专题03 分式的加减乘除运算（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题03 分式的加减乘除运算 考点01 同分母分式加减法 1 考点02 最简公分母 3 考点03 异分母分式加减法 5 考点04 通分 9 考点05 整式与分式相加减 10 考点06 已知分式恒等式，确定分子或分母 14 考点07 分式加减的实际应用 16 考点08 分式乘法 18 考点09 分式除法 20 考点10 分式乘除混合运算 22 考点11 分式乘方 24 考点12 含乘方的分式乘除混合运算 25 考点13 分式加减乘除混合运算 27 考点14 分式化简求值 30 考点01 同分母分式加减法 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据分式加减的运算法则求解即可； （2）先通分，再合并即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）已知且，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的加减运算，代数式求值，将所求代数式化简为是解题的关键．先由，可得，，，再将去括号，利用同分母分式加法法则化简为，然后把，，代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴，，， ∴ ． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；     ． 解决下列问题： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将分式化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可） (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)①④ (2) (3)或或或或或. 【思路引导】本题考查了利用分式的加减运算的逆运算对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义． （1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论； （2）仿照题干方法把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （3）先把分式整式与真分式的和的形式，再根据分式的值为整数确定的值． 【规范解答】（1）解：①是真分式， ②，是假分式； ③，是假分式； ④是真分式， ∴属于真分式的是①④； 故答案为：①④； （2）解：； 故答案为：； （3）解：； ∵分式的值为整数， ∴或或或且， 解得：或或或或或．（其中舍去） 考点02 最简公分母 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【思路引导】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【思路引导】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；以及分式的正负性判断． 【规范解答】解：A、当时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中，都扩大倍，分式的值扩大倍；故本选项说法错误，不符合题意； D、无论为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）确定最简公分母： （1）分式与的最简公分母是 ； （2）分式与的最简公分母是 ； （3）分式的最简公分母是 ； （4）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了最简公分母的定义，即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此进行解答即可． 【规范解答】解：（1）分式与的最简公分母是， 故答案为： （2）分式与的最简公分母是； 故答案为： （3）分式的最简公分母是； 故答案为： （4）分式与的最简公分母是． 故答案为： 考点03 异分母分式加减法 7．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【思路引导】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【规范解答】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 8．（20-21八年级上·山东泰安·期中）阅读材料，完成下列任务： 部分分式分解 我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解． 例如：将部分分式分解的方法如下： 因为， 所以设． 去分母，得． 整理，得． 所以    ，解得． 所以    ，即． 显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数． 任务： (1)将部分分式分解； (2)已知部分分式分解的结果是则的值为_____． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了新定义运算和分式的化简，解决此题的关键是把分母正确进行分解因式； （1）仿照例子，把分母分解因式，根据恒等的关系得到方程组即可解决问题； （2）把分式通分，根据恒等的关系得到方程组即可得到答案； 【规范解答】（1）解∶∵， ∴设 去分母，得， 整理，得， 所以， 解得， 所以，， 即 （2）解：， ∵，， ∴， 故答案为∶． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和 进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【答案】（1）2，5，4，10（答案不唯一）；（2），；（3）若，则；（4）见解析 【思路引导】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质以及分式的化简计算是解题的关键． （1）根据比例的性质，找出满足的一组数即可． （2）将（1）中所取的数代入和进行计算． （3）通过（2）的计算结果，猜想两个分式的关系． （4）利用比例的基本性质，对进行化简，证明其结果为，从而得出两个分式相等． 【规范解答】解：（1）当，，，时，， 故取，，，（答案不唯一）． （2）当，，，时： ， （3）若，则； （4）证明：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 考点04 通分 10．（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 【答案】 分式的基本性质 五 【思路引导】（1）明确分式通分的基本原理，即分式的基本性质，通过找到最简公分母来进行通分． （2）仔细检查每一步的运算过程，找出错误步骤，然后按照正确的运算规则重新化简分式得到正确结果． 本题主要考查了分式的基本性质以及分式的化简运算．熟练掌握分式的基本性质，并能够准确运用其进行通分和分式运算，同时具备检查运算过程中错误的能力是解题的关键． 【规范解答】解：（1）通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的基本性质． （2） ， 第五步开始出现错误，该分式化简后的正确结果为． 故答案为：五；． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的分母经通分后变为，则分子应变为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【规范解答】解： ， 因此分子应变为：， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 【答案】 5 2 【思路引导】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果. 【规范解答】∵， ∴， ∴，即， ∴，解得. 【考点剖析】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键. 考点05 整式与分式相加减 13．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【思路引导】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【规范解答】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解： ， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3）或或或． 【思路引导】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【规范解答】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 15．（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【思路引导】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 考点06 已知分式恒等式，确定分子或分母 16．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知（是常数），求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查分式运算，涉及解三元一次方程组，熟练掌握分式混合运算方法步骤及三元一次方程组的解法是解决问题的关键．先通分将化为，再由分式相等得到方程组，利用消元法解三元一次方程组即可得到答案． 【规范解答】解： ， ， 解得． 17．（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查异分母分式加法，解二元一次方程组．熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据异分母分式加法运算法则计算出，结合题意得到，解二元一次方程组即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴， 解得：． 故选：B． 18．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“典雅分式”，这个常数称为关于的“典雅值”． 如分式，，，则是的“典雅分式”，A关于B的“典雅值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“典雅分式”？如果是，请求出C关于的“典雅值”；如果不是．请说明理由； (2)已知分式，（E是用表示的代数式），是的“典雅分式”，关于的“典雅值”是1． ①求E所代表的代数式． ②若为正整数，且分式Q的值为为正整数，则满足条件的的值为________． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①；②5或6或8 【思路引导】本题主要考查了分式的加减运算． （1）根据新定义计算，通过通分计算进行判断； （2）①根据新定义列出等式，求解E的代数式即可； ②根据Q为正整数，求解x可取的正整数值即可． 【规范解答】（1）解：不是，理由如下： ， ∴C不是D的“典雅分式”； （2）解：①由新定义可知： ， ∴， ∴， ∴； ②， ∵x和Q是正整数， ∴或6或8． 故答案为：5或6或8． 考点07 分式加减的实际应用 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【规范解答】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 20．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸的加油方式比较合算；（2），见解析 【思路引导】本题考查了分式的加减运算，分式的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；再根据题意利用作差法进行分析比较即可； （2）根据题意，由时间路程速度，进而列式后，再相减比较大小． 【规范解答】解：（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元） 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）， ∴． 而， ∴． ∴． ∴即． ∴小慧的爸爸的加油方式比较合算． （2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（20-21八年级上·河南漯河·期末） 阅读下列资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ． (1)分式 是 （选填“真分式”或“假分式）； (2)将假分式 分别化为带分式； (3)如果分式 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值． 【答案】(1)假分式 (2)； (3)x的值为 【思路引导】本题考查了分式的加减法和分式的求值，理解题意是解决本题的关键 （1）按“真分式”“假分式”的定义直接判断即可； （2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式； （3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可． 【规范解答】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式 故答案为假分式 （2） ； （3） 当时，分式的值为整数． 考点08 分式乘法 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故选：A． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【规范解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查分式的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）约分化为最简分式即可； （2）约分化为最简分式即可； （3）先分子、分母因式分解，再约分为最简分式即可； （4）先分子、分母因式分解，再约分为最简分式即可． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 考点09 分式除法 25．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查分式乘除、加减运算，以及整式中平方差公式的应用，分式运算通过乘除法则(除法转乘法、约分)、加减法则(通分后计算)进行；整式部分利用平方差公式因式分解来简化分式分子，助力计算，综合考查了分式与整式的运算技能． ()分式除法运算，将除法转化为乘法，即除以一个数等于乘以它的倒数，然后约分计算； ()先对分子分母能因式分解的部分进行因式分解，再约分计算； ()先将后面的通分，化为同分母分式，再进行减法运算； ()分子部分利用平方差公式对进行分解，然后化简计算． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 26．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【思路引导】本题主要考查分式的运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式将除法转换为乘法后，约分可得结论； （2）原式通分后根据同分母分式加减法运算法则进行计算即可； （3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后可得结论． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【思路引导】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可； （2）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可． 【规范解答】解：（1）； （2）． 故答案为：，，， ． 考点10 分式乘除混合运算 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 29．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【答案】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右，正确解答过程见解析 【思路引导】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式乘除法运算法则是解题的关键．先判断分式乘除法混合运算的运算顺序是否正确，再按照从左到右的顺序依次进行运算． 【规范解答】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右． 正确的解答过程如下： ． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 考点11 分式乘方 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【思路引导】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故选：A． 32．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【规范解答】解： 33．（23-24八年级上·山东聊城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可． 【规范解答】A. ， ∵， ∴A错误； B. ， ∵， ∴B正确； C. ， ∵， ∴C错误； D. ， ∵， ∴D错误． 故选：B． 考点12 含乘方的分式乘除混合运算 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里的．注意  ①分式的运算与分数的运算一样，一是注意符号；二是结果必须化到最简形式． （1）根据分式乘方和乘法运算法则计算即可； （2）根据分式乘方和乘除法混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 35．（25-26八年级上·山东烟台·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可； （3）先进行幂的运算，然后将除法转化为乘法后约分即可； （4）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）根据分式的乘方，乘除法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）原式． 考点13 分式加减乘除混合运算 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先进行异分母分式的加减，再进行分式的除法运算即可； （2）先进行异分母分式的加减，利用平方差公式进行因式分解，再进行分式的乘法运算即可； （3）先进行分式的乘法运算，再进行加法运算，最后利用平方差公式进行化简即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 38．（20-21八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路引导】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先对分式化简，然后代入求值即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时，原式． 39．（20-21九年级下·河南开封·期末）先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母 (2)， (3)见解析 【思路引导】本题考查了分式加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据分式的混合运算，逐步分析找出错误及错因； （2）根据分式的混合运算正确计算，化为最简，再代入求值； （3）根据分式的混合运算，写出注意事项，答案不唯一，合理即可． 【规范解答】（1）解：以上计算步骤中，第1步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母， 故答案为：1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母； （2）解： 当时， 原式； （3）解：答案不唯一，如：注意分式中分母的取值范围，特别是除式中分子、分母都不能等于0；分式的混合运算中顺序类似于有理数混合运算，先计算乘方，再乘除，最后计算加减，有括号要先算括号里面的等等． 考点14 分式化简求值 40．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除法则，先将分式进行化简，然后根据题意可知，代入即可求值． 【规范解答】解： ， ， ， 原式． 41．（20-21八年级上·山东泰安·期中）（1）解不等式组：； （2）化简求值：，其中x为整数，且满足． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值以及解不等式组，掌握平方差公式以及完全平方差公式是化简的关键，求值时要注意取值要使分式有意义． （1）分别求出两个不等式的解，然后根据求不等式组解的方法即可得到答案； （2）解不等式组并结合原式分母不为零，求出x的取值，利用分式解法和除法运算方法化简原式，代入x的值即可． 【规范解答】（1）解： 解不等式①： ， ， ∴， 解不等式②：， ， ∴， ∴不等式组的解集为； （2）解：原式 ， 由，得， ∵x为整数， ∴， ∵， ∴， ∴原式． 42．（25-26八年级上·全国·期末）（1）分解因式：     （2）分解因式： （3）分解因式： （4）先化简，再求值：其中 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），2 【思路引导】本题考查了因式分解、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用提公因式法分解因式即可； （4）利用分式的运算法则化简式子，再代入到化简后的式子即可求值． 【规范解答】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ， 代入，原式． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式的加减乘除运算 考点01 同分母分式加减法 1 考点02 最简公分母 2 考点03 异分母分式加减法 3 考点04 通分 4 考点05 整式与分式相加减 5 考点06 已知分式恒等式，确定分子或分母 6 考点07 分式加减的实际应用 7 考点08 分式乘法 8 考点09 分式除法 9 考点10 分式乘除混合运算 9 考点11 分式乘方 10 考点12 含乘方的分式乘除混合运算 11 考点13 分式加减乘除混合运算 12 考点14 分式化简求值 13 考点01 同分母分式加减法 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 2． （2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）已知且，求的值． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；     ． 解决下列问题： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将分式化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可） (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 考点02 最简公分母 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）确定最简公分母： （1）分式与的最简公分母是 ； （2）分式与的最简公分母是 ； （3）分式的最简公分母是 ； （4）分式与的最简公分母是 ． 考点03 异分母分式加减法 7．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 8．（20-21八年级上·山东泰安·期中）阅读材料，完成下列任务： 部分分式分解 我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解． 例如：将部分分式分解的方法如下： 因为， 所以设． 去分母，得． 整理，得． 所以    ，解得． 所以    ，即． 显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数． 任务： (1)将部分分式分解； (2)已知部分分式分解的结果是则的值为_____． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和 进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 考点04 通分 10．（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的分母经通分后变为，则分子应变为 ． 12．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 考点05 整式与分式相加减 13．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 15．（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 考点06 已知分式恒等式，确定分子或分母 16．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知（是常数），求的值． 17．（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）若，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“典雅分式”，这个常数称为关于的“典雅值”． 如分式，，，则是的“典雅分式”，A关于B的“典雅值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“典雅分式”？如果是，请求出C关于的“典雅值”；如果不是．请说明理由； (2)已知分式，（E是用表示的代数式），是的“典雅分式”，关于的“典雅值”是1． ①求E所代表的代数式． ②若为正整数，且分式Q的值为为正整数，则满足条件的的值为________． 考点07 分式加减的实际应用 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2） 某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 21．（20-21八年级上·河南漯河·期末） 阅读下列资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ． (1)分式 是 （选填“真分式”或“假分式）； (2)将假分式 分别化为带分式； (3)如果分式 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值． 考点08 分式乘法 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点09 分式除法 25．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4) 26．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 考点10 分式乘除混合运算 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 29．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 考点11 分式乘方 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 32．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）计算：． 33．（23-24八年级上·山东聊城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点12 含乘方的分式乘除混合运算 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 35．（25-26八年级上·山东烟台·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 考点13 分式加减乘除混合运算 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 38．（20-21八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 39．（20-21九年级下·河南开封·期末）先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 考点14 分式化简求值 40．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 41．（20-21八年级上·山东泰安·期中）（1）解不等式组：； （2）化简求值：，其中x为整数，且满足． 42．（25-26八年级上·全国·期末）（1）分解因式：     （2）分解因式： （3）分解因式： （4）先化简，再求值：其中 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $