17.2用公式法分解因式（第2课时）（完全平方公式）（教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用完全平方公式分解因式”，通过回顾平方差公式无法分解的多项式导入，引导学生观察式子结构特征，关联完全平方公式，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以整式乘法与因式分解的逆运算为核心，通过“做一做”“议一议”培养推理能力，结合“首平方、尾平方、首尾两倍中间放”口诀强化抽象与符号意识，如整体代换分解(a+b)²-12(a+b)+36，助力学生提升运算能力，教师可直接取用分层例题与真题练习，高效备课。

17.2 用提公因式法分解因式 第十七章 因式分解 人教版2024·八年级上册 第2课时 利用完全平方公式分解因式 学 习 目 标 1 2 理解完全平方公式进行因式分解的意义,掌握公式的特点 ． 能用完全平方公式进行因式分解,发展学生的运算能力和推理能力 ． 3 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性 ． 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识回顾 利用平方差公式分解因式 a2 – b2 = (a + b)(a – b) * 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式 同学们能用所学的知识解答下面的题目吗?分解因式: (１ ) －９ ＋４ ; (２ ) － ; (３ ) －０.01 ; 解：（1）原式= ４ －９ （2）原式 （3）原式 － 你做对了吗？ 导入新课 分解因式: (１ ) －８mn ＋１６ ; (２ ) ＋８mn ＋１６ ． 看看用前面所学的方法能将它们分解因式吗？ 完全平方公式 不能 式子结构有什么特点？你想到了哪个公式？ 新知探究 探究点1 认识完全平方式 做一做 计算: (１ ) ; (２ ) ． 解: (１ ) ＝ －８mn ＋１６ ; (２ ) ＝ ＋８mn ＋１６ ． 大家说说计算的依据是什么呢? 议一议 完全平方公式 (a ± b )２ ＝a２ ±２ab ＋ b２ 因式分解与整式乘法互为逆运算 a２ ±２ab ＋ b２ ＝ (a ± b )２ (１ ) －８mn ＋１６ (２ ) ＋８mn ＋１６ 分解因式： ＝ ＝ 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果 两位同学上台板演 5 新知探究 探究点1 认识完全平方式 议一议 观察多项式 ＋２ab ＋ 与 －２ab ＋ 有什么特点? 1.是二次三项式(或可以看成二次三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是两底数之积的±2倍. 完全平方式 特 点 它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的２ 倍 ＋２ab ＋ －２ab ＋ 典例分析 探究点1 认识完全平方式 例1.请大家判断下列各式是不是完全平方式 ． (１ ) －２ab － ( ) ( ２ ) ＋ －２ab ( ) (３ ) －６xy＋９ ＋ ( ) (４ ) ＋ x ＋ ． ( ) 不是 是 是 是 完全平方式结构特征口诀 “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍中间放. 新知探究 探究点2 完全平方公式分解因式 议一议 你能将多项式 ＋２ab ＋ 与 ２ab ＋ 分解因式吗? ＋２ab ＋ ＝ , ２ab ＋ ＝ , 整式乘法的完全平方公式 ＝＋２ab ＋ , ＝２ab ＋ 等号两边互换位置 分解因式的完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 ２ 倍,等于这两个数的和(或差)的平方 完全平方公式分解因式 典例分析 探究点1 利用完全平方公式分解因式 例 2.　分解因式: (１ ) ＋４x ＋４ ; 　　　　　 ( ２ ) １６ －２４x ＋９． 分析 ＋４x ＋４＝ ＋ ２ • x •２ ＋ 　　 ＋ ２ • a • b ＋ ＝ ＝ 解:(１ ) ＋４x ＋４ ＝ ＋ ２ ·x ·２ ＋ ＝ ; 典例分析 探究点2 利用完全平方公式分解因式 例 2　分解因式: (１ ) ＋４x ＋４ ; 　　　　　 ( ２ ) １６ －２４x ＋９． 分析 16 －24x ＋９ ＝ －２ • 4x •3 ＋ 　　 －２ • a • b ＋ ＝ ＝ (２ ) １６ －２４x ＋９ ＝ －２·４x · ３＋＝ ． 1 ＝ 24 x ＝２ ·４ x ·３ ９＝ , “首” 平方 “尾” 平方 “首” “尾”两倍中间放 典例分析 探究点2 完全平方公式分解因式 例 3　分解因式: (1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36； (2) – x2 + 4xy – 4y2. 设 a + b = m,则原式化为完全平方式m2 － 12m ＋36 ; (a + b)2 – 12(a + b) + 36 完全平方式 分析 将 a + b看作一个整体 m2 － 12m ＋36 2·m·6 m2 62 =（m＋6）² =（ a + b ＋6）² 典例分析 探究点2 完全平方公式分解因式 例 3　分解因式: (1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36； (2) – x2 + 4xy – 4y2. – ( x2 – 4xy + 4y2 ) x2 2·x·2y (2y)² 分析 首项有负号，先加括号提取负号 添括号提负号，将原式写成 – (x2 – 4xy + 4y2) 完全平方式 = – (x – 2y)2 解：(1) (a + b)2 – 12(a + b) + 36 = (a + b)2 – 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b – 6)2 (2) – x2 + 4xy – 4y2 = – (x2 – 4xy + 4y2) = – [x2 – 2·x·2y + (2y)2] = – (x – 2y)2 新知探究 探究点3 公式法分解因式 归一归 ()() ＝ － ＝＋２ab ＋ , ＝ ２ab ＋ 等号两边互换位置 特殊形式的多项式分解因式的公式 － ＝()(), ＋２ab ＋ ＝ , ２ab ＋ ＝ ． 整式乘法的平方差公式和完全平方公式和特殊形式的多项式分解因式的公式有什么关系？ 整式乘法平方差公式和完全平方公式 利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 典例分析 例4.因式分解： (1)–3m2x2＋24m2x–48m2； (2)(m2＋4)2–16m2. ＝(m2＋4＋4m)(m2＋4–4m) 解：(1)原式＝–3m2(x2–8x＋16) ＝–3m2(x–4)2； (2)原式＝(m2＋4)2–(4m)2 ＝(m＋2)2(m–2)2. 有公因式要先提公因式. 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． （3）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4 （3）原式=(a 2－2－2)2 将 a² - 2看作一个整体 =(a 2－4)2 = [(a －2) (a ＋2) ]2 = (a －2)² (a ＋2) 2 分解要彻底 探究点3 公式法分解因式 例5. 计算： （1）38.92 – 2×38.9×48.9 + 48.92 （2）1012 + 101×198 + 992 （3）9 9992 ＋19 999 解：(1) 原式 = (38.9 – 48.9)2 = (–10)2 = 100 (2) 原式 = 1012 + 2×101×99 + 992 = (101 + 99)2 = 2002 = 40000 典例分析 探究点3 公式法分解因式 （3）9 9992 ＋19 999 =9 9992 ＋10000+9 999 =9999×（9999+1）+10000 =9999 ×10000+10000 =10000 ×（9999+1） =10000 ×10000 =108 1. 如果三角形的三边长 a，b，c 满足： a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，求三角形的周长. 解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ (a2 – 6a + 9) + (b2 – 8b + 16) + (c2 – 10c + 25) = 0. 即 (a – 3)2 + (b – 4)2 + (c – 5)2 = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5. ∵ 3 + 4 > 5，所以能组成三角形. ∴ a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12， 即三角形的周长为 12. 拓展延伸 拓展提升 2.若关于 x 的多项式 ９ － kxy ＋４是一个完全平方式,则常数 k 的值为 ． ∵９ ＝ ,４ ＝ , ∴ － kxy ＝ ± ２ • • ＝±12xy , ∴k ＝±12． ９ － k x y ＋４ ±12 ＋ ２ • a • b ＋ “首” 平方 “尾” 平方 “首” “尾”两倍中间放 ± ２ • a • b= ± ２ • • = ±12 完全平方式中首尾项定中间项 解: 拓展提升 3.已知 2x ＝7－3y ,则 ＋12xy＋9的值为 　 　 ． 解: －２ab ＋ ＝ ＋６ ab ＋ －８ ab ＝ ( ３ a +b )２ －８ab ． 4.已知 ３ a ＋ b ＝６ ，ab ＝－２ ,求 －２ab ＋ 的值 ４９ 解: ∵2x ＝7－3y ∴2x＋3y＝7 ∴ ＋12xy＋9 ∵３ a +b ＝６ ,ab ＝－２ , ∴－８ab ＝62 －８× (－２ ) ＝52 , 即 －２ab ＋ = 52． 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1） a2 – 4a + 4 （2）1 + 4a2 是 只有两项，不是 不是 a2 22 2·a·2 最后一项为负，不是 （3）4b2 + 4b – 1 （4）a2 + ab + b2 新知巩固 教材P131练习 a2 b2 2·a·0.5b 2.分解因式： （1）a2 + 2a + 1； （2）x2 – 12x + 36； （3）4x2 – 4x + 1； （4）4p2 + 12pq + 9q2； （5）(x + y)2 – 10(x + y) + 25； （6）– 2xy – x2 – y2. 解：(1) a2 + 2a + 1 = a2 + 2·a·1 + 12 = (a + 1)2 (2) x2 – 12x + 36 = x2 – 2·x·6 + 62 = (x – 6)2 (3) 4x2 – 4x + 1 = (2x)2 – 2·2x·1 + 12 = (2x – 1)2 教材P131练习 新知巩固 2.分解因式： （1）a2 + 2a + 1； （2）x2 – 12x + 36； （3）4x2 – 4x + 1； （4）4p2 + 12pq + 9q2； （5）(x + y)2 – 10(x + y) + 25； （6）– 2xy – x2 – y2. (4) 4p2 + 12pq + 9q2 = (2p)2 + 2·2p·3q + (3q)2 = (2p + 3q)2 教材P131练习 解： (5) (x + y)2 – 10(x + y) + 25 = (x + y)2 – 2·(x + y)·5 + 52 = (x + y – 5)2 (6) – 2xy – x2 – y2 = – (x2 + 2xy + y2) = – (x + y)2 新知巩固 真题感知 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1) (2) （2） 解： 提公因式法与平方差公式 提公因式法与完全平方公式 真题感知 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若，则的值为 ． 解： ∵ ∴ 课堂小结 什么是完全平方式?用式子如何表示? 如何利用完全平方公式分解因式? 回顾 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 + 2ab + b2 =_______. a2 - 2ab + b2 =_______. (a + b)2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)2 两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方. 和 差 完全平方公式 课后练习 2.因式分解 （1）a2 – 4ab + 4b2； （2）–x2 + 10xy – 25y2； （3）4 + 12(x – y) + 9(x – y)2； （4）– (m + n)2 + 4(m + n) – 4 . 解：(1) 原式 = (a – 2b)2 (2) 原式 = –(x2 – 10xy + 25y2) (3) 原式 = [2 + 3(x – y)]2 (4) 原式 = – [(m + n)2 – 4(m + n) + 4] = – (x – 5y)2 = (3x – 3y + 2)2 = – (m + n – 2)2 习题17.2 教材P132 课后练习 4.利用因式分解计算： （1）1032 + 103×194 + 972 解：(1) 原式 = 1032 + 2×103×97 + 972 = (103 + 97)2 = 2002 = 40000 习题17.2 教材P132 若按常规思路进行计算,则计算量较大且易出错 ． 观察式子的特点,发现可将194分解成2与97的乘积,于是原式就“凑”成了完全平方式,可进行因式分解来简化计算 ． 分析 5. 已知 xy = 4，x + y = 5，求 x3y + 2x2y2 + xy3 . 当 xy = 4，x + y = 5 时， xy(x + y)2 = 4×52 = 100 解： x3y + 2x2y2 + xy3 = xy(x2 + 2xy + y2) = xy(x + y)2 习题17.2 教材P132 课后练习 课后练习 8.已知 4y2 + my + 9 是完全平方式，求 m 的值. 解：∵ 4y2 + my + 9 = (2y)2 + my + 32， 且 4y2 + my + 9 是完全平方式， ∴ 4y2 + my + 9 = (2y±3)2 = 4y2±12y + 9， ∴ m = ±12. 习题17.2 教材P132 感谢聆听! $