16.3.2完全平方公式（5大题型）（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.3.2完全平方公式（解析版） 目录一 类型一、运用完全平方公式进行运算 1 类型二、通过完全平方公式变形求值 5 类型三、完全平方公式与图形问题…。 10 类型四、完全平方式… …19 类型五、整式的混合运算。 22 A 夯基础 类型一、运用完全平方公式进行运算 1.已知(x+4)2=9,则代数式x2+8x+20的值为() A.12 B.13 C.18 D.27 2.下列各式计算结果是2ab-a2-b2的是() A.(a-b)2 B.-(a-b)2 C.-(a+b)2 D.(a+b)2 3.下列计算中，正确的是() A.（-x-y)2=-x2-2xy-y2 B.(m+3n)2=m2+9n2 C.(-3x+y)2=3x2-6xy+y2 0.+j5+25 4.先化简，再求值：(2x+3)(2x-3-4xx-3+(x-2),其中x2+8x-2023=0 5.先化简，再求值：(2x+1)2+x+2)(x-5)-(2x+4)(2x-4),其中x为2x+2<5的最大整数解. 6.运用乘法公式计算. (1)3x+2y-2)(-2-3x-2y): (2a-b-1)(a+b-1-(a-b-1)2. 7.运用乘法公式计算： (1)(a+b-102; (2a+b+c)(a-b-c; (3)2a+3b-1)(2a+3b+1. 8.计算：(a-b+c)2. 解：原式=[a-(b+c =a2-2ab+c）+(b+c)2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2. 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错在哪里，并写出正确的解答过程 9.计算： (1)3a+2b2; -月 10.计算： (1)9992. a8+j-3- 类型二、通过完全平方公式变形求值 11.若长方形的周长为16，其邻边a、b为整数，且满足a2+b2+3ab=76则长方形的面积为() A.6 B.8 C.10 D.12 12.己知xy=10,(x-2y)2=1,则(x+2y)2的值为() A.21 B.9 C.81 D.41 1.已如x士3，则+甘+1的值为《) A.14 B.20 C.22 D.33 14.已知a+b=3,ab=1,则a2+b的值为() A.7 B.8 C.9 D.11 15.如果(x+a=x2-10x+b,那么a、b的值分别是() A.a=5,b=25 B.a=-5,b=-25 C.a=5,b=-25 D.a=-5,b=25 16.若a>0,b>0,a2+b2=17,ab=4,则a2-b2= 17.已知a+b=10,ab=20,则a2+b的值为 18.若x-y=6=}则+一 19.若x+y=10,xy=1,则(x+2y)2x+y)的值是 20.若x+y=4,且(x+1)(y+1=8. (1)求y的值 (2)求x2+y2的值； (3)求(x-y)的值， 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.若x+y=4,y=3,求下列各式的值： (1)x2+y2; (2)x2-xy+y2; (3x-y)2-2y. 22.己知x-y=6,xy=-8,求x2+y2的值. 类型三、完全平方公式与图形问题 23.如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式 () a 图1 图2 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.（a+b)2=a2+2ab+b2 c.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.（a+b)(a-b=a2-b2 24.如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个α、b的恒等式 b a ab a b ab 25.如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为 (a+3b)的正方形，则需要C类卡片 张。 A b b 26.如图甲所示，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到两数和的完全平方公式是： (a+b)=a2+2ab+b2,根据图乙能得到的数学公式是 3/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a b b b b a a 用 乙 27.如图，某市有一块长为3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底 部为正方形的雕塑，正方形的边长为a+b)米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分 进行绿化.(a>0,b>0) 2a+b b b a a a+b 3a-+b (1)试用含a,b的代数式表示绿化的面积. (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比. 28.对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式.例如： 计算图1的面积可以得到等式(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题： b a Q 6 a b b b b b a b 图1 图2 (1)观察图2，写出所表示的等式：-=-： (2)己知上述等式中的三个字母a,b,c可取任意实数，若a=-4x+2,b=-3x+4,c=7x-5,且 a2+b2+c2=37,请利用(1)所得的结论求ab+bc+ac的值. 29.(1)图1所示，在边长为α米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.为了求得剩余草坪的面积， 小明同学想出了两种方法，结果分别如下 4/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -a- 图1 图2 方法①： 方法②： 从小明的两种方法中，可以得出的等式为 (2)如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示 (3)如果a、b(a>b>0)满足a2+b2=53,ab=14,求：①a+b的值；②a-b的值. 30.【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 b a 图① 图② 图③ 【拓展探究】如图，图①是个长为2，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然 后按如图②的形状拼成一个正方形. (1)如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：(a-b)2,方法2：一，由此可以得出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系是一 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：(a+b3，方法2：+3a2b+3ab2+ ,由此可得恒等式： 【迁移运用】(2)若x-y=10,y=-16,求x+y的值 (3)若m+n=2,mn=1,求m2+n23的值 31.已知：运用拼图法可得公式(a+b)2=a2+2ab+b2.由正方形面积公式可知，面积等于边长乘边长， S=a+b)(a+b).由图形可知：S=S,+S2+S,+S4=a2+ab+ab+b2,即：(a+b)=a2+2ab+b2. a 6 b a a S S2 b b S 图1 图2 (1)在图1中的9个方格中填上相应的代数式，用拼图法求(a+b+c2. 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)将图2中边长为a+b+c+d的正方形分割，用拼图法求(a+b+c+d2. 32.阅读下列材料，完成后面的任务。 我们知道，完全平方公式有：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.在解题过程中，根据题意， 若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab.根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题. B 例如：若a-b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：a2+b2=(a-b)2+2ab=32+2×1=11. 任务： (1)若x+y=8,x2+y2=40,则xy=: (2)若9-x)x=14,求(9-x)2+x2的值： (3)如图，C是线段AB上的一点，分别以AC,BC为边向两边作正方形.设AB=6,两正方形的面积和 S,+S2=18,求图中阴影部分的面积. 类型四、完全平方式 33.若4x2++25=(2x+a),则k+a的值可以是() A.-25或25B.-15或15 C.15 D.20 34.下列二次三项式是完全平方式的是() A.x2-8x-16B.x2+8x+16 C.x2+3x-9 D.x2-3x+9 35.如果x2+心+49可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是() A.7 B.±7 C.14 D.±14 36.如果多项式x2+6x+m是一个完全平方式，则m的值为() A.3 B.6 C.9 D.±9 37.若(x+m)2=x2+nx+16成立，请你写出一组满足条件的mn的值 、 38.关于x的代数式x2+mx+9中，当m=时，代数式为完全平方式. 39.若负有理数m使得x2+2mx+9是一个完全平方式，则m= 40.若x2+xy+16y2是一个完全平方式，则k= 41.(1)若多项式x2-12x+k是一个完全平方式，则k的值为 6/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若多项式x'+2ar+9是一个完全平方式，则a的值为一 类型五、整式的混合运算 42.先化简，再求值：[x-2y)2+(x-2y(2y+x)-2x(2x-y]÷(2x,其中(x-1)2+(y+1)2=0. 43.先化简，再求值：(2x-y+2x+y(2x-y川-2y=(2,其中x=5,y=3. 1 44.先化简，再求值：(2x-y)2+(2x+y)y-2x)-2x(x-2y),其中x++(y+1)2=0. 2 45.先化简，再求值：(x-2y)+(x-2y(x+2y川-2x(2x-y)÷2x,其中x,y满足 Vx-1+(y+2025)2=0. 46.先化简，再求值： [a+ba-b创+(a-b+4aia+]=(-a,其中a=ib=-分 47.先化简，再求值：(a+b)(a-b)-(a-2b)+a(a+2b),其中a=1,b=2. 48.化简求值：[(x-y)2-x3x-2y)+(x+y(x-y)]÷(2x,其中x=ly=-2. 49.先化简，再计算：(2a+b)(b-2a)-(a-3b,其中a=-2,b=3 2 50.先化简，再求值： a-2a+2)-a+2,其中a=号 (2)1+4x)(-1-4x)+2(2x+3)(4x-1),其中x=(1-元)°+|-1川： (3)x(x-3)-(x-1)2-(x+2)(x-2),其中x满足x2+x-5=0; (4)(3x-2y)(2x+3y)-[2(x+y)]2-x(2x+y),其中5-2xy-5y2=0: (5)3xy÷(-xy)+(-x-2y)(x-2y)-(-2x)2,其中x,y是方程组 x-y=3, x+2y=-3的解； (6)(a+2b)(a-b)-(-2a+b)2+(3a-b)3a+b),其中a,b满足|2a-3b+1川+(a+3b+5)2=0. B 提能力 1.已知(x-2020)2+(x-2022)2=34,则(x-2021)2的值是() A.4 B.8 C.12 D.16 2,计算： (1x-y+z2: 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2a-2b-3c2; (3)2x-y+4)2x+y-4); (4)(a+2b-c(a-2b-c. 3.若有理数a,b,c满足ad2+b+c2+8-2a a+4b-4c,试确定a,b,c的值. 93 4.已知代数式(a+b)2,a2+b2,ab之间存在这样的等量关系：(a+b)=a+b2+2ab.根据这个等量关系， 解决下列问题： (1)已知a+b=4,a2+b2=10,求ab的值； (2)己知(x-2026)2+(x-2024)2=52,求x-2025的值. 5.知a=x-2,b=x,c=x+2,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值. 6.计算： (1)(x-2y2+(x-2y2y+x÷2x; (2)x+y-1)(x+y+1)-(x-2y)(x+2y): (3(a-b)(a+b)a2+b2)(a+b)…a32+b2） 1.现有一个四位自然数，它的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,满足 a+2b=3c+4d,称这个四位数为“1234数"”，例如：6742，满足6+2×7=3×4+4×2，则称6742是一个“1234 数”.则最大的“1234数”是 ;现有一个“1234数”M,将它的百位数字和千位数字交换位置，再将 它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数M”,则F(M)=MM'是一个整数，且 99 a+2b+3c+4d是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为 2.配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者 几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我 们定义：一个整数能表示成a+b2(a、b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理 由：因为5=22+12，所以5是"完美数”. (1)已知13是"完美数”，请将它写成a2+b2(a、b是整数)的形式 (2)已知x2+y2-4x-6y+13=0,则x+y=_ (3)己知S=x2+4y2+2x-12y+k(x、y是整数，k是常数)，要使s为"完美数”，试求出符合条件的一个 k值，并说明理由： 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4已知实数x日P满足-X+x+y-5=0,求y-x的最值. 2 3.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题 M E D A H a G ab> ←一a米b R 图1 图2 图3 ①如图1，将边长为a+b的正方形分割成四部分，则a2+b2=(a+b)2- ②用4个长和宽分别为a、b的长方形拼成如图2的正方形，则(a+b)2=(a-b)2+一 【阅读理解】若x满足(70-x)(x-50)=30,求(70-x)2+(x-50)2的值” 解：设70-x=a,x-50=b, 则(70-x)(x-50)=ab=30,a+b=(70-x+x-50)=20 (70-x)2+(x-50)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340 【解决问题】 (1)若x满足(40-x)(x-30)=-20,则(40-x)2+(x-30)2的值为一： (2)如图3，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.（结果必须是一个具体的数值） 9/9 16.3.2完全平方公式（解析版） 目 录 类型一、运用完全平方公式进行运算 1 类型二、通过完全平方公式变形求值 5 类型三、完全平方公式与图形问题 10 类型四、完全平方式 19 类型五、整式的混合运算 22 类型一、运用完全平方公式进行运算 1．已知，则代数式的值为（    ） A．12 B．13 C．18 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，将展开得到，即代入求解的式子即可得出结论． 【详解】解：根据题意可知，， 代入到代数式中可得， ． 故选：． 2．下列各式计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 根据完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ． 故选B． 3．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方式，计算时注意不要漏项．根据逐项进行计算判断即可． 【详解】A、，故原选项计算错误，不符合题意；     B、 ，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意；   D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 5．先化简，再求值：，其中为的最大整数解． 【答案】，9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式，灵活应用完全平方公式和平方差公式进行化简是解题的关键．先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再求出的最大整数解，将其代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ． ， ， 为的最大整数解， ， 原式 ． 6．运用乘法公式计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，即可作答． （2）根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先运用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 8．计算：． 解：原式 ． 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错在哪里，并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，将原式添括号时出错．过程见解析． 【分析】本题考查完全平方，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 对添括号，可得，如此，计算即可；将看作整体，运用完全平方公式计算，再进一步用完全平方公式计算，即可得解． 【详解】解：不正确，将原式添括号时出错．正确的解答过程如下： 原式． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式解答即可； （2）利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 10．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的简便运算，整式的混合运算，完全平方公式，掌握算理是解决问题的关键． （1）把化为，然后利用完全平方公式计算； （2）利用完全平方公式展开，然后去括号后合并即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：原式， ， ． 类型二、通过完全平方公式变形求值 11．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．因为边长为a，b，根据周长为16可得，再将原式整理，整体代入求解即可． 【详解】解：依题意得．则， ∴，即， 解得：． 故选：D． 12．已知，则的值为（   ） A．21 B．9 C．81 D．41 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 13．已知，则的值为（    ） A．14 B．20 C．22 D．33 【答案】C 【分析】该题考查了完全平方公式，通过平方运算将变形求出的值，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 14．已知，，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．由题意可知，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 15．如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 根据完全平方公式展开，然后对比求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选D． 16．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式求出，，再根据平方差公式求的值． 【详解】，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 17．已知，，则的值为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式进行变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：60． 18．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，由已知可得，即得，再代入已知计算即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．若，则的值是 ． 【答案】201 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式化简求值，完全平方变形等．根据题意先将式子做乘法展开，后合并同类项，化简后代入代数式的值即可得到本题答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：201． 20．若，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)3 (2)10 (3)4 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式可得，再将代入计算即可得； （2）利用完全平方公式可得，代入计算即可得； （3）利用完全平方公式可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，， ∴ ． 21．若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟练掌握完全平方公式变形是解题的关键． （1）将原式变形为，代值计算即可； （2）将原式变形为，代值计算即可； （3）先将原式利用完全平方公式展开后，合并同类项，再变形为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 22．已知，求的值． 【答案】20 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式进行变形，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 类型三、完全平方公式与图形问题 23．如图， 将图1中阴影部分拼成图2， 根据两个图形中阴影部分的关系， 可以验证下列哪个计算公式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分别计算图1和图2中阴影部分的面积，再根据面积相等来验证公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键． 【详解】解：图1中阴影部分是边长为的正方形，其面积为． 图2中，阴影部分面积为（因为图2中阴影部分可看作大正方形减去2个长方形后，再加上边长为b的正方形的面积）． 因为图1和图2阴影部分面积相等， 所以． 故选：A． 24．如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个、的恒等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】解：大正方形边长为：，面积为：， 也可以用两个小正方形的面积，两个矩形的面积的和表示，即， ∴． 故答案为：． 25．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片 张．   【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式求出边长为的正方形的面积，再分析各类卡片的面积，从而得出需要类卡片的数量． 【详解】解：∵ 边长为的正方形的面积为，类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为 ∴ 拼成该正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张． 故答案为： 26．如图甲所示，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到两数和的完全平方公式是：，根据图乙能得到的数学公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟悉图中面积关系是关键． 对图乙：一方面，阴影部分正方形面积是，另一方面，它的面积是大正方形面积减去两个相等长方形面积，再加上一个边长为b的小正方形面积，根据面积相等即可得到等式． 【详解】解：图乙阴影部分正方形面积可以表示为， 还可以表示为， ∴由面积相等关系得：． 故答案为： 27．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，） (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积． (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比． 【答案】(1)绿化的面积是平方米 (2)绿化部分与原长方形地块的面积之比是 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，多项式除以多项式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）绿化面积=大长方形的面积-雕塑面积-通道面积，大长方形的面积，雕塑的面积，通道的面积，代入到关系式中计算即可； （2）因为雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，可得，化简可得，因为，，所以，绿化部分与原长方形地块的面积之比是，化简后得，将代入，求出最简比． 【详解】（1）解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米． （2）， ， 即， 因为，， 所以， ， 答：绿化部分与原长方形地块的面积之比是． 28．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式乘法与图形面积.根据图形面积总结规律，关键是运用规律解决问题． （1）直接根据图形写出等式； （2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可． 【详解】（1）由图形可得等式：； 故答案为：，； （2），，，且， ． 29．（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）①；②． 【分析】本题利用几何图形探索完全平方公式，考查了完全平方公式的几何意义以及利用公式的变形，与平方差公式的变形进行计算． （1）方法①是将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧，则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形，方法②是分割法求面积，用正方形草坪的面积减去两条小路的面积，需要注意的是两条小路的重叠部分是边长为的小正方形，减去了两次，要再加上； （2）类比（1），用两种方法求大正方形的面积，从而可得； （3）①利用（1）、（2）所得两个公式，即可求出，②根据（2）可得，进而求出，再对所求式利用平方差公式分解因式进行求解． 【详解】解：（1）方法①：将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧， 则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形， 剩余草坪的面积为， 方法②：剩余草坪的面积为， 故答案为：，，； （2）类比（1）同理可得，用两种方法求图2中大正方形的面积为， 故所得等量关系为； （3）①由题意得， ， ； ②， ， ， ． 30．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；；；．（2）；（3） 【分析】考查完全平方公式以及多项式的乘法与图形面积，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键， （1）依据图形的特点，分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积，再根据两种方法面积相等即可得到数量关系；方法1：根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，由此即可得到结论： (2）根据进行求解即可; (3）根据进行求解即可. 【详解】（1）方法1：阴影部分是边长为的正方形，则其面积为； 方法2：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，则其面积为， ∵两种表示方法的面积相等，∴． 方法1：大正方体棱长为，∴其体积为， 方法2：大正方体体积是所有长方体和所有小正方体的体积和，即， ∴． 故答案为：；；；；；． （2）∵，，， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴． 31．已知：运用拼图法可得公式．由正方形面积公式可知，面积等于边长乘边长，．由图形可知：，即：． (1)在图1中的9个方格中填上相应的代数式，用拼图法求． (2)将图2中边长为的正方形分割，用拼图法求． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题重点考查​完全平方公式的几何意义及拼图法证明​，​学生能否理解和运用拼图法（数形结合思想）来推导多项式的平方展开式是解题的关键． （1）先标出每个长方形或正方形的面积，再运用面积公式即可求解； （2）先标出正方形的边长为，进而得出16个长方形，再运用面积公式即可求解； 【详解】（1） （2） 32．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)53 (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式的变式，即可求解； （2）利用完全平方公式的变式，即可求解； （3）利用完全平方公式的变式及正方形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：， ． ， ， ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 类型四、完全平方式 33．若，则的值可以是（   ） A．或25 B．或15 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，将右边的式子展开是解决本题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的值为或25． 故选A． 34．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式的判断，若一个多项式可以表示为（其中、可以是单项式、多项式或常数），则这个多项式称为完全平方式．根据完全平方式的特征逐项判断即可． 【详解】解：根据完全平方式的特征，可得： A、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； B、，满足完全平方式的特征，是完全平方式，符合题意； C、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； D、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； 故选：B ． 35．如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（   ） A．7 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． 由题意可得是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可． 【详解】解：因为可以用完全平方公式进行因式分解， 所以， 所以． 故选：D． 36．如果多项式是一个完全平方式，则的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：∵， ∴如果是一个完全平方式，则m的值是9； 故选：C． 37．若成立，请你写出一组满足条件的的值： ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结果特点是解题的关键． 根据完全平方公式进行分析计算即可． 【详解】解：∵，即是完全平方式， ∴， 当时，，即； 当时，，即； ∴或． 38．关于的代数式中，当 时，代数式为完全平方式． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式的应用，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方式的结构，据此确定的值即可． 【详解】解：，是完全平方式， 故答案为：． 39．若负有理数使得是一个完全平方式，则 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∵为负有理数， ∴， 故答案为：． 40．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，即完全平方公式：．此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 41．（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 类型五、整式的混合运算 42．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和完全平方公式进行展开，合并同类项，再运用多项式除以单项式，得出，最后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值、乘法公式、绝对值的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键 先化简代数式，然后求出和，代入求值即可 【详解】解：原式 ， ∵， ，， ∴，， ∴，， 将，代入得， 原式． 45．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先根据乘法公式和多项式的乘法计算，再计算加减，然后计算除法，根据算术平方根的非负性、平方的非负性求出，，代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵， ∴，， 即，， ∴． 46．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算的法则和运算顺序，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 47．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入后原式． 48．化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据，求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 49．先化简，再计算：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用平方差公式、完全平方公式进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 50．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中x满足； (4)，其中； (5)，其中x，y是方程组的解； (6)，其中a，b满足． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式、去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． （1）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，然后代入求值； （2）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，再计算，最后代入求值； （3）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，根据，得，代入即可； （4）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，根据，得，代入即可； （5）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，解方程组求出、的值代入即可； （6）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，根据已知条件求出、的值代入即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式； （2）原式 ． ， ∴原式． （3）原式 ． ， ， ∴原式． （4）原式 ． ， ， ∴原式． （5）原式 ． 解方程组， 把①②得：，即， 将代入①得：， ， ∴当时，原式． （6）由题意，得， 把①②得：，即， 将代入①得：， ， 原式 ． 当时，原式． 1．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，把化为，利用完全平方公式展开，化简后即可求得的值． 【详解】解：， ，，， ． 故选：D． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （3）利用平方差公式、完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式、完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．若有理数a，b，c满足，试确定a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了完全平方公式和平方数的非负性，解题的关键是先将拆成，再将方程移项为，最后配成，即可得答案． 【详解】解：     ， ． 4．已知代数式之间存在这样的等量关系：．根据这个等量关系，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了利用完全平方式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方式的变形． （1）利用完全平方式进行变形，代数求值即可； （2）设，则，利用完全平方式求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 即的值为． 5．知，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 先求出，，，再将原式整理为，然后整体代入可得答案. 【详解】解：∵， ∴得，，得，得， 原式 . 6．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据完全平方公式，平方差公式，整式的除法解答即可； （）根据完全平方公式，平方差公式，整式的加减解答即可； （）连续利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 1．现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是 ；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为 ． 【答案】 9990 7062 【分析】本题综合考查了新定义下的实数运算、整除性、完全平方数等数论相关知识点，解决本题的关键是需要通过代数变形、分类讨论并熟练理解“1234 数”的概念． ①对于求最大的“1234 数”，要使四位数最大，应从高位到低位尽量取较大数字，根据来确定各个数位数字； ②对于求满足条件的M的和，先表示出M和，进而得出的表达式，再结合以及是完全平方数来确定的值． 【详解】解：∵要使四位数最大，千位数字a要尽可能大，a最大为9， 百位数字b也应尽可能大，设， 由，将，代入可得，即， ∵，为整数且，， 要使c尽可能大，从开始尝试，若， ∴， ∴， 解得， 所以最大的“1234数”是9990； 设“1234数”， ∴； ∴交换百位与千位、十位与个位得，且， ∴， ∵为整数，即， 故需为整数． 需是11的倍数， ∵是完全平方数． ， ∴， 需为偶数的平方，因此需为． 当时， 可能的组合：， ∵，故不符合题意，排除． 时， 可能的组合：， ∵，故需舍去． ∵，解得唯一整数解． 检查：仅时，，可得 ． ∴，符合． 时， 可能的组合：． ，解得整数解． 检查：仅且时，，对应． ∴，符合题意． 满足条件的M为4202和2860，其和为． 故答案为：9990，7062． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________ (2)已知，则___________； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (4)已知实数满足，求的最值． 【答案】(1) (2)5 (3)，理由见解析 (4)的最小值是 【分析】本题考查的是配方法的应用，“完美数”的定义，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义解答； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算； （3）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答； （4）对原式进行变形，再根据配方法进行求最小值即可． 【详解】（1）解：是完美数， ； 故答案为：； （2）解：， ，即， 且， 解得：， 则； 故答案为：5； （3）解：可取，理由如下： 对配方， 得，要使为“完美数”，可取，即，此时，因为是整数，所以和是整数，符合“完美数”的定义，故符合条件的一个值为10； （4）解：， ∵， ∴， 的最小值是． 3．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $