5.1 直角三角形的性质定理—第1课时 直角三角形的性质.课件 2025—2026学年湘教版数学八年级上册

5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质 第5章 直角三角形 学习目标 1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质.定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的两个锐角互余; 直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 会判定一个三角形是直角三角形. 重点： 难点： 性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的探索推导过程. 学习重点、难点 知识回顾 前面已经知道，有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有一些特殊性质，下面我们来研究. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=？ 说一说 如图5.1-1，在 Rt△ABC 中，因为 ∠C = 90°，由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°. 由此得到： 图5.1-1 直角三角形的两个锐角互余．　　 课时导入 （2）该逆命题是真命题吗？ （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？ 议一议 （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”. （2）该逆命题是真命题. 理由如下： 如图5.1-1，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°，所以∠C=90°. 因此，△ABC是直角三角形. 由此得到： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 图5.1-1 图5.1-2 如图5.1-2，用三角板画一个 Rt△ABC，取线段AB的中点D，连接DC.以点D为圆心，DB为半径画圆弧，则所画的弧经过点C吗？DC与AB之间有怎样的数量关系? 可以发现，该弧经过点C，且DC=DB=AB.下面给出证明. 思考 如图5.1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F， 于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°，∠FDC=∠ECD，∠DFB=∠ACB=90°. 在△ADE与△DBF中， 所以△ADE≌∠DBF（角角边），从而DE=BF. ① E F 图5.1-3 在△DFC与△CED中， 所以△DFC≌△CED（角角边），从而CF=DE. ② 由①式和②式得，CF=BF. 因此，直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC=DB.因此DC＝DB=AB. 由此可得直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例1 如图5.1-4，已知 CD 是 △ABC 的边AB上的中线，且CD= AB . 求证：△ABC 是直角三角形. 证明：因为CD=AB=AD=BD， 所以∠1=∠A，∠2=∠B. 因为∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2， 所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 从而2（∠A+∠B）=180°. 因此∠A+∠B=90°. 所以△ABC是直角三角形. 图5.1-4 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 随 堂 小 测 2. 具备下列条件的 △ABC 中，不是直角三角形的是（ 　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = ∠B = 3∠C D 3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C 4. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； (2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD =_____cm. A B C D 6 10 5 5. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________. 90° 6. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38°，则∠A = _____°. 52 第5题图 第6题图 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形． 证明：因为∠ACB = 90°， 所以∠A +∠B = 90°． 因为∠ACD = ∠B， 所以∠A +∠ACD = 90°． 所以△ACD 是直角三角形． 解：（1）因为AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，所以DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4． 所以四边形 AEDF 的周长＝AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18． 8. 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点． （1）若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长； （2）求证：EF 垂直平分 AD. 证明：因为DE ＝ AE，DF ＝ AF， 所以E、F 在线段 AD 的垂直平分线上． 所以EF 垂直平分 AD. 归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 直角三角形的性质定理 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$