专题01 二次根式（期中复习讲义）九年级数学上学期华东师大版

专题01 二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的定义 掌握二次根式的定义，能够利用二次根式的定义求参数的值 基础必考点，经常出现在选填题中 二次根式的性质 能够利用二次根式有意义的条件求参数的取值范围，正确的使用二次根式的性质化简求值 高频易错点，在选择题、填空题以及解答题中均可以出现。化简求值题可能出现在解答题中 二次根式的乘除运算 能够识别最简二次根，并正确的应用二次根式的乘除进行计算 二次根式的乘除运算主要是作为计算题的桥梁进行考查 二次根式的加减运算 能够判别同类二次根式，并正确的应用二次根式的加减进行计算 同类二次根式的相关题型常出现在选填题中，而二次根式的混合计算则单独出现在解答题或者作为计算的桥梁 知识点01 二次根式相关知识点 ①形如的式子叫做二次根式。 注意：中，的取值必须满足，即二次根式的被开方数必须是非负数。 ②二次根式的性质：当时，；当时， 知识点02 二次根式的乘除 （1）二次根式的乘法 ①两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根 字母表示： ②积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 字母表示： （2）二次根式的除法 ③两个算术平方根的商，等于它们商的算术平方根 字母表示： ④商的算术平方根，等于两个算术平方根的商 字母表示： ⑤化简后的二次根式被开方数不含字母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式。 知识点03 二次根式的加减 ①几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 ②二次根式加减法的步骤 （1）化简：首先，需要将每个二次根式化简为最简二次根式。这通常涉及到将根号内的数分解因数，提取平方数因子，并将它们移到根号外。 （2）判断：在化简之后，需要判断哪些二次根式是同类二次根式。同类二次根式是指那些被开方数相同的二次根式。 （3）合并：对于同类二次根式，我们可以像合并同类项一样进行合并。即将它们的系数相加减，而根号下的部分保持不变 题型一 判断是否为二次根式 解｜题｜技｜巧 判断是否为二次根式一般看以下2点：①形如这个样子的数；②被开方数必须是非负数。满足以上两点就是二次根式。 【典例1】下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如的式子，叫二次根式，逐一判断得到答案即可； 【详解】解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 【变式1】(24-25九上·广东江门新会尚雅学校·期中)下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】(24-25九上·河北石家庄第四十中学·期中)下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年 八年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 题型二 求二次根式中的参数 【典例2】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式1】(24-25九上·重庆南开中学·期中)已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】(24-25九上·四川达州渠县第二中学·期中)已知有理数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 题型三 二次根式有意义的条件求取值范围 解｜题｜技｜巧 解此类题型的一般技巧 ①看是否含有分式：如果代数式中含有分式，则分母不等于0； ②看是否含有二次根式：如果代数式中含有二次根式，则被开方数是非负数； ③看是否含有0次幂：如果代数式中含有0次幂，则底数不为0. 【典例3】若代数式  有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴． 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·黑龙江佳木斯桦南县·期中)使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 【变式2】(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区第四中学·期中)若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 题型四 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 二次根式的化简,然后再根据未知数的取值范围进行去绝对值即可 【典例4】当时，化简： 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·湖北武汉江夏区湖北华宜寄宿学校·期中)已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 【变式2】(24-25九上·黑龙江绥化海伦第十中学·期中)若，化简的结果是 ． 【答案】/ 【来源】黑龙江省绥化市 海伦市第十中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的化简，化简绝对值． 根据题意求出、的范围，再化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型五 利用二次根式有意义的条件求值 【典例5】(24-25九上·甘肃天水·期中)已知实数满足，那么的值是 ． 【答案】 【来源】甘肃省天水市育生中学2024-2025学年九年级上学期第一阶段质量检测数学试卷 【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，绝对值的化简，熟练掌握非负性是解题的关键．根据二次根式的有意义的条件得到，得到，然后化简绝对值得到，然后代数计算解答即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)函数，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的自变量取值范围，求一个数的算术平方根，根据二次根式有意义的条件，可求出x的值，进而可求出y值，然后再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，且 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 【变式2】(24-25八下·浙江诸暨海亮教育·期中)已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的非负性得出，再根据完全平方公式和绝对值的非负性得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【变式3】(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)若a，b为实数，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，根据二次根式有意义的条件可求出a的值，进而求出b的值，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 二次根式化简与数轴结合 解｜题｜步｜骤 ①二次根式的化简，先对代数式中的二次根式进行化简，化为绝对值形式； ②再结合数轴，判断绝对值里面的数与0的大小关系，如果大于0，则直接将绝对值变成括号，如果小于0，则先将绝对值里面的数变为相反数，再将绝对值变为括号； ③去绝对值合并同类项即可。 【典例6】实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 【答案】6 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 【变式1】(24-25九上·湖北荆门沙洋县实中教联体·期中)实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，由数轴可得，即得，再根据绝对值的性质化简即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】(24-25九上·山东日照北京路中学·期中)实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，利用数轴得出，结合得出，进而利用绝对值、完全平方公式和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解∶由数轴知：， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：b． 题型七 判断化简是否正确 【典例7】把根号外的因式移到根号内的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键． 首先根据题意得到，然后根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】∵有意义， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·山东临沂兰山区·期中)已知，且，化简二次根式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】(24-25九上·甘肃张掖山丹县·期中)已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 题型八 复合二次根式 【典例8】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 【变式1】(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 【变式2】(24-25九上·山西吕梁文水县·期中)阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型九 最简二次根式的判断 解｜题｜技｜巧 判断是否为最简二次根式主要看以下两点： ①被开方数不含有能开的尽方的因式，例如都不是； ②被开数不含分数，例如都不是； ③分母不含根号，例如 【典例9】(24-25九上·贵州遵义·期中)下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足以下两个条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足的两个条件逐项判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．不是最简二次根式，故B不符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】(24-25九上·广东湛江吴川实验学校·期中)在二次根式，，，，，中，是最简二次根式的（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案． 【详解】解：，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式． ∴是最简二次根式的有2个， 故选：A． 【变式2】(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义即可判断． 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母． 【详解】A．含有能开的尽的因式16，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； B．含有能开的尽的因式4，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； C．里有分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； D．为最简二次根式，故选项正确，符合题意； 故选：D． 题型十 已知最简二次根式和同类二次根式求解 【典例10】(24-25九上·四川眉山·期中)若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 【变式1】(24-25九上·江苏省海安县五校·期中)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 【变式2】(24-25八下·吉林吉林第九中学·期中)若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式3】(24-25九上·宁夏石嘴山惠农区石嘴山第十五中学·期中)已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出题干所给的两个二次根式是同类二次根式是解题的关键； 根据题意可得与是同类二次根式，进而可得关于a的方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得； 故答案为：3. 题型十一 二次根式的混合运算（计算题） 解｜题｜步｜骤 二次根式的混合运算涉及加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，解题时需要遵循一定的步骤和方法。以下是详细的解题步骤： ①化简二次根式：首先，需要将题目中的二次根式化简为最简二次根式。这包括将被开方数中的完全平方数提出根号，以及将分母中的根号去掉（分母有理化）； ②确定运算顺序：根据数学运算的优先级，先进行乘方和开方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。如果有括号，需要先计算括号内的内容； ③应用运算律和公式：在进行二次根式的混合运算时，可以应用乘法分配律、结合律等运算律，以及完全平方公式等乘法公式来简化计算过程； ④进行计算：按照确定的运算顺序，逐步进行计算。在计算过程中，需要注意符号的变化和运算的准确性； ⑤检查结果：完成计算后，需要检查结果是否正确。可以通过反向计算、估算或者其他方法来验证结果的正确性 【典例11】(24-25九上·辽宁省盘锦市大洼区第二中学·期中)计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键是先将所有二次根式化为最简二次根式，再根据四则运算顺序和同类二次根式合并法则进行计算，同时注意括号和系数的处理． （1）先去括号，再将、、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （2）先根据乘法分配律去括号，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （3）先利用乘法分配律计算与、的乘积，化简结果后合并同类二次根式； （4）先计算二次根式的除法，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】(24-26九上·贵州遵义第十二中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、实数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用二次根式的性质、零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】(24-25九上·甘肃兰州第四十八中学·期中)计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】(24-25九上·广东东莞石碣中学·期中)计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘除法运算法则计算，然后去括号，再由二次根式加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，涉及二次根式的性质、二次根式的乘除法运算法则、二次根式加减运算法则和去括号法则等知识，熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 题型十二 已知字母的值，化简求值 【典例12】已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算出的值，再利用完全平方公式将所求式子变形，最后整体代入计算即可得解； （2）先计算出的值，再利用平方差公式将所求式子变形，最后整体代入计算即可得解； （3）先计算出的值，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】(23-24八下·广西巴马县·期中)已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．将，代入各式进行化简求值即可求出答案． 【详解】（1）解（1） ． （2）解：（2） ． 【变式2】(24-25九上·新疆大学附属中学·期中)已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】(23-24九上·河南周口西华县·期末)已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 题型十三 已知条件式，化简求值 【典例13】如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 【变式1】(23-24九上·内蒙古呼和浩特第三十九中学金地校区·期中)（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】(23-24九上·甘肃武威民勤县双茨科乡中学·期中)已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【变式3】(23-24九上·湖北宜昌第五中教联体·期中)已知，且x，y都是正数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据x，y都是正数，化简所求式子，代入求值即可． 【详解】解：，且x，y都是正数， ， 当时， 原式． 题型十四 比较二次根式的大小 解｜题｜技｜巧 二次根式比较大小的方法主要有以下几种： ①平方法：平方法主要针对一些二次根式的和或者差，不能通过观察，常常先需要平方，将其化为整数再比较大小。 ②作差法：若大数减去小数，则差大于0，若小数减去大数，则差小于0。 ③作商法：若被除数小于除数，则商小于1，若被除数大于除数，则商大于1。 ④分子有理化与分母有理化：分子有理化与分母有理化，在对分子或分母变形时，主要用到平方差公式来进行的 【典例14】比较大小： ． 【答案】> 【来源】福建省莆田市莆田第八中学2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷 【分析】本题主要考查了实数大小比较，首先比较出每组两个数的平方的大小关系，然后判断出原来两个数的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·安徽宣城皖东南初中四校期中联考·期中)比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】(24-25九上·陕西西安临潼区秦陵初级中学·期中)比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，先将变形为，再根据同分母的分式比较大小，分子越大分式越大，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】(23-24九上·安徽合肥五十中天鹅湖校区·期中)比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型十五 二次根式的应用 解｜题｜步｜骤 二次根式的实际应用题解题步骤通常包括以下几个方面： ①理解题意：首先，需要仔细阅读题目，理解题目所描述的实际情境，明确题目要求解的是什么； ②建立数学模型：根据题目描述，将实际问题转化为数学问题，即建立方程或表达式。在这个过程中，可能需要使用到二次根式的性质和运算规则； ③解方程或简化表达式：运用二次根式的相关性质和运算规则，对方程或表达式进行求解或简化。 检验答案：将得到的解代入原问题中，检验其是否满足题目的要求和实际情况。如果解不符合实际意义（例如，长度不能为负数），则需要舍去； ④总结答案：最后，根据检验结果，总结出符合题目要求的答案。 【典例15】如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为 ，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·河北唐山丰润镇中·期中)摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为 （结果保留整数；参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，求代数式的值，解决本题的关键是根据．摆钟的摆锤长为，求出摆锤摆动一个来回需要的时间，再根据分钟等于秒可以求出在分钟内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解： ．若某摆钟的摆锤长为， ， 又， 在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为下． 故答案为： ． 【变式2】(24-25九上·云南文山广南县广南一中广南三中·期中)如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)1120元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【详解】（1）解：， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 【变式3】(24-25八下·江苏淮安清江浦区开明集团·期中)行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1)该楼层落地时的速度为 (2)不正确，见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简． （1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：把，， 代入得： ， ∴该楼层落地时的速度为； （2）不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的2倍， ∴， 将的值代入公式中得： v小明 ， ∴2， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 题型十六 分母有理化解答题压轴 【典例16】在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 【变式1】(24-25九上·甘肃兰州第五中学·期中)我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意、正确计算是解题的关键． （1）由题干例子即可完成； （2）由题干例子把各项化为分母不含二次根式的式子，再利用二次根式的加减法则即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 【变式2】(23-24九上·山东潍坊坊子区·期中)【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 题型十七 二次根式中规律探索类题型 【典例17】在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【答案】(1)，验证见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解： ． 【变式1】在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律： ① ② ③ …… 请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题： (1)化简：________，________ (2)计算： (3)化简：________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，根据规律求解即可． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴，． 故答案为：，； （2）解： ． （3）解： ． 【变式2】(24-25九上·安徽宣城第六中学·期中)【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的定义 掌握二次根式的定义，能够利用二次根式的定义求参数的值 基础必考点，经常出现在选填题中 二次根式的性质 能够利用二次根式有意义的条件求参数的取值范围，正确的使用二次根式的性质化简求值 高频易错点，在选择题、填空题以及解答题中均可以出现。化简求值题可能出现在解答题中 二次根式的乘除运算 能够识别最简二次根，并正确的应用二次根式的乘除进行计算 二次根式的乘除运算主要是作为计算题的桥梁进行考查 二次根式的加减运算 能够判别同类二次根式，并正确的应用二次根式的加减进行计算 同类二次根式的相关题型常出现在选填题中，而二次根式的混合计算则单独出现在解答题或者作为计算的桥梁 知识点01 二次根式相关知识点 ①形如的式子叫做 。 注意：中，的取值必须满足，即二次根式的被开方数必须是非负数。 ②二次根式的性质：当时，；当时， 知识点02 二次根式的乘除 （1）二次根式的乘法 ①两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根 字母表示： 。 ②积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 字母表示： （2）二次根式的除法 ③两个算术平方根的商，等于它们商的算术平方根 字母表示： ④商的算术平方根，等于两个算术平方根的商 字母表示： ⑤化简后的二次根式被开方数不含字母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为 。 知识点03 二次根式的加减 ①几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做 。 ②二次根式加减法的步骤 （1） ：首先，需要将每个二次根式化简为最简二次根式。这通常涉及到将根号内的数分解因数，提取平方数因子，并将它们移到根号外。 （2） ：在化简之后，需要判断哪些二次根式是同类二次根式。同类二次根式是指那些被开方数相同的二次根式。 （3） ：对于同类二次根式，我们可以像合并同类项一样进行合并。即将它们的系数相加减，而根号下的部分保持不变 题型一 判断是否为二次根式 解｜题｜技｜巧 判断是否为二次根式一般看以下2点：①形如这个样子的数；②被开方数必须是非负数。满足以上两点就是二次根式。 【典例1】下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广东江门新会尚雅学校·期中)下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·河北石家庄第四十中学·期中)下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 求二次根式中的参数 【典例2】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】(24-25九上·重庆南开中学·期中)已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·四川达州渠县第二中学·期中)已知有理数满足，则的值是 . 题型三 二次根式有意义的条件求取值范围 解｜题｜技｜巧 解此类题型的一般技巧 ①看是否含有分式：如果代数式中含有分式，则分母不等于0； ②看是否含有二次根式：如果代数式中含有二次根式，则被开方数是非负数； ③看是否含有0次幂：如果代数式中含有0次幂，则底数不为0. 【典例3】若代数式  有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式1】(24-25九上·黑龙江佳木斯桦南县·期中)使式子有意义的的取值范围是 ． 【变式2】(24-25九上·内蒙古巴彦淖尔临河区第四中学·期中)若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 题型四 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 二次根式的化简,然后再根据未知数的取值范围进行去绝对值即可 【典例4】当时，化简： 【变式1】(24-25九上·湖北武汉江夏区湖北华宜寄宿学校·期中)已知，，则 ． 【变式2】(24-25九上·黑龙江绥化海伦第十中学·期中)若，化简的结果是 ． 题型五 利用二次根式有意义的条件求值 【典例5】(24-25九上·甘肃天水·期中)已知实数满足，那么的值是 ． 【变式1】(24-25九上·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)函数，则的算术平方根是 ． 【变式2】(24-25八下·浙江诸暨海亮教育·期中)已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【变式3】(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)若a，b为实数，，则 ． 题型六 二次根式化简与数轴结合 解｜题｜步｜骤 ①二次根式的化简，先对代数式中的二次根式进行化简，化为绝对值形式； ②再结合数轴，判断绝对值里面的数与0的大小关系，如果大于0，则直接将绝对值变成括号，如果小于0，则先将绝对值里面的数变为相反数，再将绝对值变为括号； ③去绝对值合并同类项即可。 【典例6】实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 【变式1】(24-25九上·湖北荆门沙洋县实中教联体·期中)实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【变式2】(24-25九上·山东日照北京路中学·期中)实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 题型七 判断化简是否正确 【典例7】把根号外的因式移到根号内的结果是 ． 【变式1】(24-25九上·山东临沂兰山区·期中)已知，且，化简二次根式的结果是 ． 【变式2】(24-25九上·甘肃张掖山丹县·期中)已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【变式3】将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 题型八 复合二次根式 【典例8】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【变式1】(24-25九上·湖北恩施土家族苗族巴东县·期中)观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【变式2】(24-25九上·山西吕梁文水县·期中)阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 题型九 最简二次根式的判断 解｜题｜技｜巧 判断是否为最简二次根式主要看以下两点： ①被开方数不含有能开的尽方的因式，例如都不是； ②被开数不含分数，例如都不是； ③分母不含根号，例如 【典例9】(24-25九上·贵州遵义·期中)下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广东湛江吴川实验学校·期中)在二次根式，，，，，中，是最简二次根式的（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型十 已知最简二次根式和同类二次根式求解 【典例10】(24-25九上·四川眉山·期中)若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【变式1】(24-25九上·江苏省海安县五校·期中)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【变式2】(24-25八下·吉林吉林第九中学·期中)若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式3】(24-25九上·宁夏石嘴山惠农区石嘴山第十五中学·期中)已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 题型十一 二次根式的混合运算（计算题） 解｜题｜步｜骤 二次根式的混合运算涉及加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，解题时需要遵循一定的步骤和方法。以下是详细的解题步骤： ①化简二次根式：首先，需要将题目中的二次根式化简为最简二次根式。这包括将被开方数中的完全平方数提出根号，以及将分母中的根号去掉（分母有理化）； ②确定运算顺序：根据数学运算的优先级，先进行乘方和开方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。如果有括号，需要先计算括号内的内容； ③应用运算律和公式：在进行二次根式的混合运算时，可以应用乘法分配律、结合律等运算律，以及完全平方公式等乘法公式来简化计算过程； ④进行计算：按照确定的运算顺序，逐步进行计算。在计算过程中，需要注意符号的变化和运算的准确性； ⑤检查结果：完成计算后，需要检查结果是否正确。可以通过反向计算、估算或者其他方法来验证结果的正确性 【典例11】(24-25九上·辽宁省盘锦市大洼区第二中学·期中)计算 (1) (2) (3) (4) 【变式1】(24-26九上·贵州遵义第十二中学·期中)计算： (1) (2) 【变式2】(24-25九上·甘肃兰州第四十八中学·期中)计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式3】(24-25九上·广东东莞石碣中学·期中)计算： 题型十二 已知字母的值，化简求值 【典例12】已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1】(23-24八下·广西巴马县·期中)已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2】(24-25九上·新疆大学附属中学·期中)已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】(23-24九上·河南周口西华县·期末)已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 题型十三 已知条件式，化简求值 【典例13】如果，试求的值． 【变式1】(23-24九上·内蒙古呼和浩特第三十九中学金地校区·期中)（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【变式2】(23-24九上·甘肃武威民勤县双茨科乡中学·期中)已知，，求的值． 【变式3】(23-24九上·湖北宜昌第五中教联体·期中)已知，且x，y都是正数，求的值． 题型十四 比较二次根式的大小 解｜题｜技｜巧 二次根式比较大小的方法主要有以下几种： ①平方法：平方法主要针对一些二次根式的和或者差，不能通过观察，常常先需要平方，将其化为整数再比较大小。 ②作差法：若大数减去小数，则差大于0，若小数减去大数，则差小于0。 ③作商法：若被除数小于除数，则商小于1，若被除数大于除数，则商大于1。 ④分子有理化与分母有理化：分子有理化与分母有理化，在对分子或分母变形时，主要用到平方差公式来进行的 【典例14】比较大小： ． 【变式1】(24-25九上·安徽宣城皖东南初中四校期中联考·期中)比较大小： （填“或或”）． 【变式2】(24-25九上·陕西西安临潼区秦陵初级中学·期中)比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式3】(23-24九上·安徽合肥五十中天鹅湖校区·期中)比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 题型十五 二次根式的应用 解｜题｜步｜骤 二次根式的实际应用题解题步骤通常包括以下几个方面： ①理解题意：首先，需要仔细阅读题目，理解题目所描述的实际情境，明确题目要求解的是什么； ②建立数学模型：根据题目描述，将实际问题转化为数学问题，即建立方程或表达式。在这个过程中，可能需要使用到二次根式的性质和运算规则； ③解方程或简化表达式：运用二次根式的相关性质和运算规则，对方程或表达式进行求解或简化。 检验答案：将得到的解代入原问题中，检验其是否满足题目的要求和实际情况。如果解不符合实际意义（例如，长度不能为负数），则需要舍去； ④总结答案：最后，根据检验结果，总结出符合题目要求的答案。 【典例15】如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为 ，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 【变式1】(24-25九上·河北唐山丰润镇中·期中)摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为 （结果保留整数；参考数据：）． 【变式2】(24-25九上·云南文山广南县广南一中广南三中·期中)如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【变式3】(24-25八下·江苏淮安清江浦区开明集团·期中)行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 题型十六 分母有理化解答题压轴 【典例16】在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【变式1】(24-25九上·甘肃兰州第五中学·期中)我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 【变式2】(23-24九上·山东潍坊坊子区·期中)【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 题型十七 二次根式中规律探索类题型 【典例17】在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； (3)【应用规律】计算：． 【变式1】在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律： ① ② ③ …… 请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题： (1)化简：________，________ (2)计算： (3)化简：________． 【变式2】(24-25九上·安徽宣城第六中学·期中)【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $