5.1直角三角形的性质定理(含30°的直角三角形)（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

5.1直角三角形的性质定理(含30°的直角三角形) （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度 题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度 题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积 题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值 题型五 由含30°的直角三角形的性质进行证明 题型六 含30°的直角三角形的性质的实际应用 能力提升题 题型一 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题 题型二 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题 题型三 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题 题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度 1．在中，，斜边的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 4．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．6 B．12 C．32 D．64 7．如图，在中，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度 8.如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 9．已知在等腰中，，垂足为点D，，则的度数有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 10.如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积 11．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 12.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 13.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值 14．如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 15．如图，，平分．P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点．则的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 17．如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 题型五 由含30°的直角三角形的性质进行证明 18．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，． (1)求证：； (2)在图中过作交于，若，求的周长． 19．如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20.在中，，，平分，交于点D． (1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 21．已知，平分． (1)在图1中，若，求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 题型六 含30°的直角三角形的性质的实际应用 22.如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 23．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 24．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 25.图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． ． 题型一 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题 26.．如图，已知的顶角为，，，现将折叠，使点 B与点A 重合，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．1.5 D．1.8 27.．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 29.如图，点是矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合．若，则折痕的长为 ． 题型二 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题 30．如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（　　） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 31．是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 32．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． (1)_______；用含的代数式表示 (2)求证：≌； (3)当为何值时，是等边三角形？说明理由； (4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 题型三 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题 34． 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 35．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 36．如图，在中，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，在同一条直线上，求出，的长． 37．已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接． (1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：． (2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长． 38．【基础巩固】（1）如图1，在等腰和等腰中，，，，连结，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，延长交于点F，连接． 求证： ①平分 ②． 【拓展提高】（3）如图3，已知中，，，，点D是直线上一动点，以为边作等边（点E在的左侧），连结，直接写出的最小值是： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1直角三角形的性质定理(含30°的直角三角形) （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度 题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度 题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积 题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值 题型五 由含30°的直角三角形的性质进行证明 题型六 含30°的直角三角形的性质的实际应用 能力提升题 题型一 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题 题型二 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题 题型三 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题 题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度 1．在中，，斜边的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质；根据题意得出，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴． ∵斜边的长为， ∴的长为． 故选：C． 2．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 3．如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并总结规律，才能得出结论．先根据等边三角形的性质得：，，再利用外角定理求，则，由等角对等边得：，得出的边长为1，再依次同理得出：的边长为2，再进一步可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为1， 同理得：， ∴， ∴的边长为2， 同理可得：的边长为：， 的边长为：， ∴的边长为：， ∴的边长为； 故选：C． 7．如图，在中，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质， （1）由等角对等边，即可证明问题； （2）由等腰三角形的三线合一性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，可得答案； 解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度 8.如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 【详解】过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，，， ∴，， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．已知在等腰中，，垂足为点D，，则的度数有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】A 【分析】根据题意分两种情况：落在内部和落在外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）当落在内部时， ①如图，当时，    ∵，， ∴，即． ②如图，当时，    ∵，， ∴． ∴， ∴ ③如图，当时，    ∵，， ∴． ∴． （2）当落在外部时， ④当时，此时不存在． ⑤如图，当时，    ∵，， ∴． ∴，则． ⑥如图，当时，    ∵，， ∴． ∴，则，即． 综上，的度数可能为，，，，，共5种可能， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意分情况讨论． 10.如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ． ． ． （2）解：， 是等边三角形， ． ， ． 题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积 11．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中，，       故选：B． 12.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：，平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 13.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】根据旋转的性质得到，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， 又， ， ． 题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值 14．如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含直角三角形的性质；根据含直角三角形的性质求出，得到的取值范围即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点P是边上的动点， ∴， ∴长不可能是， 故选：D． 15．如图，，平分．P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点．则的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短，作于，根据角平分线的定义得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出，根据垂线段最短解答． 【详解】解：作于， ∵，平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，的最小值是2， 故选：B． 16．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 17．如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 【答案】4 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短，过点P作关于的对称点，连接，，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作关于的对称点，连接，， ． ∵平分， ． 在和中， ， ， ， ∴要求的最小值，只要求出的最小值，即的最小值， ∴当时，的值最小，即点Q与点D重合，点与点B重合，最小值为的长． ∵在中，， ， 的最小值为4． 题型五 由含30°的直角三角形的性质进行证明 18．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，． (1)求证：； (2)在图中过作交于，若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据等边三角形的性质可得，则可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，则可得，然后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴． （2）解：在图中过作交于， ∵是等边三角形，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 19．如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而得到，即，则；然后根据等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键； （2）由30度所对的直角边是斜边的一半可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∴． 20.在中，，，平分，交于点D． (1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可； （2）过D点作于E点，连接，由角平分线的性质和定义得到，，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，则，由此即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：过D点作于E点，连接， ∵，平分，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 21．已知，平分． (1)在图1中，若，求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得，从而证明； （2）在上截取，连接，证明，则，然后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴； 在中，，中， ， ∴， ∴ ∴． （2）（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 题型六 含30°的直角三角形的性质的实际应用 22.如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 【答案】40 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：40． 23．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)36海里 (2)没有危险 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．   （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；   （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得  , ，（海里），   ∴ ， ∴ ，   ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；   （2）解：没有触礁的危险，理由如下：   过C作交的延长线于点D，   ∵（海里），   ∴（海里），   ∵，   ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 24．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)海岛到灯塔的距离为20海里 (2)还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）． 答：海岛到灯塔的距离为20海里； （2）解：如图，过点作于点， 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， （小时）． 答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短． 25.图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，由含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． ． 题型一 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题 26.．如图，已知的顶角为，，，现将折叠，使点 B与点A 重合，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．1.5 D．1.8 【答案】A 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、折叠的性质、直角三角形的性质，熟练掌握30度角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，由折叠的性质得，，，在和中根据30度角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵的顶角为，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：A． 27.．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 29.如图，点是矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合．若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到垂直平分，得到，根据为的一半确定出，进而得到等于的一半，求出的长，即为的长． 【详解】解：由题意得：，即， 且垂直平分， ，， 在中，， ， ， ，， 则， 故答案为：． 题型二 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题 30．如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（　　） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 【答案】D 【分析】分和两种情况，利用直角三角形的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的分类计算，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∵为直角三角形，， ∴当，时， 则， ∴， 解得：， 当，时， 则， ∴， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故选：D． 31．是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)或 (2)的度数不变， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形和全等三角形的性质是解题关键． （1）由题意得，，分两种情况讨论：①当时，②当时，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，分别列方程求解即可； （2）先证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意得，， ①当时， ∵， ∴，即， 解得， ②当时， ∵ ∴，即， 解得 ∵， ∴当或时，为直角三角形； （2）解：的度数不变，， ∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∴． 32．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． (1)_______；用含的代数式表示 (2)求证：≌； (3)当为何值时，是等边三角形？说明理由； (4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)为时，是等边三角形，见解析 (4)为或时，为直角三角形 【分析】（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解； （2）由，可得出，利用平行线的性质可得出，结合，即可证出≌； （3）由（2）可知：当是等边三角形时，是等边三角形，由可得出，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由（2）可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ． 在中，，，， ． 故答案为：； （2）证明：，， ， ． 在和中， ， ≌． （3）， 当是等边三角形时，是等边三角形． ， ． ，， ， ， 当为时，是等边三角形． （4）， 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：． 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了解含度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半找出的长；（2）利用全等三角形的判定定理证出≌；（3）利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于的一元一次方程；（4）分和两种情况，利用度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． 题型三 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题 34． 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先由旋转的性质得出，，则为等边三角形，再根据等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，然后在直角与直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，则，进而求出的值． 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转后得到， ，， ，． 为等边三角形， ，． 点是边的中点， ， ， ， ， 在直角中，，， ． 在直角中，，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及三角形外角的性质，综合性较强，有一定难度，证明出是关键的一步． 35．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 36．如图，在中，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，在同一条直线上，求出，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ∵可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点， ，，，，， ， ， ， ， ， ． 37．已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接． (1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：． (2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，证得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，，推出，根据全等三角形的性质得到，，进而可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，证明，得到，，以为边作，另一边交于M，证得，根据全等三角形的性质得到，于是得到为等边三角形，由等边三角形的性质得到，再由求得，证明得到，即可得到结论； （3）由（2）知为等边三角形，根据，和已知条件得到，于是得到，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点B为线段的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵与为等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （2）解：成立，证明如下： ∵与为等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 以为边作，另一边交于M， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边作，另一边交于M，连接， 由（2）知为等边三角形， ∵， ∴， ∵，由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 38．【基础巩固】（1）如图1，在等腰和等腰中，，，，连结，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，延长交于点F，连接． 求证： ①平分 ②． 【拓展提高】（3）如图3，已知中，，，，点D是直线上一动点，以为边作等边（点E在的左侧），连结，直接写出的最小值是： ． 【答案】（1）见详解（2）①见详解②见详解；（3） 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）①根据，得出，再证明，则，即平分 ②根据，，由①得，得，则； （3）取的中点，连接，根据，，，得，，因为点是的中点，，结合等边三角形的性质，证明，故，分析得的最小值是，则在中，，即可作答． 【详解】解：（1）， ∴， ， 在和中， ， ∴； （2）①由（1）得， 得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ②由（1）得； ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点，连接， ∵，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 过点作 ∵点D是直线上一动点， ∴的最小值是， 则在中，， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $