3.3轴对称与坐标变换（导学案）数学北师大版2024八年级上册

3.3 轴对称与坐标变换 导学案 （1）掌握点关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，会应用此规律求图形变换后的坐标。 （2）在探究点关于坐标轴对称点的坐标过程中，理解“数”与“形”之间的转换。 探究一　探究关于坐标轴对称的点的坐标规律 在图3-18所示的平面直角坐标系中，第一、第二象限内各有一面小旗。 (1)两面小旗有怎样的位置关系?对应点A与A1的坐标有什么关系?其他的对应点也有这个特点吗? 答：关于y轴对称；A与A1的纵坐标相同，横坐标互为相反数。 (2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系? 答： 答：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 总结：关于坐标轴对称的点的坐标规律 ①关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数； ②关于y轴对称的两个点的坐标：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 探究二　根据坐标特征判断图形的位置关系 例(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0, 0),(5, 4),(3, 0),(5,1)，(5，-1)，(3, 0),(4,-2)，(0, 0)。你得到了一个怎样的图案? 答：依次连接各点得到的图案如图3-19所示，它像一条小鱼; 预设： (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1,依次连接这些点，你会得到怎样的图案?这个图案与原图案有怎样的位置关系? 答：横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是 (0, 0),(-5, 4),(-3, 0),(-5, 1),(-5, -1),(-3, 0),(-4, -2), (0, 0),依次连接这些点，所得图案如图3-20所示，它与原图案关于y轴对称。 操作·思考：将图3-19所示图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1,依次连接这些点，你会得到怎样的图案?这个图案与原图案又有怎样的位置关系? 答：一条和原图案关于y轴对称的小鱼。 思考·交流：通过上面活动思考关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系?关于y轴对称的两个点呢?反过来，坐标具有这样关系的两个点，关于坐标轴对称吗?与同伴进行交流。 答： ①关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 数学语言：点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)与点P1(x,-y)关于x轴对称。 ②关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 数学语言：点P(x,y)与点P2(-x,y)关于y轴对称；数学语言：点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y)。 ※③横、纵坐标都互为相反数的两个点关于原点对称 数学语言：点P(x,y)与点P3(-x,-y)关于原点对称；点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y) 回顾·反思：回顾本章的学习，你对平面直角坐标系有哪些认识? 答：①平面直角坐标系的概念、坐标特征、建系方法，图形与坐标；②建立平面直角坐标系可以用两个数据表示平面上任意一点的位置；③在几何图形上找到合适的点为原点建立平面直角坐标系可以将几何问题转化为代数问题，利用坐标运算解决问题。 应用新知 例1．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别为，． (1)在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 【详解】（1）解：如图所示坐标系即为所求，点C的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求 例2.如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为．其中，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)画出关于轴对称的，其中，点与点对应，点与点对应； (2)直接写出以为顶点的四边形的面积为_____； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，以为顶点的四边形的面积为， 故答案为： （一）P70随堂练习 答：两个图形关于x轴对称； 对应点及其坐标:点(6,3)和点(6,-3)，点(3,2)和点(3,-2)，点(-5,3)和点(-5,-3)； 每对对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。 （二）题型总结 题型一.求点关于坐标轴对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，若点与关于y轴对称，则 ． 【分析】理解关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键． 【详解】解：点与关于y轴对称，，． 题型二. 作轴对称图形 2.如图，各顶点坐标是、、． (1)画出关于轴对称的并写出的坐标． (2)求出四边形的面积． 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，图形的面积计算，熟练掌握对称点坐标确定的方法是解题的关键． （1）先分别确定关于y轴的对称点，后依次连接即可得到所求图形． （2）连接，根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：关于y轴的对称的点的坐标分别为；如图所示， 则即为所求，点的坐标为； （2）解：连接，如图， ∴四边形的面积为． ·拓展提升：坐标与图形——平面直角坐标系中的动点问题 在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点(不与端点重合)，点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴，∴的长为； ②∵轴，点，∴设， ∵，∴，∴或，∴点的坐标为或， （2）∵正方形的边长为4，∴， ∵的坐标是轴，∴，，∴，∴，∴顶点A的坐标为； ∵正方形，∴， ∵轴，∴顶点B的坐标为，即； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，∴， 由题意得， ∵轴，∴点的纵坐标相等，∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 轴对称与坐标变换 导学案 （1）掌握点关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，会应用此规律求图形变换后的坐标。 （2）在探究点关于坐标轴对称点的坐标过程中，理解“数”与“形”之间的转换。 探究一　探究关于坐标轴对称的点的坐标规律 在图3-18所示的平面直角坐标系中，第一、第二象限内各有一面小旗。 (1)两面小旗有怎样的位置关系?对应点A与A1的坐标有什么关系?其他的对应点也有这个特点吗? (2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系? 总结：关于坐标轴对称的点的坐标规律 ①关于x轴对称的两个点的坐标： ； ②关于y轴对称的两个点的坐标： 。 探究二　根据坐标特征判断图形的位置关系 例(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0, 0),(5, 4),(3, 0),(5,1)，(5，-1)，(3, 0),(4,-2)，(0, 0)。你得到了一个怎样的图案? (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1,依次连接这些点，你会得到怎样的图案?这个图案与原图案有怎样的位置关系? 操作·思考：将图3-19所示图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1,依次连接这些点，你会得到怎样的图案?这个图案与原图案又有怎样的位置关系? 思考·交流： 问题1.通过上面活动思考关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系?关于y轴对称的两个点呢? 问题2.坐标具有这样关系的两个点，关于坐标轴对称吗?与同伴进行交流。 问题3.你能用数学的符号表示上面的规律吗？ 回顾·反思：回顾本章的学习，你对平面直角坐标系有哪些认识? ·应用新知 例1．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别为，． (1)在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 例2.如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为．其中，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)画出关于轴对称的， 其中，点与点对应，点与点对应； (2)直接写出以为顶点的四边形的面积为_____； （一）P70随堂练习 （二）题型总结 题型一.求点关于坐标轴对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，若点与关于y轴对称，则 ． 题型二. 作轴对称图形 2.如图，各顶点坐标是、、． (1)画出关于轴对称的并写出的坐标． (2)求出四边形的面积． ·拓展提升：坐标与图形——平面直角坐标系中的动点问题 在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点(不与端点重合)，点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $