重难点27 直线与圆中常考的最值与范围问题（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点27 直线与圆中常考的最值与范围问题 【全国通用】 【题型1 斜率型最值（范围）问题】 3 【题型2 直线型最值（范围）问题】 5 【题型3 与距离有关的最值（范围）问题】 8 【题型4 定点到圆上点的最值（范围）】 10 【题型5 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 13 【题型6 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 15 【题型7 圆的切线长度最值（范围）问题】 18 【题型8 周长面积型最值（范围）问题】 20 【题型9 角度型最值（范围）问题】 24 【题型10 长度型最值（范围）问题】 27 1、直线与圆中的最值与范围问题 从近几年的高考情况来看，直线与圆中的最值与范围问题是高考的重点、热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与直线与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解. 知识点1 常用距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 知识点2 圆中与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 知识点3 利用代数法的几何意义求最值 1．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 知识点4 圆的切线长度最值问题 1．圆的切线长度最值问题 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点5 圆的弦长最值问题 1．过圆内定点的弦长最值问题 已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点6 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法 (1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. (3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. (4)多与圆心联系，转化为圆心问题. (5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 【题型1 斜率型最值（范围）问题】 【例1】（2025·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【解答过程】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大值为. 故选:D. 【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）已知点是圆上一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率，由圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由题可得，圆的圆心为，半径为2， 的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：    过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得． 故由图可知的最大值是， 故选：A． 【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【解答过程】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 【变式1-3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【解答过程】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 【题型2 直线型最值（范围）问题】 【例2】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【解答过程】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【解答过程】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如图所示：    所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高三下·全国·开学考试）已知实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，将其看作直线，由题知直线和圆有公共点，则利用圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求出结果. 【解答过程】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【答案】(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【解答过程】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 【题型3 与距离有关的最值（范围）问题】 【例3】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【解答过程】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【解答过程】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【解答过程】如图，    ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点 ，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C. 【题型4 定点到圆上点的最值（范围）】 【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【解答过程】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 【变式4-1】（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得. 【解答过程】因为所以点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即. 故选：B. 【变式4-2】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【解答过程】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 【变式4-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出圆心的轨迹方程，再利用动点到圆上的点的取值范围的求法，求出，注意排除特殊位置. 【解答过程】 设，， 由为的中点，可得，即， 又在圆上， 则可得，即， 即圆心的轨迹是以为圆心 ，为半径的圆，而， 则的范围为，即， 又当时，圆心，半径为，此时圆与轴相切，不符合题意， 此时. 故的范围为. 故选：B. 【题型5 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 【例5】（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【解答过程】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 【变式5-1】（2025·陕西渭南·一模）若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设动点的坐标为，由题意求出动点的轨迹方程，结合圆的几何性质即可求得答案. 【解答过程】设动点的坐标为， 由题意：，即， 代入点的坐标，可得， 两边取平方并整理得：， 即动点C的轨迹为圆心为，半径为的圆， 因到直线的距离为， 故点到直线的最小距离为， 故选：D. 【变式5-2】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A.    【变式5-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围. 【解答过程】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 【题型6 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 【例6】（2025·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由恒过定点可得，过点的直径与直线垂直时，所截得的弦长最小，借助垂径定理计算即可得. 【解答过程】直线恒过定点， ，即， 设其圆心为，半径为，则，， 又，所以点在圆内， 则当直线与直线垂直时所截得的弦长最小， 最小值为． 故选：D． 【变式6-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解. 【解答过程】因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最短弦长 【解题思路】（1）整理可得直线，根据直线过定点分析求解即可； （2）根据题意可得圆心和半径，结合圆的性质以及垂径定理分析求解即可. 【解答过程】（1）由直线，得， 联立方程，解得， 即当时，方程对实数恒成立， 所以直线恒过定点． （2）因为圆的方程可化为，可知圆心为，半径． 因为，可知点在圆C内， 由圆的性质可知：圆心到直线的距离， 则弦长． 故当时，直线被圆截得的弦长最短． 此时，故． 即，解得， 最短弦长． 【变式6-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求P的轨迹方程，首先设出点，然后根据两点间距离公式，求得方程； （2）先求出直线的定点坐标，然后根据垂径定理求得的距离，又因为直线过定点，所以最大取到直径，最小就是垂径定理求得的距离，故可得的取值范围. 【解答过程】（1）设，， 由题意可得，两端同时平方得， 故，化简得. 故曲线的方程为：. （2）直线：，即， 令，解得， 故直线过定点. 代入点到圆的方程：， 故点在圆的内部. 设圆心到直线的距离为，又， 所以. 又因为，， 所以,解得. 故的取值范围为：. 【题型7 圆的切线长度最值（范围）问题】 【例7】（2025·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 【变式7-1】（2025·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【解答过程】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B. 【变式7-2】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【解答过程】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 【题型8 周长面积型最值（范围）问题】 【例8】（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【解题思路】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． 【解答过程】设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 【变式8-1】（2025·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【解答过程】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 【变式8-3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 【题型9 角度型最值（范围）问题】 【例9】（2025·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【解答过程】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 【变式9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即得. 【解答过程】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B. 【变式9-2】（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【解答过程】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故选：D．    【变式9-3】（2025·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解. 【解答过程】如下图所示：    由题意圆的标准方程为，， 又因为，所以， 所以， 又圆心到直线的距离为， 所以，所以不妨设， 则， 又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时， 有最大值. 故选：A. 【题型10 长度型最值（范围）问题】 【例10】（24-25高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解. 【解答过程】 因为圆：的标准方程为； 圆：的标准方程为： 所以和的圆心坐标分别为、，半径，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为1 所以直线与直线垂直，如图， 所以当与和共线时最小，此时， 又此时，， 所以最小值为. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高二上·河南安阳·期中）已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【解答过程】因为、在圆上， 所以，，， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形，    表示、到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， ，， 故在圆上，. 故的最小值为. 故选：D. 【变式10-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解. 【解答过程】如图所示，连接，可得，且垂足为 要使得取得最小值， 即， 又由， ， 显然，当最小时，同时取得最小值， 所以，当时，且， 所以. 故选：B. 【变式10-3】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 【答案】D 【解题思路】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 一、单选题 1．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【解答过程】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【解答过程】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【解答过程】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2025·湖南长沙·三模）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离 ，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值. 【解答过程】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D. 5．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【解答过程】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 6．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【解答过程】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 7．（2025·全国·模拟预测）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，.，则，可求得.设，则，.结合不等式即可求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径. ∵，是圆上的两点，∴，，. ∴，， ∴， . ∵，∴. 设，则，. ∴由向量数量积性质可得，即， 当且仅当与反向时；当且仅当与同向时. ∴的取值范围是. 故选：B. 8．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【解答过程】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 二、多选题 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【解题思路】A，设圆 ，令举例说明；B，令，利用关系式求出的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆与轴相交求出的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求的最值，再利用几何意义即可求出. 【解答过程】设圆 ， 因点在圆上，则， 若，则，则圆 ，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10．（2025·四川凉山·三模）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【解题思路】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【解答过程】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离， ， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·湖南·模拟预测）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】对于A，判断圆O的圆心到直线的距离与圆O的半径的关系即可；对于B，当垂直于直线时，点到直线的距离最大；对于C，求出的表达式，通过不等式可判断；对于D，求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出的表达式，利用二次函数的性质可求最小值. 【解答过程】对于A，圆的圆心为，半径为， 因为点到直线的距离为， 所以直线与圆相离，A正确． 对于B，如图，过点作直线的垂线，当垂足为点时， 点到直线的距离最大，为 ，B正确． 对于C，当直线轴时，； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 则点到直线的距离为， 从而， 因为恒成立，所以当时，最大， 但此时直线过点，不符合题意，C错误． 对于D，当直线的斜率为0时，； 当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在且不为0时，则直线的方程为且， 联立解得则， 所以． 令，则， 所以当，即时，， 综上所述，的最小值为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 【答案】 【解题思路】把曲线方程变形，设出过点且与圆的一部分，相切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案． 【解答过程】由曲线，得， 作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得或（舍去）， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：. 13．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】 【解题思路】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      14．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ． 【答案】 【解题思路】设点，利用平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程，可知曲线是以点为圆心，半径为的圆，求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离取最大值，结合勾股定理可求出的最小值. 【解答过程】设点，由得， 化简得，所以曲线是以点为圆心，半径为的圆， 直线的方程可化为， 由得，即直线过定点， 且，故点在圆内，易知轴， 当时，即当时，圆心到直线的距离取最大值，且， 故，即最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】 【解题思路】将函数中的根式转化为两点间距离公式的形式，再利用几何意义即可求解. 【解答过程】将函数中的被开方数进行配方， 可得， 所以函数的几何意义为：轴上一点到点与到点的距离之差， 即，如图所示. 根据三角形三边关系，即有，、当且仅当三点共线时取等号，此时在的延长线上. 故. 综上，的最大值为. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【解题思路】（1）先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【解答过程】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为 ． 点到直线的距离的最大值为 ，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆 有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则 ， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）设，和列方程化简可得； （2）求出点关于直线的对称点为，结合图形分析即可得解. 【解答过程】（1）设，如图，连接，为切点，， 由勾股定理得， 又，， ，整理得． 点的轨迹方程为． （2）如图，作出直线，设关于直线的对称点为，连接， 则，解得，． 连接，则， 当三点共线时，取得等号．则的最大值为． 18．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【解答过程】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2）因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点27 直线与圆中常考的最值与范围问题 【全国通用】 【题型1 斜率型最值（范围）问题】 3 【题型2 直线型最值（范围）问题】 3 【题型3 与距离有关的最值（范围）问题】 4 【题型4 定点到圆上点的最值（范围）】 4 【题型5 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 5 【题型6 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 5 【题型7 圆的切线长度最值（范围）问题】 6 【题型8 周长面积型最值（范围）问题】 7 【题型9 角度型最值（范围）问题】 8 【题型10 长度型最值（范围）问题】 8 1、直线与圆中的最值与范围问题 从近几年的高考情况来看，直线与圆中的最值与范围问题是高考的重点、热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与直线与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解. 知识点1 常用距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 知识点2 圆中与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 知识点3 利用代数法的几何意义求最值 1．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 知识点4 圆的切线长度最值问题 1．圆的切线长度最值问题 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点5 圆的弦长最值问题 1．过圆内定点的弦长最值问题 已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点6 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法 (1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. (3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. (4)多与圆心联系，转化为圆心问题. (5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 【题型1 斜率型最值（范围）问题】 【例1】（2025·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）已知点是圆上一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线型最值（范围）问题】 【例2】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高三下·全国·开学考试）已知实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【题型3 与距离有关的最值（范围）问题】 【例3】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 【题型4 定点到圆上点的最值（范围）】 【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式4-1】（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 【例5】（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（2025·陕西渭南·一模）若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【变式5-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 【例6】（2025·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长． 【变式6-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【题型7 圆的切线长度最值（范围）问题】 【例7】（2025·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式7-1】（2025·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-2】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型8 周长面积型最值（范围）问题】 【例8】（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【变式8-1】（2025·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【变式8-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【变式8-3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【题型9 角度型最值（范围）问题】 【例9】（2025·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型10 长度型最值（范围）问题】 【例10】（24-25高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二上·河南安阳·期中）已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 一、单选题 1．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·三模）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离 ，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7．（2025·全国·模拟预测）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 10．（2025·四川凉山·三模）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 11．（2025·湖南·模拟预测）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 13．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 14．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 18．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 19．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $