专题01 提公因式法和公式法：因式分解（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题01 提公因式法和公式法-因式分解 考点01 公因式 1 考点02 提公因式法分解因式 2 考点03 判断能否用公式法分解因式 4 考点04 平方差公式分解因式 5 考点05 完全平方公式分解因式 8 考点06 综合运用公式法分解因式 11 考点07 综合提公因式和公式法分解因式 14 考点08 实数范围内分解因式 16 考点09 因式分解在有理数简算中的应用 18 考点10 十字相乘法 20 考点11 分组分解法 23 考点01 公因式 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行求解． 【规范解答】解：， 所以公因式； 故选C． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【规范解答】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【规范解答】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【规范解答】， 则余下的部分是x． 故选：C． 考点02 提公因式法分解因式 5．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则M等于 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查多项式除以单项式、因式分解等知识点，熟练掌握运算提取公因式进行因式分解是解题的关键． 根据题意可知：，然后再运用因式分解和多项式除以单项式即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 6．（21-22八年级上·四川内江·期中）如果，，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 因式分解即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【思路引导】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【思路引导】本题考查提取公因式法的因式分解，确定公因式是解题的关键． （1）先确定公因式为后，提取公因式即可； （2）先确定公因式为后，提取公因式即可； （3）先确定公因式为后，提取公因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ． 考点03 判断能否用公式法分解因式 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【规范解答】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【规范解答】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 11．（21-22七年级下·广西桂林·期中）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解． 【规范解答】解：①不能用完全平方公式进行因式分解； ② ，能用完全平方公式进行因式分解； ③不能用完全平方公式进行因式分解； ④ ，用完全平方公式进行因式分解 故选C 【考点剖析】本题考查了用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 12．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【规范解答】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 考点04 平方差公式分解因式 13．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式分组后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式直接提取公因式分解即可； （3）原式去括号整理后运用完全平方公式进行分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式两次运用平方差公式分解即可； （3）原式提取“”后运用完全平方公式进行分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了整式的乘法，分解因式等知识，掌握运算法则及平方差公式是解题的关键； （1）利用单项式乘多项式法则展开即可； （2）两次利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键． （1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 考点05 完全平方公式分解因式 17．（2023·四川自贡·模拟预测）若有理数满足，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【思路引导】本题考查了利用完全平方公式因式分解及几个非负数的和为零的问题．先利用完全平方公式对方程进行处理，化为两个非负数的和为零的情况，两个非负数之和为零，则它们均为零，据此即可求出x，y的值，从而可求． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 即， ∴， 故选：B． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1)①没有完成，；② (2)2026 【思路引导】本题考查了利用换元法和公式法分解因式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①该同学没有完成因式分解；再利用完全平方公式分解因式即可得； ②设，则原式可变形为，先利用完全平方公式分解因式，再将代入，利用完全平方公式分解因式即可得； （2）设，则原式可变形为，计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【规范解答】（1）解：①该同学没有完成因式分解． 最后的结果是：原式 ， 故答案为：． ②设， 原式 ． （2）解：设， 原式 ． 19．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解和整体代换的思想． （1）对进行因式分解，可以直接套用完全平方公式； （2）观察到在式子中重复出现，考虑使用整体代换，设，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将m还原成即可． 【规范解答】（1）解：由完全平方公式可得：， 故答案为：． （2）解：令， 则原式 ， 将m还原， 原式． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【思路引导】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 考点06 综合运用公式法分解因式 21．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【答案】 【思路引导】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可． 【规范解答】解： ． 22．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （2）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解． （4）先计算整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式即可求解． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 23．（24-25九年级下·山东东营·阶段练习）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查的是用公式法分解因式，熟练掌握公式是关键 （1）运用平方差公式和完全平方公式分解即可； （2）先用多项式的乘法将式子进行化简后，用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 24．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式再用完全平方公式进行因式分解； （3）先添括号分组，再把前两项用平方差公式分解因式，最后再提公因式； （4）先用完全平方公式，再提公因式进行因式分解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点07 综合提公因式和公式法分解因式 25．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查因式分解，运用了提取公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法，按照“一提、二套”等步骤，将多项式分解到不能再分解为止； ()先提取公因式，再利用平方差公式继续分解； ()先对式子中的部分项进行分组，将分为一组，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解； ()对于二次三项式，用十字相乘法分解，找两个数，其乘积为，其和为，这里，； ()先将式子变形为平方差形式，再利用平方差公式和完全平方公式分解； 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）利用完全平方公式进行分解，即可解答． （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （3）利用完全平方公式进行分解，即可解答． 【规范解答】（1）解： （2）解： ； （3）解： ． 27．（20-21八年级上·山东泰安·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法和平方差公式因式分解即可； （2）利用提公因式法和完全平方公式因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点08 实数范围内分解因式 29．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． （1）先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用平方差公式进行分解即可解答； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 30．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为： 31．（24-25八年级下·上海·假期作业）将在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【思路引导】本题考查求根公式法分解因式．把某些二次三项式分解因式，先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【规范解答】解：方程的两个根为：，， ， 故答案为：． 32．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【思路引导】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 考点09 因式分解在有理数简算中的应用 33．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【思路引导】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 34．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2022 (3)810 【思路引导】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成，即最后一项化为，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 35．（24-25八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再计算加减即可； （3）逆用完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式    ； （3）解：原式    ． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 考点10 十字相乘法 37．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】(1)， (2)①② 【思路引导】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 38．（25-26八年级上·全国·期中）（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）33600；（2） 【思路引导】本题主要考查了有理数的运算，乘法运算律，因式分解，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用乘法分配律进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】解：(1) ； (2) ． 39．（22-23八年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【规范解答】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 考点11 分组分解法 41．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【思路引导】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 42．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读材料】分解因式：．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”． 根据以上方法分解因式： (1)_________________________； (2)____________________； (3)_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了分解因式，根据分组分解法求解即可． （1）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （2）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （3）先“三、一分组”，再利用完全平方公式计算，最后根据平方差公式即可求出答案； 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ． 43．（21-22八年级上·陕西西安·期末）小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式分解因式，分组分解法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 前面2项加上1后，可得到完全平方，9可以写成，再利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解： ． 44．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，十字相乘法分解因式，分组分解法，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）先提公因式，然后利用完全平方公式进行分解因式即可； （）先提公因式，然后利用平方差公式进行分解因式即可； （）先进行分组分解，然后通过完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可； （）利用十字相乘法分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 提公因式法和公式法-因式分解 考点01 公因式 1 考点02 提公因式法分解因式 1 考点03 判断能否用公式法分解因式 2 考点04 平方差公式分解因式 2 考点05 完全平方公式分解因式 3 考点06 综合运用公式法分解因式 5 考点07 综合提公因式和公式法分解因式 6 考点08 实数范围内分解因式 7 考点09 因式分解在有理数简算中的应用 7 考点10 十字相乘法 8 考点11 分组分解法 10 考点01 公因式 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 考点02 提公因式法分解因式 5．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则M等于 ． 6．（21-22八年级上·四川内江·期中）如果，，那么 ． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 考点03 判断能否用公式法分解因式 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（21-22七年级下·广西桂林·期中）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 12．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 考点04 平方差公式分解因式 13．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）因式分解：． 16．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1) ； (2)； (3)． 考点05 完全平方公式分解因式 17．（2023·四川自贡·模拟预测）若有理数满足，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 19．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 考点06 综合运用公式法分解因式 21．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式：． 22．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (2) ； (4) 23．（24-25九年级下·山东东营·阶段练习）分解因式： (1) (2) (3) 24．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3) ； (4)． 考点07 综合提公因式和公式法分解因式 25．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1) (2) (4) (4) 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 27．（20-21八年级上·山东泰安·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 考点08 实数范围内分解因式 29．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 30．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在实数范围内分解因式： ． 31．（24-25八年级下·上海·假期作业）将在实数范围内分解因式 ． 32．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在实数范围内分解因式： ． 考点09 因式分解在有理数简算中的应用 33．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 34．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 35．（24-25八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1)； (2)； 利用因式分解计算：． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)． 考点10 十字相乘法 37．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 38．（25-26八年级上·全国·期中）（1）计算：； （2）因式分解：． 39．（22-23八年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 考点11 分组分解法 41．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 42．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读材料】分解因式：．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”． 根据以上方法分解因式： (1)_________________________； (2)____________________； (3)_____________________． 43．（21-22八年级上·陕西西安·期末）小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 44．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $