17.2用公式法分解因式(第1课时 运用平方差公式因式分解)（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

(第1课时)运用平方差公式因式分解（解析版） 目 录 类型一、判断能否用平方差公式分解因式 1 类型二、运用平方差公式分解因式 4 类型三、平方差公式分解因式的应用 12 类型一、判断能否用平方差公式分解因式 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 2．下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 3．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 4．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 5．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 6．在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用平方差公式： ，进而分解因式判断即可． 【详解】A、，无法分解因式，故此选项不合题意； B、，能用平方差公式分解，故此选项符合题意； C、，无法分解因式，故此选项不合题意； D、，无法分解因式，故此选项不合题意． 故选B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 7．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解； B、-1+y2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、2x2+2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、x3-y3是两个立方项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：B． 【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）． 8．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是x2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； D、去括号后结果为x2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点． 9．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，根据平方差公式，解答即可． 【详解】解： A、，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B、，符合平方差公式，可分解为，故本选项符合题意； C、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； D、，提取公因式后剩余部分非平方差形式，无法进一步分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 类型二、运用平方差公式分解因式 10．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 11．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键；因此此题可根据“平方差公式”进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 12．已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系及因式分解，熟练掌握三角形三边关系及因式分解是解题的关键；由三角形三边关系可知，由可进行判断式子的正负性，进而问题可求解． 【详解】解：由三角形三边关系可知， ∴， ∴， ∴的值一定是负数； 故选：B． 13．老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，根据平方差公式的结构特征计算判断即可． 【详解】解：①； ②； ③不能用平方差公式因式分解； ④． 综上所述，第③道题错误， 故选：C． 14．若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，幂的乘方和积的乘方，先利用幂的乘方与积的乘方得到原式，再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 15．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 16．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键． 原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 17．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用平方差公式因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 18．因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟记公式是解题的关键． 根据平方差公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 19．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式4，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 21．分解因式： ． 【答案】 【详解】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 22．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，先提公因式，再用公式法分解． 先提取公因式3，再利用平方差公式对括号内的式子进行分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 25．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 26．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式m，再用平方差公式分解即可． 【详解】解；． 故答案为；． 27．如果，则括号里应填的式子是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解． 根据作答即可． 【详解】∵， ∴， 即括号里应填的式子是， 故答案为：． 28．多项式与多项式的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 分别将两个多项式进行因式分解，即可找到公因式． 【详解】解：，， 公因式为． 故答案为：． 29．分解因式： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法． 利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； ， 故答案为：；． 30．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 31．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，包括平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 根据平方差公式进行因式分解即可 ． 【详解】解：． 故答案为： ． 32．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 33．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是关键．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 34．已知，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练应用平方差公式是解题关键． 将已知关系式利用平方差公式分解因式，进而求出即可． 【详解】解：，且， ． 故答案为：4． 35．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，正确的选择分解因式的方法是解决本题的关键． 先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 36．分解因式： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ． (2) ； 37．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式两次运用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 38．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）直接利用平方差公式进行分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可； （3）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 39．（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的乘法，分解因式等知识，掌握运算法则及平方差公式是解题的关键； （1）利用单项式乘多项式法则展开即可； （2）两次利用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 类型三、平方差公式分解因式的应用 40．已知一个圆的半径为，若这个圆的半径增加，则它的面积增加（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式分解因式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 利用圆的面积公式表示出圆的半径增加前后的圆的面积，再作差即可得出答案． 【详解】解： ， ∴它的面积增加， 结合选项可知，A、B、C均不符合题意； 故选：D． 41．计算的结果是（   ） A．700 B．7000 C．10000 D．70000 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方差公式的应用，先依据平方差公式进行变形，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 42．求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 43．请阅读以下因式分解的过程： ． 这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，仿照题干利用配方法进行因式分解． 【详解】解： ． 1．计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 2．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 3．若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 1．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为24 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为24． 2．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2(第1课时)运用平方差公式因式分解（原卷版） 目 录 类型一、判断能否用平方差公式分解因式 1 类型二、运用平方差公式分解因式 2 类型三、平方差公式分解因式的应用 3 类型一、判断能否用平方差公式分解因式 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 7．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 9．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 类型二、运用平方差公式分解因式 10．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 11．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（    ） A． B． C． D． 12．已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 13．老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 14．若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 15．在实数范围内分解因式： ． 16．因式分解： ． 17．因式分解： ． 18．因式分解的结果是 ． 19．分解因式： ． 20．分解因式： ． 21．分解因式： ． 22．分解因式： ． 23．分解因式 ． 24．因式分解： 25．分解因式： ． 26．因式分解 ． 27．如果，则括号里应填的式子是 ． 28．多项式与多项式的公因式为 ． 29．分解因式： ， ． 30．因式分解： ． 31．分解因式： ． 32．因式分解： ． 33．因式分解： ． 34．已知，且，则的值为 ． 35．分解因式：． 36．分解因式： (1) (2) 37．因式分解： (1) (2) 38．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 39．（1）计算：； （2）因式分解：． 类型三、平方差公式分解因式的应用 40．已知一个圆的半径为，若这个圆的半径增加，则它的面积增加（   ） A． B． C． D．以上都不对 41．计算的结果是（   ） A．700 B．7000 C．10000 D．70000 42．求证：当n为整数时，是8的倍数． 43．请阅读以下因式分解的过程： ． 这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式： 1．计算的值是（       ） A． B． C． D． 2．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 3．若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 1．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 2．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $