17.2用公式法分解因式(第2课时 运用完全平方公式因式分解)（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

17.2(第2课时)运用完全平方公式因式分解（原卷版） 目 录 类型一、判断能否用完全平方公式分解因式 1 类型二、运用完全平方公式分解因式 2 类型三、完全平方公式分解因式的应用 3 类型一、判断能否用完全平方公式分解因式 1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各多项式中，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 7．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 类型二、运用完全平方公式分解因式 9．若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（    ） A．7 B．或7 C． D．或5 10．根据如图对算式的分析，则（   ） A． B． C． D． 11．分解因式： ． 12．因式分解： ． 13．分解因式： ． 14．如果，那么 ． 15．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则的值为： ． 16．因式分解： ． 17．若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ． 18．分解因式： ． 19．因式分解： ． 20．分解因式： ． 21．分解因式： (1) (2) 22．分解因式： (1)； (2)． 23．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 24．分解因式： (1) (2) (3) (4) 25．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．把下列各式因式分解： (1) (2) 27．因式分解：． 28．因式分解：． 29．因式分解： (1) (2) (3) 类型三、完全平方公式分解因式的应用 30．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．已知m为实数，则代数式的值为（   ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 32．已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 33．若x、y满足的，则m的最小值 ． 34．已知和互为相反数， 求的值． 35．计算：． 1．对于有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“开心数对”，记为．若是“开心数对”，则的值为（　　） A．4 B．10 C．20 D．25 2．若a，b，c满足，，，则 ． 3．我们把选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如；根据上述材料，解决下面问题： (1)写出的配方过程； (2)求出的最小值． 4．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 5．阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 6．形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：． 解：原式 ． （2）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： （1）因式分解： ； （2）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （3）若实数a，b满足，则的最小值为 ． 1．已知，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 3．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2(第2课时)运用完全平方公式因式分解（解析版） 目 录 类型一、判断能否用完全平方公式分解因式 1 类型二、运用完全平方公式分解因式 4 类型三、完全平方公式分解因式的应用 13 类型一、判断能否用完全平方公式分解因式 1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 2．下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 3．下列各多项式中，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，②因式分解的方法有提取公因式法，公式法等． 根据因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意； B、不能因式分解，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式，不能因式分解，故本选项不符合题意； D、能用完全公式分解因式，故本选项符合题意； 故选：D． 4．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意； ②，不能用完全平方公式分解，符合题意； ③，不能用完全平方公式分解，符合题意； ④，不能用完全平方公式分解，符合题意； ⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意． 综上，不能用完全平方公式分解的是②③④⑤，共4个 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 7．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 8．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 类型二、运用完全平方公式分解因式 9．若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（    ） A．7 B．或7 C． D．或5 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断就确定出m的值． 【详解】解∶∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴ 解得或， 故选∶B． 10．根据如图对算式的分析，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式分解因式可得，由此即可得． 【详解】解： ， 由图可知，， 则， 故选：C． 11．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，先将原式化简为，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 15．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则的值为： ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解问题，掌握完全平方公式因式分解确定待定系数是解题关键．先利用完全平方公式进行因式分解，再比较一次项的系数列方程求解即可． 【详解】解：多项式可以用完全平方公式分解因式， ， ， ，解得或． 故答案为：或 ． 16．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式直接分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：可以用完全平方公式来分解因式， ． 故答案为：9． 18．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 20．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键； 先将式子整理为，然后再根据完全平方公式，以及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 21．分解因式： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解，包括提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式和平方差公式的形式是解题的关键． （1）先提取公因式，再看是否能运用完全平方公式继续分解． （2）先将式子变形，使两项有相同公因式，然后提取公因式，最后看是否能用平方差公式进一步分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟悉提取公因式法和完全平方法是解题的关键． （1）提取公因式即可求解； （2）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 23．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了配方法因式分解： （1）加1减1即可配方进行因式分解； （2）将分为，再分组因式分解，根据完全平方式的非负性求出x和y的值，从而求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 24．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了因式分解，常用的因式分解法有：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 首先提公因式，可得：原式，再把括号里的多项式用完全平方公式分解因式； 首先提公因式，可得：原式，再把括号里的多项式用完全平方公式分解因式； 用十字相乘法分解因式即可； 首先把多项式分组后再提公因式，可得：原式，再用提公因式法分解因式，提出公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可； （2）提公因式即可； （3）把看成整体，利用完全平方公式即可分解； （4）利用完全平方公式即可分解． 本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 26．把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先将看作一个整体，计算单项式乘以多项式，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）先计算单项式乘以多项式，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 27．因式分解：． 【答案】 【分析】先将写成，再利用完全平方公式分解因式即可． 本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 28．因式分解：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式以及因式分解要彻底的要求是解题的关键．先利用二次三项式的因式分解方法，将原式看作关于的二次三项式进行分解，再进一步分解到最简形式，解题思路是先运用一次平方差公式或完全平方公式分解，再看能否继续分解． 【详解】解： ． 29．因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式分组后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式直接提取公因式分解即可； （3）原式去括号整理后运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 类型三、完全平方公式分解因式的应用 30．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，再把代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 31．已知m为实数，则代数式的值为（   ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【答案】D 【分析】此题主要考查利用完全平方公式判定代数式的值，熟练掌握，即可解题. 首先将代数式进行变换形式，然后利用完全平方公式，即可判定其为非负数. 【详解】解： ∴无论为何值，代数式的值均为非负数， 故选：D. 32．已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 33．若x、y满足的，则m的最小值 ． 【答案】66 【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 34．已知和互为相反数， 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、相反数的定义、因式分解、整式的乘法，根据绝对值和平方的非负性质，可以求出，，利用整式的运算法则把多项式化简，可得：原式，再把，，代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解：， 又和互为相反数， ∴， ∴， 且， ，， 解得：，， ， 当，时， 原式 ． 35．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式计算即可，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 1．对于有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“开心数对”，记为．若是“开心数对”，则的值为（　　） A．4 B．10 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，完全平方公式分解因式等知识，由新定义可得出，再利用完全平方公式分解得出，再把代入计算即可得出答案． 【详解】解：由定义知：， 化简得：， 又． 故选：D． 2．若a，b，c满足，，，则 ． 【答案】29 【分析】此题考查了利用完全平方公式分解因式．首先把，，，两边相加整理成，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【详解】解：∵，，， ， ， ，，， ∴． 故答案为：． 3．我们把选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如；根据上述材料，解决下面问题： (1)写出的配方过程； (2)求出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式把式子分解因式即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式把式子分解因式，根据非负数的性质可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴ ∴的最小值为5． 4．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解和整体代换的思想． （1）对进行因式分解，可以直接套用完全平方公式； （2）观察到在式子中重复出现，考虑使用整体代换，设，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将m还原成即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得：， 故答案为：． （2）解：令， 则原式 ， 将m还原， 原式． 5．阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）将变形为即可求出结果； （2）将变形为，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ． ∵、、是的三边， ∴是等边三角形． 6．形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：． 解：原式 ． （2）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： （1）因式分解： ； （2）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （3）若实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】（1）；（2）4；（3）3 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，平方差公式， 对于（1），仿照上述过程根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可； 对于（2），原式变形可得，再根据完全平方公式的非负性解答即可； 对于（3），由题意得，再根据（2）讨论极值即可. 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）． 因为，所以． 所以的最小值为4； （3）因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以a＋b的最小值为3． 故答案为：3. 1．已知，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出，，的值，利用完全平方公式解答． 根据，，，可以得到，，的值，然后将所求式子变形，再将，，的值代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ， ， ， 故选：A． 2．整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，设，再结合多项式乘以多项式法则进行化简，最后再利用完全平方公式分解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ∴原式． 3．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $