17.2用公式法分解因式(第3课时 运用其它方法因式分解)（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

17.2(第3课时)运用其它方法因式分解（解析版） 目 录 类型一、综合提公因式和公式法分解因式 1 类型二、十字相乘法 8 类型三、分组分解法 20 类型四、因式分解的应用 24 类型一、综合提公因式和公式法分解因式 1．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误， 故选：B． 2．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】解： . 故答案为：. 4．分解因式 ． 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．          【答案】 【分析】本题考查了因式分解的常用方法（提公因式法、完全平方公式、平方差公式），解题的关键是根据多项式的结构特征选择合适的分解方法，先判断是否可提公因式，再观察是否符合公式（完全平方公式、平方差公式），分步完成因式分解． 分解时，先识别其符合完全平方公式，分解为，再对 用平方差公式进一步分解；分解时，先提取公因式，得到，再对 用平方差公式分解． 【详解】解：① = = = = 故答案为：． ② = = 故答案为：． 6．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】 故答案为：． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． 10．因式分解： (1)；； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先通过变形将式子化为有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． 12．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． 13．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，然后用完全平方公式进行解题； （2）先提公因式，然后用平方差公式进行解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可得到答案； （2）运用提公因式法和公式法因式分解即可得到答案； （3）运用提公因式法和公式法因式分解即可得到答案． 本题主要考查因式分解，涉及提公因式法、公式法因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 15．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，熟知完全平方公式与平方差公式的结构特点是解题的关键，注意结果要分解完全． （）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可， （）把看作一个整体，利用十字相乘法分解为，再对用平方差公式继续分解，最终得到． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．分解因式 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．分解因式 (1) (2) 【答案】(1)（1） (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取公因式，再由平方差公式分解即可； （2）直接提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 类型二、十字相乘法 18．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提取公因式进行因式分解，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为： 19．把分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，采用十字相乘法直接分解即可． 【详解】可将分为， 故， 故答案为：． 20．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 21．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中十字相乘的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可； 【详解】解： ， 故答案为：． 22．“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合八年级下册学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 【答案】(1)； (2)①，；②， 【分析】本题主要考查因式分解---十字相乘法解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据“两个因数的积为零，那么这两个因数中至少有一个因数为零”可得答案； （2）①把分解成与2的积，且，方程可变形为，故可解答； ②把分解成，分解成，而，故方程可变形为，故可解答． 【详解】（1）解：， ∴或， 故答案为：；； （2）解：①， ， 或， ∴，； ②， ， 或， ∴，． 23．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】(1)， (2)①② 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 24．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，解答本题的关键是掌握十字相乘法和整式的乘法． 根据十字相乘法得到，再设，利用整式的乘法进行计算，进而对比系数求解，即可解题． 【详解】解： 设 ， 对比原式系数，得， 解得， ， 故答案为：． 25．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 设，原式化为，然后整理得到，然后利用十字相乘法化简即可． 【详解】解：设 ∴ ． 故答案为：． 26．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，运用拆添项分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解一分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 先分组得到原式，再利用立方和公式和提公因式法分别对各组分解因式，再提公因式，然后把余下的因式利用十字相乘法分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 29．已知，，则 ． 【答案】7 【分析】先根据立方和公式求出的值，再求出的值，最后根据完全平方公式求出的值．本题主要考查了立方和公式、完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，即． 又∵， ∴． 将代入，得， 解得． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 30．下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)，； (2)分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； (3)． 【分析】本题考查了分解因式． （1）先利用平方差公式把第三步式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （2）根据所给因式分解过程即可得到答案； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 31．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 32．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】(1) (2)7，，2， 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 33．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： (1)________________________； (2)_________________________； (3)________________________； (4)________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解法，（1）根据题意进行因式分解即可； （2）根据题意进行因式分解即可； （3）根据题意进行因式分解即可； （4）根据题意进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：， 故答案为：． 34．整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，因式分解的应用，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给材料信息即可求解； （2）分别计算和，然后把看作整体因式分解为，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 35．阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 36．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 37．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图， ∴； （2）解：如图， ∴． 38．探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 类型三、分组分解法 39．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 【详解】解：， 故答案为：． 40．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 41．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 42．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 43．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法以及分组法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式2，然后运用平方差公式进行因式分解即可； （2）先分组，然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 44．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 45．【阅读材料】分解因式： ．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．根据以上方法分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法，提取公因式法，分组分解法因式分解是解题的关键． （1）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （2）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （3）先“三、一分组”，再利用完全平方公式计算，最后根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 46．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握分组法和公式法因式分解成为解题的关键． 分组可得，运用完全平方公式分解因式可得，最后运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 47．小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，分组分解法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 前面2项加上1后，可得到完全平方，9可以写成，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 类型四、因式分解的应用 48．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 49．利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2022 (3)810 【分析】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成，即最后一项化为，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 50．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 51．（1）已知，，求的值． （2）求证：不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及平方数的非负性，熟练掌握因式分解的方法和平方数的非负性是解题的关键． （1）先对所求式子进行变形，利用已知条件将高次幂转化为低次幂，再通过平方差公式求出的值，进而得出结果． （2）对多项式进行因式分解，然后根据平方数的非负性以及系数的正负来判断多项式的值的范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：， ，， ． ∴不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 1．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 先分组，将与分开；对用因式分解，对提取；最后提取公因式，得到结果． 【详解】解： ． 2．阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 3．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式， 后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式． 然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式． 过程为： 以上这种分解因式的方法叫分组分解法． 请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)若△ABC的三边a， b， c满足试判断△ABC的形状． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式以及利用因式分解判断三角形的形状．熟练掌握分组分解法的步骤和完全平方公式、提取公因式法等知识，通过合理分组进行因式分解，并根据分解结果判断三角形的形状是解题的关键． （1）前三项符合完全平方公式，后两项可提取公因式，然后前后两部分分别分解因式后会产生公因式，再提取公因式完成整个式子的分解因式． （2）对进行分组分解，通过提取公因式得到关于、、的关系，从而判断的形状． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴或 即或 ∴是等腰三角形． 1．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 2．阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 3．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值，利用提公因式法分解因式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）分别表示出长方体的长宽高，从而根据长方体的体积公式分别表示出对应的体积，最后利用大正方体的体积减去小正方体的体积等于三个长方体的体积之和，并利用提公因式法因式分解即可； （3）由（）的结论结合完全平方公式因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 即因此可得一个多项式的因式分解为． 故答案为：． （2）解：如图所示，则得到的几何体的体积为：； ，，， 长方体的体积为， ，，， 长方体的体积为， ， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为． 故答案为：；；；． （3）解：由（）可知，， ∵，， ， ． 4．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2(第3课时)运用其它方法因式分解（原卷版） 目 录 类型一、综合提公因式和公式法分解因式 1 类型二、十字相乘法 2 类型三、分组分解法 6 类型四、因式分解的应用 7 类型一、综合提公因式和公式法分解因式 1．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．分解因式： ． 4．分解因式 ． 5．          6．因式分解： ． 7．分解因式： ． 8．分解因式： ． 9．因式分解： 10．因式分解： (1)；； (2)． 11．因式分解： 12．因式分解： 13．因式分解： (1) (2) 14．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 15．因式分解 (1) (2) 16．分解因式 (1) (2)． 17．分解因式 (1) (2) 类型二、十字相乘法 18．分解因式： ． 19．把分解因式的结果是 ． 20．分解因式： ． 21．因式分解： ． 22．“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合八年级下册学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 23．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 24．分解因式： ． 25．分解因式： ． 26．分解因式： ． 27．分解因式： ． 28．分解因式： ． 29．已知，，则 ． 30．下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 31．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 32．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 33．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： (1)________________________； (2)_________________________； (3)________________________； (4)________________________． 34．整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 35．阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 36．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 37．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 38．探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 类型三、分组分解法 39．因式分解： ． 40．因式分解： ． 41．因式分解 ． 42．因式分解： ． 43．分解因式： (1) (2) 44．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 45．【阅读材料】分解因式： ．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．根据以上方法分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 46．因式分解：． 47．小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 类型四、因式分解的应用 48．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 49．利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 50．利用因式分解计算： (1)； (2)． 51．（1）已知，，求的值． （2）求证：不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 1．因式分解：． 2．阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 3．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式， 后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式． 然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式． 过程为： 以上这种分解因式的方法叫分组分解法． 请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)若△ABC的三边a， b， c满足试判断△ABC的形状． 1．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 2．阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 3．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 4．解方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $