重难点12 三角函数中ω的范围与最值问题（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点12 三角函数中ω的范围与最值问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 2 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 4 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 6 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 9 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 11 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 14 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 16 1、三角函数中ω的范围与最值问题 三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω的范围与最值的求解是近几年高考中的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点，学生在复习中要加强训练，灵活求解. 知识点1 三角函数中有关ω的范围与最值问题的类型 1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几大类型： (1)三角函数的单调性与ω的关系； (2)三角函数的对称性与ω的关系； (3)三角函数的最值与ω的关系； (4)三角函数的周期性与ω的关系； (5)三角函数的零点与ω的关系； (6)三角函数的极值与ω的关系. 知识点2 三角函数中ω的范围与最值问题的解题策略 1．利用三角函数的单调性求ω的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 2．利用三角函数的对称性求ω的解题策略 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 3．利用三角函数的最值求ω的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 4．利用三角函数的周期性求ω的解题策略 若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 【例1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解题思路】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【解答过程】由，为图象的对称轴，得，则， 由在上单调，得，解得， 当时，，由，得，此时， 当时，，当时取得最大值1， 即在上不单调，不满足题意； 当时，，由，得，此时， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 所以的最大值为9. 故选：B. 【变式1-1】（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】先由求出的范围，然后由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【解答过程】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D. 【变式1-2】（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【解答过程】由题意知，，则， 因为 ，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据得出的关系式，再根据单调性确定的范围，最后求出最大值即可. 【解答过程】由于对任意的，均有， 所以在处取得最小值，点是图象的一个对称中心， 所以，两式相减得，即． 因为在上单调，所以，即， ，因此当时，取得最大值． 故选:C. 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 【例2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解. 【解答过程】， 因为的图象关于点对称， 所以， 故，即， 当，即时，函数取得最小值， 因为在上没有最小值， 所以，即， 由解得，故，得. 故选：B. 【变式2-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值. 【解答过程】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． 【变式2-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可. 【解答过程】当，则，， 依题意可得，解得， 故选：A. 【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据的对称性求出 ，再结合其单调性确定的范围，二者结合，即可求得答案. 【解答过程】由题意知直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心， 故，则，， 又在上单调递减，则， 即得，结合，即， 故当时，；当时，； 取其它值时，不合题意， 故的最大值为， 故选：B． 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 【例3】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【解答过程】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【解答过程】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得 ，解得. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可. 【解答过程】因为，所以当时， 则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得， 解得， 故选：A. 【变式3-3】（2024·天津·模拟预测）已知为偶函数，，则下列结论错误的个数为（    ） ①； ②若的最小正周期为，则； ③若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为； ④若，则的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据正弦函数的性质一一判断即可. 【解答过程】对于①：若，为偶函数， 则，即，又，所以，故①正确； 对于②：若的最小正周期为且，则，所以，故②正确； 对于③：由，，得， 若在区间上有且仅有个最值点， 则，解得，故③正确； 对于④：因为，若， 则或，， 解得或， 又，所以的最小值为，故④错误. 故选：A. 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 【例4】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知条件列方程，求得的表达式，进而求得的最小值. 【解答过程】由于，所以， 由于，所以，则， 由于为的一条对称轴， 所以， 由于，所以的最小值为. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】由得出或，再由对恒成立，得出，分类讨论的值即可求解． 【解答过程】或， 因为对恒成立，所以， ①； ②； 故选：B． 【变式4-2】（24-25高三上·北京·期中）已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知易得、，结合，利用正弦型函数的图象讨论不同对应点求的取值，即可得答案. 【解答过程】由在上单调，，故， 而，则，又，如下图依次讨论对应为点四种情况， 若，则，满足； 若，则，满足； 由，若，则，满足； 若，则，不满足，其它情况均不符合； 综上，B不可能，A、C、D可能. 故选：B. 【变式4-3】（2025·四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案. 【解答过程】由题意知为函数的最小正周期，故， 由得，即， 由于，故， 在区间有且只有三个零点，故， 且由于在上使得的x的值依次为， 故，解得，即， 故选：D. 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 【例5】（24-25高三上·江苏·期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【解答过程】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 【变式5-1】（2024·陕西商洛·三模）已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】整体代入法求得的零点，根据题意列出不等式组即可求解. 【解答过程】令，则，可得， 故的零点有…，，…， 要使在上有且仅有4个零点， 则，解得． 故选：C． 【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【解答过程】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 【变式5-3】（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解题思路】根据对称性可得，即可分别取和，代入求解，进而整体法验证是否符合一个零点求解. 【解答过程】 为的零点,为图象的对称轴 ，      又 当时， , ， 当时，，故有2个零点，不符合，舍去. 当时， , 当时， ，此时有且仅有1个零点，符合 故选：B. 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 【例6】（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性可判断当时函数的极值点情况，再结合函数图像列不等式即可. 【解答过程】由题得， 即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以， 故选：A. 【变式6-1】（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（    ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到，进而得到，求得，分类讨论，即可求解. 【解答过程】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点， 可得，即，其中， 因为，当时，当时， 因为在区间内有唯一的极大值点，所以， 解得，即，所以， 当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去； 当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去； 当时，，此时，此时有一个极大值点， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式6-2】（2025·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦函数的性质列不等式求解. 【解答过程】时，，， 因此由题意，解得． 故选：A． 【变式6-3】（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由在有且仅有2个极值点，可得，解得，又在上单调递增，可得，解得，则可得的取值范围. 【解答过程】因为在有且仅有2个极值点， 所以，解得， 因为在上单调递增， 又，所以， 解得，所以． 故选：A． 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 【例7】（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【解题思路】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【解答过程】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C. 【变式7-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由范围求得的范围，结合整体思想转化为在上只有1个零点，在上单调递增，求解即可. 【解答过程】当时，， 因为在上只有1个零点， 所以，解得， 当时，， 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以，解得. 综上可得. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【解题思路】根据零点和对称轴列式求得，根据单调区间得，根据正弦函数性质依次判断和，即可得解. 【解答过程】由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上不单调，舍去； 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上单调递减. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到曲线的一条对称轴为，设零点从小到大依次为，从而得到，从而得到，得到答案. 【解答过程】因为的最小正周期为， 所以曲线的一条对称轴为， 所以， 设零点从小到大依次为，其中， 有，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 一、单选题 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【解答过程】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 2．（2025·山东济南·二模）已知函数在处取得最大值，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】由正弦函数的性质有，，结合参数范围即可得. 【解答过程】由题设，则，， 又，则. 故选：D. 3．（2025·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出整体角的范围，根据题意，结合函数的图象，即可确定的范围，继而求出的取值范围. 【解答过程】 对于，因，则， 作出函数在上的图象， 要使原函数在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，需使， 解得. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【解题思路】根据已知得、，进而有，，则，从大到小代入解析式研究函数在上的单调性，即可得. 【解答过程】由题设，，可得， 且，可得， 所以，，则，， 又，所以， 当时，，，，则， 所以，此时，，显然不单调； 当时，，，，则， 所以，此时，，满足题设； 所以的最大值为14. 故选：C. 5．（2025·青海西宁·模拟预测）设函数，若在上有且只有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的图象性质解不等式即得. 【解答过程】因， 由，可得， 因为在上有且只有个零点， 由正弦函数的图象可知，需使，解得. 故选：D. 6．（2025·河南·二模）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题设在上没有最小值，结合正弦函数图象的性质列不等式求参数范围. 【解答过程】由，则且， 所以在上没有最小值， 若，可得， 若且，可得，， 所以， 综上，. 故选：D. 7．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【解答过程】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C. 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则（   ） A．存在，使得对任意，恒有 B．若，则是的整数倍 C．若在区间上的值域为，则的取值范围是 D．若在区间上没有最小值，则的取值范围是 【答案】AC 【解题思路】根据正弦型函数的性质，包括对称性、零点间距、值域以及最值等问题.逐一分析每个选项. 【解答过程】若对任意，恒有，则函数的图象关于直线对称. 对于函数，其对称轴方程为，即. 所以存在，使得对任意，恒有，故选项A正确. 若，则，是函数的两个零点. 根据正弦函数的性质，相邻两个零点之间的距离是半个周期，函数的周期，那么是的整数倍，而不是的整数倍，故选项B错误. 已知，，则. 因为在区间上的值域为，所以，解得，即的取值范围是，故选项C正确. 已知，，则. 因为在区间上没有最小值，所以，解得，即的取值范围是，故选项D错误. 故选：AC. 10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 【答案】ACD 【解题思路】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可． 【解答过程】时，，因为， 所以关于对称，故A正确； 时，由可得， 根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误； 若，则，，所以，，且， 所以的最小值为1，故C正确； 因为在上单调递减，且， 根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为： ，，，， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 11．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．若在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围. 【解答过程】对于A，的最大值为，故A错误； 对于B，令，得， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，不等式可化为，则，解得， 因此原不等式的解集为，故C正确； 对于D，由，，解得. 因为在区间上单调递增，所以， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ． 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值. 【解答过程】由曲线的一个对称中心为，得， 解得，所以的最小值为2. 故答案为：2. 14．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由得的范围，因此在这个范围内，从而可得的范围. 【解答过程】由题意，在区间上的最小值为， 当时，； 当时，. 则的取值范围为或. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调，求的取值范围． 【答案】 【解题思路】对分类讨论即可得解. 【解答过程】（i）当时，在上不单调，不符合题意； （ii）当时，，显然， 因为函数在上单调， 所以，解得； （iii）当时，，显然， 因为函数在上单调， 所以，解得； 综上所述，满足题意的的取值范围为. 16．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为1 (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到，结合在区间上单调，列出不等式组，即可求解； （2）求得函数的对称中心满足，根据题意，得到图象在区间上至少有两个对称中心，确定的值，即可求解. 【解答过程】（1）当时，可得， 因为函数在区间上单调， 则满足，解得，故的最大值为1． （2）由函数， 可得图象的对称中心满足，整理得， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则， 因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使， 所以至少有两个取值，所以， 综上可得，的取值范围为． 17．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得出函数的最小正周期，可求出的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数在上的值域； （2）由可求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 当时，，则， 则， 因此，当时的值域为. （2）当时，， 因为函数在开区间内恰有个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解. （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【解答过程】（1）当时，，则函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）由，得， 由函数在区间内单调递增，得，解得，又， 所以的取值范围为． 19．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ） 【解题思路】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可； （2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算. 【解答过程】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点12 三角函数中ω的范围与最值问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 2 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 2 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 3 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 4 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 4 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 5 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 5 1、三角函数中ω的范围与最值问题 三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω的范围与最值的求解是近几年高考中的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点，学生在复习中要加强训练，灵活求解. 知识点1 三角函数中有关ω的范围与最值问题的类型 1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几大类型： (1)三角函数的单调性与ω的关系； (2)三角函数的对称性与ω的关系； (3)三角函数的最值与ω的关系； (4)三角函数的周期性与ω的关系； (5)三角函数的零点与ω的关系； (6)三角函数的极值与ω的关系. 知识点2 三角函数中ω的范围与最值问题的解题策略 1．利用三角函数的单调性求ω的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 2．利用三角函数的对称性求ω的解题策略 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 3．利用三角函数的最值求ω的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 4．利用三角函数的周期性求ω的解题策略 若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 【例1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式1-1】（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 【例2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 【例3】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-1】（24-25高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·天津·模拟预测）已知为偶函数，，则下列结论错误的个数为（    ） ①； ②若的最小正周期为，则； ③若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为； ④若，则的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 【例4】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式4-2】（24-25高三上·北京·期中）已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 【例5】（24-25高三上·江苏·期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·陕西商洛·三模）已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 【例6】（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（    ） A．8 B．7 C． D． 【变式6-2】（2025·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 【例7】（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【变式7-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【变式7-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）已知函数在处取得最大值，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．18 5．（2025·青海西宁·模拟预测）设函数，若在上有且只有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·二模）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则（   ） A．存在，使得对任意，恒有 B．若，则是的整数倍 C．若在区间上的值域为，则的取值范围是 D．若在区间上没有最小值，则的取值范围是 10．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 11．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．若在区间上单调递增，则的取值范围是 三、填空题 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 13．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ． 14．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调，求的取值范围． 16．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 17．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 19．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$