重难点28 直线与圆的综合（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点28 直线与圆的综合 【全国通用】 【题型1 直线与圆的位置关系】 2 【题型2 圆的弦长与中点弦问题】 4 【题型3 圆的切线及切线方程问题】 6 【题型4 直线与圆中的面积问题】 8 【题型5 直线与圆的位置关系求距离的最值】 11 【题型6 阿波罗尼斯圆】 13 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 16 【题型8 直线与圆中的向量问题】 21 1、直线与圆的综合 直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解. 知识点1 直线与圆相交时的弦长求法 1．圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点2 圆的切线及切线方程问题 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 知识点3 阿波罗尼斯圆 1．阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. 知识点4 直线与圆中的最值与范围问题的解题策略 1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法 直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【题型1 直线与圆的位置关系】 【例1】（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解题思路】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【解答过程】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C. 【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再集合的包含关系得条件关系.. 【解答过程】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线 的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【解题思路】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【解答过程】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 【变式1-3】（2025·宁夏银川·二模）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由方程可得图象，根据直线的变换，结合直线与圆的位置关系，可得答案. 【解答过程】由，则，故直线随的变化上下平移， 由，则，则可作图如下：    由图可知分别为直线平移的边界， 将代入，可得，解得，即； 原点到直线的距离，由图可得，解得，即. 所以. 故选：C. 【题型2 圆的弦长与中点弦问题】 【例2】（2025·重庆·三模）直线截圆所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式来求解弦长. 【解答过程】因为圆:，圆心坐标，半径为3. 圆心到直线的距离为：. 根据弦长公式可得：弦长. 故选：B. 【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【解答过程】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D. 【变式2-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【解答过程】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】确定直线过圆内定点，由直线与过定点的半径垂直，求得直线斜率得直线方程． 【解答过程】圆标准方程是，圆心为，半径为2， 直线过定点，，在圆内部， 直线与圆相交所得弦长最短时，， ，所以， ∴的方程为，即， 故选：D． 【题型3 圆的切线及切线方程问题】 【例3】（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 【答案】B 【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 则， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值. 【解答过程】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点记为，若存在四边形的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由四边形面积求得切线长，得出，从而得出圆心到直线的距离的范围，再结合点到直线距离公式可得参数范围． 【解答过程】易得圆心，半径，由图知， 则，此时， 则只需圆心到直线的距离，即存在四边形的面积为， 所以，即，解得． 故选：B．    【变式3-3】（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求出方程，根据，求出的运动轨迹为为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案. 【解答过程】    因为直线与x轴交于点A，所以， 因为为上一点，所以， 设，， 则，得直线的方程为，故 同理得的方程为，， 故直线的方程为， 因为为中点，所以， 所以方程为，即， 联立， 消得， 所以为为圆心，为半径的圆， 其中点到圆心的距离为， 所以，， 所以的取值范围是， 故选：A. 【题型4 直线与圆中的面积问题】 【例4】（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【解答过程】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题设可得，利用导数可得，再根据等积法可，故可求圆的面积的最小值. 【解答过程】由题设有，设，则， 设，则， 因为为上的增函数，故为上的增函数， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，    由等积法可得， 故， 故， 故圆的面积的最小值为， 故选：B. 【变式4-2】（2025·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【解答过程】由题意得，，， ， 当垂直直线时，， ， 故选：B.    【变式4-3】（2025·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B. 【题型5 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例5】（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定圆心的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离最大值. 【解答过程】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 【变式5-1】（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【解答过程】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围. 【解答过程】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 【变式5-3】（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【解答过程】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 【题型6 阿波罗尼斯圆】 【例6】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【解答过程】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 【变式6-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可. 【解答过程】设点，，， 所以动点的轨迹为阿氏圆：， 又直线恒过点， 若对任意实数直线与圆恒有公共点， 在圆的内部或圆上，所以，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值. 【解答过程】设点，由可得，整理可得， 化为标准方程可得， 因为为的中点，    所以， ， 记圆心为，当点为线段与圆的交点时， 取最小值，此时，， 所以，. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】利用直接法求出点的轨迹方程，根据结论圆外一点与圆上的动点的最小距离为圆外的点到圆心的距离与该圆的半径的差，求的最小值即可. 【解答过程】设，则，， 因为， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为， 又点为上一动点， 所以， 当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 【例7】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点P在直线上，过点P引的两条切线PA、PB，切点为A、B． (1)求四边形OAPB面积的最小值； (2)求证：直线AB过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【解题思路】（1）根据给定条件，利用切线长定理，结合勾股定理将四边形OAPB的面积表示为，进而求出最小值. （2）求出四边形OAPB的外接圆的方程，进而求出直线的方程即可. 【解答过程】（1）圆O：的圆心，半径，点到直线的距离， 由切于点，得， 四边形OAPB的面积 ，当且仅当是直线与轴的交点时取等号， 所以四边形OAPB面积的最小值是. （2）设点，由，得点在以线段为直径的圆上， 此圆的方程为，即， 则圆与的公共弦所在直线方程为，而当时，恒有， 所以直线AB过定点. 【变式7-1】（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)已知直线与轴交于点． ①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； ②求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析， 【解题思路】（1）设，根据条件列方程，化简即可求解轨迹方程； （2）①取的中点，根据题意得，即可求得轨迹方程； ②设直线，代入圆的方程，得到，由韦达定理知，再利用，代入计算可求解. 【解答过程】（1）设，由题知，又，， 所以，化简得． （2）①不妨设曲线的圆心为，所以当不重合时，为直角三角形， 取的中点，则， 当重合时，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆在圆内的部分， 以为圆心，半径为3的圆的方程为， 由，消得， 所以的轨迹方程为． ②由题意知，直线的斜率一定存在，设， 代入，消得， 则，得到， 不妨设，则， 故， 又，所以， 故为定值，且定值为. 【变式7-2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【解题思路】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【解答过程】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 【变式7-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知圆O：，点，点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程． (2)过点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F两点，设曲线C与x轴交于P，Q两点（点P在点Q左边），直线PE与直线QF相交于点N，试判断点N是否在定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线PE与直线QF的交点N在定直线上 【解题思路】（1）设，，由中点坐标公式求得代入圆中即可求解； （2）设直线l的方程为，联立曲线及韦达定理得到，，，根据题意求出P，Q坐标，写出直线PE与直线QF方程，联立得到N点恒坐标即可得出结论. 【解答过程】（1）设，，因为点B在圆O上，所以．① 因为M为AB的中点，所以整理得 代入①式中得，整理得， 即曲线C的方程为． （2）设直线l的方程为，，， 联立得 ． 则，，，故． 因为曲线C与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q左边，所以，． 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为， 联立两直线方程得， 故直线PE与直线QF的交点N在定直线上． 【题型8 直线与圆中的向量问题】 【例8】（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】若为的中点，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律得 ，数形结合最小时取最小值，即可得答案. 【解答过程】若为的中点，如下图示，，， 所以 ， 由，即圆心，半径，所以， 到的距离，即直线与圆相离， 结合图知，最小，此时. 故选：C. 【变式8-1】（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出弦长后根据数量积的定义可求. 【解答过程】（图片优化老师注意：图中BC倾斜角30度，需调整）优化完后请删除此段提醒 由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切于点，所以，故， 而到直线的距离为， 所以，而直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故， 则. 故选：B. 【变式8-2】（2025·四川德阳·模拟预测）已知椭圆，直线交椭圆于，两点. (1)若直线过定点，且，求的斜率； (2)若，满足，判断是否存在以坐标原点为圆心的圆，使得直线与圆总相切？若存在，请求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，半径为 【解题思路】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用弦长公式，即可求解； （2）当斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程得，消得到，根据条件得到，再利用点到直线的距离公式得到，即可求解；再检验斜率不存在也满足即可. 【解答过程】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，得到，此时，不合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则， 所以， 整理得到，解得. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则， ，， 因为，又，则， 所以，得到， 又原点到直线的距离为， 所以存在以坐标原点为圆心的圆，使得直线与圆总相切，此时圆的半径为， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 由，得到，此时， 由，得到，解得，此时直线也与圆相切， 综上，存在以坐标原点为圆心的圆，使得直线与圆总相切，此时圆的半径为. 【变式8-3】（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【解题思路】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【解答过程】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 一、单选题 1．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【解答过程】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 2．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解题思路】由点到直线的距离公式、圆的弦长公式列方程即可求解. 【解答过程】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 3．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【解答过程】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 4．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【解答过程】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 5．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得圆心到直线的距离，由求解即可. 【解答过程】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离. 因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2， 所以，即，又， 解得：. 故选：B. 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【解答过程】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 7．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案. 【解答过程】注意到直线过点C，将直线方程与联立， 可得，其判别式为， 设，则. 又，， 则 ， 当且仅当时取等号. 故选：B. 8．（2025·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 【答案】D 【解题思路】根据曲线方程画出图象，再数形结合一一判断即可. 【解答过程】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图像如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为 ，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C正确； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D错误； 故选：D. 二、多选题 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【解题思路】A，设圆 ，令举例说明；B，令，利用关系式求出的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆与轴相交求出的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求的最值，再利用几何意义即可求出. 【解答过程】设圆 ， 因点在圆上，则， 若，则，则圆 ，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】对于A，判断圆O的圆心到直线的距离与圆O的半径的关系即可；对于B，当垂直于直线时，点到直线的距离最大；对于C，求出的表达式，通过不等式可判断；对于D，求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出的表达式，利用二次函数的性质可求最小值. 【解答过程】对于A，圆的圆心为，半径为， 因为点到直线的距离为， 所以直线与圆相离，A正确． 对于B，如图，过点作直线的垂线，当垂足为点时， 点到直线的距离最大，为 ，B正确． 对于C，当直线轴时，； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 则点到直线的距离为， 从而， 因为恒成立，所以当时，最大， 但此时直线过点，不符合题意，C错误． 对于D，当直线的斜率为0时，； 当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在且不为0时，则直线的方程为且， 联立解得则， 所以． 令，则， 所以当，即时，， 综上所述，的最小值为，D正确． 故选：ABD． 11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，直线 与轴相交于点，过点作圆的两条切线.切点分别为，直线与交于点，则（   ） A．圆的方程是 B．当时，四边形的面积为 C．的取值范围为 D．若点，则为定值 【答案】ACD 【解题思路】对于A，由题意可得圆的方程，故可判其正误，对于B，根据距离公式求出切线长，根据直线三角形的面积公式，可得其正误；对于C，根据数量积的定义及同角三角函数的平方式，可得数量积的函数解析式，根据对勾函数的性质，可得其正误；对于D，利用圆系可得公共弦所在直线的方程，根据垂直可得动点的轨迹，结合圆的性质，可得其正误. 【解答过程】 因为圆的圆心在x轴上，且与直线和都相切， 所以圆M的标准方程为，故A正确； 对于B，因为是圆的切线，所以. 在Rt△APM中，. 当时，，又，所以， 则，所以四边形PAMB的面积， 故B错误. 对于C， . 因为，所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以.故C正确. 对于D，由题意，知，，，， 所以四点共圆， 记此圆为圆D，则PM为圆D的直径，圆心，半径为， 圆D的方程为. 因为AB是圆D与圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为； 化简得，所以直线经过定点. 因为，所以， 因为点在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上. 因为，，所以圆心为点，恰为Q点，半径为. 因为点C在该圆上，所以为定值.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·四川自贡·三模）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】4 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由垂径定理及勾股定理计算可得. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 又点到直线的距离， 所以弦长. 故答案为：. 13．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 【答案】 【解题思路】把曲线方程变形，设出过点且与圆的一部分，相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案． 【解答过程】由曲线，得， 作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得或（舍去）， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：. 14．（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【解答过程】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【解题思路】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【解答过程】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 16．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解； （2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程. 【解答过程】（1）    因为圆心在射线上，设，其中. 设圆的标准方程为，其中 圆经过点，所以，化简得 圆心到直线的距离. 该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得. 故，解得. 故圆的方程为. （2）点距离圆心的距离为，所以点在圆外. 过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线. 设过点作圆的另一条切线方程为，变形得. 圆心到该直线的距离为，即，解得. 故该切线方程为，即. 综上，过点作圆的切线方程为或. 17．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且 【解题思路】（1）先判断点和圆的位置关系，如果在圆外，分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况进行讨论； （2）先求临界位置，即分别求圆上有1个点到的距离为1，圆上有3个点到的距离为1时m的值，取中间范围即圆上有2个点到的距离为1. 【解答过程】（1）由题可知圆心， 因为， 所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条. ①当k存在时，设切线方程：，即. 则圆心C到的距离d＝，， 此时切线：， ②当k不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆相切， 此时切线方程：， 综上：切线的方程为：或； （2）圆心到的距离 ， 当圆上有1个点到的距离为1，则 当圆上有3个点到的距离为1，则， 所以当圆上有2个点到的距离为1，则， 所以，即，， 的取值范围为且. 18．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【解答过程】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 19．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【解题思路】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【解答过程】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点28 直线与圆的综合 【全国通用】 【题型1 直线与圆的位置关系】 2 【题型2 圆的弦长与中点弦问题】 3 【题型3 圆的切线及切线方程问题】 3 【题型4 直线与圆中的面积问题】 4 【题型5 直线与圆的位置关系求距离的最值】 5 【题型6 阿波罗尼斯圆】 5 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 6 【题型8 直线与圆中的向量问题】 7 1、直线与圆的综合 直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解. 知识点1 直线与圆相交时的弦长求法 1．圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点2 圆的切线及切线方程问题 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 知识点3 阿波罗尼斯圆 1．阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. 知识点4 直线与圆中的最值与范围问题的解题策略 1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法 直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【题型1 直线与圆的位置关系】 【例1】（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【变式1-3】（2025·宁夏银川·二模）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆的弦长与中点弦问题】 【例2】（2025·重庆·三模）直线截圆所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【变式2-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 圆的切线及切线方程问题】 【例3】（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 【变式3-1】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点记为，若存在四边形的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 直线与圆中的面积问题】 【例4】（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】（2024·湖北·模拟预测）已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-3】（2025·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【题型5 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例5】（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 阿波罗尼斯圆】 【例6】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 . 【变式6-3】（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 . 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 【例7】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点P在直线上，过点P引的两条切线PA、PB，切点为A、B． (1)求四边形OAPB面积的最小值； (2)求证：直线AB过定点． 【变式7-1】（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)已知直线与轴交于点． ①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； ②求证：为定值，并求出这个定值． 【变式7-2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式7-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知圆O：，点，点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程． (2)过点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F两点，设曲线C与x轴交于P，Q两点（点P在点Q左边），直线PE与直线QF相交于点N，试判断点N是否在定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【题型8 直线与圆中的向量问题】 【例8】（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【变式8-1】（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·四川德阳·模拟预测）已知椭圆，直线交椭圆于，两点. (1)若直线过定点，且，求的斜率； (2)若，满足，判断是否存在以坐标原点为圆心的圆，使得直线与圆总相切？若存在，请求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 4．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 8．（2025·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 二、多选题 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，直线 与轴相交于点，过点作圆的两条切线.切点分别为，直线与交于点，则（   ） A．圆的方程是 B．当时，四边形的面积为 C．的取值范围为 D．若点，则为定值 三、填空题 12．（2025·四川自贡·三模）直线被圆截得的弦长为 . 13．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 14．（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 四、解答题 15．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 16．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 17．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 18．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 19．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $