17.2用公式法分解因式(第2课时 运用完全平方公式因式分解)（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 17.2(第2课时) 第十七章 因式分解 运用完全平方公式 因式分解 完全平方公式 复习回顾 FU XI HUI GU (a+b)2=a2+2ab+b2， 我们把 (a-b)2=a2-2ab+b2. 都叫做完全平方公式. 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央.” 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 对照 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²，填空： 3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )². 2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²； 1. x² + 2x + 1 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²； x 1 x + 1 a a 2b a + 2b 2b m m - 3 3 x 1 m 3 3. (x+y)² + 6(x+y) + 9 = ( )² + 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )². x+y x+y 3 x+y+3 3 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 -1 的符号不统一. 不是 不是 是 （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = . 9 分析：根据完全平方式的特征， 中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9. 变式 已知是完全平方式，则 m 的值 = . 分析：∵是一个完全平方式， ∴mx＝±2•2x•6， 解得：m＝±24． 完全平方式求中间项时要注意分类讨论！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 (1) 4x2-4x+1 解：(1) 原式 =(2x)2-2·2x·1+12 =(2x-1)2 (2) 分解因式： (2) 原式=(m+n)2 -2·(m+n)·3+32 =(m+n-3)2 (3) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； ＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a) (3) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16) ＝-3a2(x - 4)2. (4) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2 ＝(a + 2)2(a - 2)2. (4) (a2 + 4)2 - 16a2. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 (5) (x2+y2)2-4x2y2 (6)4x2(x-1)-16(1-x)2 (7)16x4-72x2+81 解: (5) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2 (6)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)] =4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2 (7)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92 = (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2 =(2x+3)2(2x-3)2 分解因式： 归纳总结 典例精析 DIAN LI JING XI 01 02 03 运用完全平方公式分解因式时，应注意熟练把握公式的结构特征，避免出现符号、项数上的错误． 运用完全平方公式分解因式时，避免与平方差公式混淆． 运用完全平方公式分解因式时，有公因式应先提公因式． 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 提公因式 计算： （1）50×9.5 （2）. （2）20262-×4052+ =20262-2×2026×2025+20252 =（2026-2025）2 =12 =1． （1）50×9.5 =50×(9.5) =50×(9.5) =50×4 =200 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 有公因式的先提公因式 (1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 观察式子的结构，能否配方？ 已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由． ∴△ABC 是等边三角形． 解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2 ＝ 0， 即 (a－b)2＋(b－c)2 ＝ 0. ∴ a－b ＝ 0，b－c ＝ 0. ∴ a ＝ b ＝ c. 拓广探索 DIAN LI JING XI 例5 先通过换元，再利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小. 若 解：设,则=2， ==>0, 拓广探索 DIAN LI JING XI 例6 因式分解不彻底 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)＋1进行因式分解的过程.将(x2+2x)看成一个整体，令(x2+2x)=y,则原式=y(y+2)＋1=y2+2y+1=(y+1)2，再将y还原即可. 解：设(x2+2x)=y, 则原式=y(y+2)＋1(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2，(第三步) =(x2+2x+1)2，(第四步) 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的 结果___________； (x+1)4 拓广探索 DIAN LI JING XI 例6 换元法，再还原. ②请你模仿以上方法尝试对多项式(x24x)(x24x+8)＋16进行因式分解； 解：设(x24x)=y, 则原式=y(y+8)＋16 =y2+8y+16 =(y+4)2 =(x24x+4)2 =[(x2)2]2 =(x2)4 拓广探索 DIAN LI JING XI 例6 找相同的部分，换元法 (2)请你模仿以上方法尝试计算： (123...)(2+3+...+2026)(1...)(2+3+...+2025) 解：设(2+3+...+2026)=k, 则原式=(1)k(12026) =k(2027)(2026+2026) =2027k =2026 课堂小结 QING JING YIN RU 公式 完全平方公式分解因式 a2±2ab + b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是两个数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负 应用 (a±b)2=a2±2ab + b2 当堂练习 QING JING YIN RU 1.下列式子为完全平方式的是( ) A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1. 2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( ) A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2 3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( ) A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2 D C A 当堂练习 QING JING YIN RU 4.下列分解因式错误的是( ) A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2 C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2 D 5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( ) A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3 6.已知，则代数式的值为（     ） A．2020 B．2024 C．2021 D．2034 A D 当堂练习 QING JING YIN RU 7．分解因式__________________________． 8．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____． 9．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________． 10.因式分解：x(x﹣2)+1=__________． 11.若有理数满足__________． 12.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足 _________． 或9 (x﹣1)2 1 1<m<3 当堂练习 QING JING YIN RU 13.分解因式： (1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1 解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2 (2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2 (3)原式=(a+1)2 (4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2 当堂练习 QING JING YIN RU 14．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). （1）解：； （2）解： ； （3）解： （4）解：＝＝ ＝． $