重难点18 平面向量中的最值（范围）、新定义问题（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点18 平面向量中的最值（范围）、新定义问题 【全国通用】 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 2 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 5 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 8 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 10 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 12 【题型6 平面向量中的新定义问题】 16 1、平面向量中的最值（范围）、新定义问题 平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，复习时要加强这方面的训练. 从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对新定义、新概念的理解. 知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. 知识点2 平面向量中的新定义问题 1．平面向量中的新定义问题的求解策略 遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决. 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 【例1】（2025·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【解答过程】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 【变式1-1】（2025·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】先判断外接圆圆心是的中点，将化简为，再将分解整理得，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得的最大值. 【解答过程】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 【变式1-2】（2025·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算 即可. 【解答过程】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C. 【变式1-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解题思路】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【解答过程】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 【例2】（2025·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【解题思路】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D. 【变式2-1】（2025·安徽淮北·一模）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【解答过程】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据重心性质可得，再由三点共线得出，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值. 【解答过程】由点为的重心，为的中点知， , 所以， 因为三点共线，分别是边上一点， 所以，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【变式2-3】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】过点作，设，，得到，再由，求得，结合圆的性质，当与半圆相切时，最大，分别求得的长，即可求解. 【解答过程】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 【例3】（2025·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解题思路】由题意可得为直径，且，当共线且方向相同时模长最长，即可得出答案. 【解答过程】因为，所以为直径且过原点，的中点为原点， 所以由平行四边形法则可得：， 所以， 所以当共线且方向相同时模长最长，即当运动到时， 取得最大值为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【解答过程】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 【变式3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得. 【解答过程】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【解答过程】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D. 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 【例4】（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【解题思路】设，，求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得的最值，即可得出合适的选项. 【解答过程】因为，不妨设，， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故有最大值. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，的夹角为钝角，可得，且与不共线，从而可求出的取值范围. 【解答过程】因为，，，的夹角为钝角， 所以，解得，且， 即的取值范围是， 故选：B. 【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，则可得，利用向量的夹角公式可求的最小值. 【解答过程】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 【变式4-3】（2025·甘肃·一模）已知梯形中， ，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【解答过程】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 【例5】（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【解答过程】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C. 【变式5-1】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】设BD、AE交于O，根据题意可得，所以，进而可得，根据O、F、B三点共线，可得x，y的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案. 【解答过程】设BD、AE交于O，因为， 所以，所以, 所以，则， 所以， 因为O、F、B三点共线， 所以，即， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以， 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 【变式5-3】（24-25高三上·河南·阶段练习）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)取的中点，则，所以，根据PB＝1，可以得到，进而求出结果； (2)根据得到，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解. 【解答过程】（1）取的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 又因为PB＝1，所以，故， 故的取值范围. （2）因为，所以， 因为，，， 所以，也即， 因为点三点共线，所以① 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以②， 由①得：，将其代入②式可得：， 所以当时，取最大值. 【题型6 平面向量中的新定义问题】 【例6】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，先求得，再由平面向量数量积的公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可得，，，设， 则， 又，则，所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【解答过程】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若平行四边形的面积为4，求； (3)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量数量积的运算求得，从而利用新定义即可得解； （2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解； （3）利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）因为，， 则， 所以， 因为是向量的夹角，所以， 因此，故. （2）因为平行四边形ABCD的面积为4， 所以，所以. （3）因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 【变式6-3】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)； (3) 【解题思路】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定 （2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解； （3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值. 【解答过程】（1），则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， ， 所以； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，求出，再利用不等式即可求解. 【解答过程】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C. 2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量夹角的公式变形后再讨论夹角范围可得. 【解答过程】设向量的夹角为，则， 设的起点在原点，与轴正方向的夹角为 由可得与轴正方向的夹角为， 由可得的终点在第四象限，当两向量反向共线时，夹角最大， 当的终点趋于正方向时，夹角趋近于， 所以，则，所以． 故选：A. 4．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【解答过程】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 5．（2025·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】， 由三点共线可得，且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 6．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【解答过程】由题意，可得， 故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A. 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 8．（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围. 【解答过程】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【解答过程】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设 ， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AC 【解题思路】根据题中向量等式，可推得，所以在正六边形的对角线上运动，，由此判断A选项，根据正六边形的轴对称性，可判断B，观察图形，结合解三角形的知识加以计算，可判断C、D. 【解答过程】由可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动， 对于A，因为，即点到的距离为定值， 所以的面积为定值，A正确； 对于B，因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有， 即不存在，使得，B错误； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值， 当与或重合时，达到最小值， 故的取值范围是，C正确； 对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线，的距离， 当与点在上的射影重合时，有最小值， 可见的取值范围不是，D错误； 故选：AC. 11．（24-25高一下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】AB 【解题思路】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案. 【解答过程】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 在中，根据余弦定理可得，，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，， 所以， 所以 ， 所以当时，函数有最小值为，A正确； 对选项B：取的中点，则，， 则，， 两式相减得：， 由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以的最大值为，B正确； 对选项C：，， 所以，即投影向量为，C错误； 对选项D：因为，，所以， 又，所以，D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 【答案】1 【解题思路】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当时，取得最小值. 【解答过程】如图所示：    设， 当时，取得最小值， 过点作于点，即可得的最小值为， 又与的夹角为，即，易知， 所以. 即的最小值为1. 故答案为：1. 13．（2024·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长，取线段的中点，取线段的中点，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得，且 再由三角形三边关系列不等式得结论. 【解答过程】依题意，设的外接圆的半径为，则，故， 在等边中由正弦定理得，则； 取线段的中点，连接，则， 所以； 取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以， 则 又， 故，则． 故答案为：. 14．（2025·江苏·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】设，，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【解答过程】由题意可知，， 由平面向量数量积的定义可得， 设，，则， 所以， 即，即，且有， 设，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 同理可得， 所以， ， 因为 ， 其中为锐角，且，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 16．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）对任意非零向量，，定义． (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值； （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【解答过程】（1）因为向量，，所以， ， 则； （2） ，解得， 所以. 17．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值. （2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值. 【解答过程】（1）已知点的坐标为，为线段上的动点，设， 因为，且，， 则， 所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为. （2）因为，且，的坐标为， 则，则， 又， 则， ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 则取得最小值为. 18．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案； （2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案. 【解答过程】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）以点为原点建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标公式求得结果； （2）根据三角形相似得出，再求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式求得结果. 【解答过程】（1）设，如图建立直角坐标系： ， 当时，有最小值，最小值为0； （2）由图可得： 则 ， 当且仅当即时取等号， 的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点18 平面向量中的最值（范围）、新定义问题 【全国通用】 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 2 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 3 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 3 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 4 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 5 【题型6 平面向量中的新定义问题】 6 1、平面向量中的最值（范围）、新定义问题 平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，复习时要加强这方面的训练. 从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对新定义、新概念的理解. 知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. 知识点2 平面向量中的新定义问题 1．平面向量中的新定义问题的求解策略 遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决. 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 【例1】（2025·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式1-2】（2025·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 【例2】（2025·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【变式2-1】（2025·安徽淮北·一模）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【变式2-3】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 【例3】（2025·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 【例4】（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·甘肃·一模）已知梯形中， ，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 【例5】（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【变式5-3】（24-25高三上·河南·阶段练习）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 【题型6 平面向量中的新定义问题】 【例6】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若平行四边形的面积为4，求； (3)若，，求的最小值. 【变式6-3】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．（2025·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 8．（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 10．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．（24-25高一下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 三、填空题 12．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 14．（2025·江苏·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 16．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）对任意非零向量，，定义． (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值． 17．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 18．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $