，直线的方程为，代入， 消去并整理得，所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号，即面积的最小值为18. 故选：B. 8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 的焦点是圆 的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据圆心求得，设出直线的方程，利用弦长公式求的表达式，进而求得其取值范围. 【解答过程】圆的圆心为半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以 所以 所以的取值范围为 故选：C. 二、多选题 9．（2025·山西·三模）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【答案】AC 【解题思路】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 设过的直线为， 将其与抛物线联立可得，消去整理得， 所以，， 对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：设点坐标为，则， 因为，故，故直线平行于轴，故C正确； 对于D：， 设函数，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误， 故选：AC． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项. 【解答过程】解：由椭圆，得，，，且，，即. A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确. B选项:设为椭圆上一点.由题知. 则 , 因为,所以,即.所以B选项错误. C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设. 设，则 . 因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误. D选项：设，又，所以，. 又 . 又 . 所以成立，故D正确. 方法二：因为,所以,所以. 因为即，所以,即. 所以.所以D选项正确. 故选：AD. 11．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的面积为8 B．若Q为圆上的一动点，则的最小值为3 C．的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】代入焦点三角形面积公式，即可判断A，根据双曲线的定义，以及圆的性质，转化，利用数形结合，即可判断B，根据几何图形，结合数量积的定义，和三角函数值，即可判断C，根据几何图形表示四边形 面积，结合圆的切线长公式，即可判断D. 【解答过程】圆的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A正确； 对于B，由双曲线的定义可得， 当P，，三点共线时取等号，故B正确； 对于C， ， 当时取等号，但，所以取不到等号，故C错误； 对于D，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，最小，所以， 所以四边形面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【解答过程】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为：. 13．（2025·江西·模拟预测）过点的直线与抛物线交于，两点，曲线在，两点处的切线相交于点，则面积的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】设，，从而点，处的切线方程为，，故点的坐标可以用点的坐标表示，联立直线的方程与抛物线方程，写出韦达定理，从而弦长与点到的距离都可以用含的式子表示，即面积的最小值可以转换为关于的函数的最小值. 【解答过程】如图，设，，，，点处的切线方程为，同理，点处的切线方程为， 联立两切线方程，求解可得，两切线的交点的坐标为． 设所在直线的方程为，与抛物线方程联立得到， 所以，，则点． 所以， 故， 当时，有． 故答案为：. 14．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】先求出，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点，可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则，求出代入即可得出答案. 【解答过程】设圆的圆心为，， 设直线的方程为， 联立可得：，解得：或， 因为是抛物线在第一象限上一点，所以， 所以，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点， 可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为， 根据椭圆的性质，， 因为焦距为，即， 当圆与动椭圆外切时最小即点到直线最近时最小， 此时，即， 点到直线的距离为：， 到直线的最小值为，即， 所以为最小值. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据已知条件设出点的坐标，再利用为线段的中点得到，代入中即可求解； （2）将转化为用和表示，代入点的坐标得到关于的一元二次函数即可求得最大值. 【解答过程】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又 ， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 16．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点在曲线上，若直线与曲线交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，根据题意可得出关于、的等式，化简可得出曲线的方程； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，设、，将直线的方程与曲线的方程联立，根据韦达定理可求出点的坐标，进而可得出点的坐标，可得出点的坐标，进而可求出点所在定直线的方程，求出点到定直线的距离，即为所求. 【解答过程】（1）设，由题意得，，化简得， 所以曲线的方程为. （2）由于直线与的斜率互为相反数， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，、， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 可得，又，可得，    即， 同理用代替可得， 因此可得的中点，因此可得， 所以可得点在直线上， 可得点与的最小距离即为点到直线的距离， 当且仅当时，取得最小值. 因此，的最小值为. 17．（2025·福建厦门·三模）焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可； （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为，设、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，由题意，求出的值，即可得出直线的斜率； （3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围. 【解答过程】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线的方程为. （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为， 设、，联立，整理得， 由题意可得，解得， 由韦达定理得：，，所以或， 设线段的中点为， 则，， 即点，，， 因为，所以，解得， 经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以. 18．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）结合弦长，利用焦半径公式列方程求出，即可求解抛物线方程； （2）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而求出直线的方程，即可求出定点； （3）设点则，设的内切圆半径为，则，进而得，构造函数，利用导数法求解值域即可得解. 【解答过程】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以抛物线的方程是. （2）设，则，设直线的方程为， 由得， 则，， . 将替换，得.当时，， 则直线的方程为，即， 当时，，当时，.过定点， 故直线过定点. （3）设点，已知点，所以的面积， 设的内切圆半径为，则有 所以， 所以. 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点），所以， 所以， 整理得：. 构造函数，得， 显然单调递增，令，解得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递増； 所以，所以. 19．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线求出，即可得解. （2）①根据双曲线对称性得，进而，设，则，代入双曲线方程即可求解； ②设直线，与双曲线联立方程，韦达定理，根据数量积坐标运算化简得，然后利用及求解即可. 【解答过程】（1）根据题意得，故，故C的方程为． （2）①根据双曲线对称性知，故， 所以； 故，设，则， 又，解得，即，从而． ②由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②， ， 则，因为在直线上， 则， 即，即， 将①②代入有， 即， 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得，又因为，则， 综上知，，故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $